2024年1月25日发(作者：小学数学试卷评价及建议)

第十章 数项级数

§1 级数问题的提出

1．证明：若微分方程xyyxy0有多项式解

ya0a1xa2x2anxn，

则必有ai0(i1,2,,n)．

2n证明 由多项式解ya0a1xa2xanx得

ya12a2x3a3x2nanxn1，

y2a26a3x12a4x2n(n1)anxn2.

23n1从而

xy2a2x6a3x12a4xn(n1)anx，

23n1nn1且

xya0xa1xa2xan2xan1xanx.

将上述结果代入微分方程xyyxy0，得

a1(a04a2)x(a19a3)x2(a216a4)x3

(an2n2an)xn1an1xnanxn10.

比较系数得递推公式如下：

a10,a04a20,a19a30,

an2a0,nn2an10,an0.由此解得a0a1a2an0，因而ai0(i0,1,2,,n)．

2．试确定系数a0,a1,,an,，使an0nxn满足勒让德方程

(1x2)y2xyl(l1)y0.

解 设yan0nx，则ynanxnn1n1，yn(n1)an2nxn2，故

word

(1x)y(1x)n(n1)anx22n2n2n(n1)anxn2n1n2n(n1)anxn，

n22xy2xnanxn12nanxn，

n1l(l1)yl(l1)anxl(l1)anxn.

nn0n0将上述结果代入勒让德方程(1x)y2xyl(l1)y0，得

20(1x2)y2xyl(l1)y

n(n1)anxn2n2n(n1)anx2nanxl(l1)anxn

nnn2n1n0nnn(n2)(n1)an2xn(n1)anx2nanxl(l1)anxn.

n0n2n1n0比较系数，得递推公式如下：

l(l1)a02a20,(l1)(l2)a6a0,13(l2)(l3)a212a40,

(l(n1))(ln)a(n1)na0,n1n1(ln)(ln1)an(n2)(n1)an20,.由此解得

word

l(l1)aa0,22a(l2)(l3)a(l2)l(l1)(l3)a,20443432k(l2k2)(l2k4)l(l1)(l3)(l2k1)a(1)a0,2k(2k)!a(l1)(l2)a,1332(l3)(l4)(l3)(l1)(l2)(l4)a5a3a1,545432k(l2k1)(l2k3)(l1)(l2)(l4)(l2k)a(1)a1,2k1(2k1)!

从而可以得到

(l2k2)(l2k4)l(l1)(l2k1)2kya0a0(1)kx

(2k)!k1(l2k1)(l2k3)(l1)(l2)(l2k)2k1a1xa1(1)kx.

(2k1)!k1其中a0,a1取任何常数．

§2 数项级数的收敛性及其基本性质

1．求下列级数的和：

（1）1；

(5n4)(5n1)n1（2）4nn1121；

(1)n1（3）；

n12n1（4）2n1；

n2n1（5）rn1nsinnx,r1；

word

（6）rn1ncosnx,r1．

1111，故

(5n4)(5n1)55n45n1解（1）由于Sn111

16611(5n4)(5n1)1111111

566115n45n11111(n)，

55n15所以级数的和S1.

51111，故

22n12n1（2）由于4n21Sn11111111111(n).

23352n12n122n12所以级数的和S1.

2n1(1)n11（3）n12n12n112．

1312n2n12n12n（4）1，因此欲求原级数的和，只需计算级数nnn2222n1n1n1n12n2n2462n即可．对级数，设其部分和，则

Snnn23n222222n1n112462n22nSn234n1，

n222222故

1122222nSnSnSn1234nn1

22222221112n112234nn1

22222word

121221n1122n.

n112122n12n1n1413． 从而limSn2，即limSn4，因此原级数nn2n2n1n12n（5）由于级数的部分和Snnrk1ksinkx，故

n2rcosxSn2rk1nk1sinkxcosxrk1sin(k1)xsin(k1)x

k1nrk1n1k1sin(k1)xrk1sin(k1)x

k12rsinkxrkk2rk0n1ksinkx

(Snrn1sin(n1)xrsinx)r2(Snrnsinnx)，

从中解得

rsinxrn2sinnxrn1sin(n1)xSn.

1r22rcosx又由于当n时，rn2sinnxrn20,rn1sin(n1)xrn10，故

limSnnrsinx，

21r2rcosx因此rnsinnxn1rsinx．

1r22rcosx（6）级数的部分和Snnrk1nkcoskx，从而

n2rcosxSn2rk1nk1coskxcosxrk1cos(k1)xcos(k1)x

k1nrk1n1k1cos(k1)xrk1cos(k1)x

k12rcoskxrkk2rk0n1kcoskx

word

(Snrn1cos(n1)xrcosx)r2(Sn1rncosnx)，

从中解得

rcosxrn2cosnxrn1cos(n1)xr2rcosxr2limSnlim.

22nn1r2rcosx1r2rcosxrcosxr2因此rcosnx．

21r2rcosxn1n2．讨论下列级数的敛散性：

（1）n；

2n1n1（2）2n1n11n13n；

； （3）cos2n1（4）1；

(3n2)(3n1)n1（5）n11n(n1)(nn1)．

解（1）由于通项n10(n)，故原级数发散．

2n12nn1111（2）由于n，n均收敛，故原级数收敛．

n12n12n13n13（3）由于通项cos（4）由于

2n1cos010(n)，故原级数发散．

1111，

(3n2)(3n1)33n23n1从而部分和

Sn111

1447(3n2)(3n1)1111111

34473n23n1word

1111(n)，

33n13因而原级数收敛．

（5）由于1n(n1)(nn1)11121213n1n11从而n时，

，nn1n1n1n1n111n11，

Sn故原级数收敛．

3．证明定理10.2．

定理10.2 若级数u,vnn1n1n收敛，则级数(un1nvn)也收敛，且

(un1nnvn)unvn.

n1n1证明 设Snuk1nkvk，则由已知条件知，存在有限数s,s，使得

,Snk1nnlimvks，

limSnlimuks,limSnnnk1nnk1设级数(un1nvn)的部分和数列为n，则

nnnss(n)，

n(ukvk)ukvkSnSnk1k1k1所以(un1nvn)也收敛，且(unvn)unvn．

n1n1n14．设级数un1n各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数Un1n，即

Un1ukn1ukn2ukn1,n0,1,2,，

其中k00,k0k1k2knkn1，若nnUn1n收敛，证明原来的级数也收敛．

证明 设Snuk1k,nUk，则

k1word

nUkU1U2Un

k1n(u1u2uk1)(uk11uk12uk2)

(ukn11ukn12ukn)Skn.

由于Un1n收敛，故{n}有界，即{Skn}有界，即存在M0，使得nN，都有SknM.又由于un1n是正项级数，故SnSknM，而且{Sn}单调上升，由单调有界原理可知，原级数

un1n收敛．

§3 正项级数

1．判别下列级数的收敛性：

（1）n11nn2；

（2）1；

2n1(2n1)2n1（3）nn；

n12n1（4）sinn12n；

（5）1(a1)；

n1an1（6）nn11nn；

n1（7）；

n12n1（8）ln(n1)n11n；

word

2(1)n（9）；

n2n1（10）2nsinn13n；

（11）(3(1)n1nn)sin5n；

（12）sin2；

n!n11n1cos；

nn11cos；

nn11n（13）（14）（15）11ln1；

nnn1ln(1n)；

2nn111sinarcsin；

nnn1（16）（17）（18）narctann12n；

1（19）11；

nn121（20）121．

n1n1解（1）n11nn2．由于limn11n2n1，而发散，所以级数发21n1nn1nnn散．

（2）1．对任意正整数n，都成立关系式

2n1(2n1)2n1word

112，

2n12n12n(2n1)222而级数2收敛，由比较判别法知，原级数收敛．

2n2n1nn1nnnn0，所以级数（3）．由于lim发散．

n2n12n12n1n12n1（4）sin2n1nsin．由于limn12n，而sin收敛，故收敛．

nn12n12n1n211111（5）．由于，故，而a1收敛，由比较判nnn1aaan11an1ann别法知，级数1收敛．

n1an11111nnnlim1（6）．由于lim，而发散，故发散．

nnnnn1nnn1nnn1n1nnn11n（7）．由于limnn12n1收敛．

（8）n11101，故级数limn2n12n12n1n1nnln(n1)n11n11lim01，．由于limn故原级数收敛．

nln(n1)nln(n1)n2(1)n（9）．

n2n12(1)n1(1)n(1)n1n1n，而n1和n均收敛，故方法1因为n2n1n12n12n12n122(1)n收敛．

n2n12(1)n2(1)n33n对一切n都成立，而n收敛，故方法2 由于收敛．

n222n2n1n1word

（10）2n1nsin3n2nsin．由于limn3nlimnn2nsin233n，而2收敛，故1nn132n3n原级数收敛．

（11）(3(1)n1nn)sin5n．由于3(1)4，因此，若n4n1nsin5n收敛，则原级数收敛.考虑级数4n1nsin5n4nsin，由于limnn5lim5，且4收nn1nn15445n5n4nsinn敛，故4nsinn15n收敛，因而原级数收敛．

1n1sinn21sin2（12）．由于，而收敛，因而原级数收敛．

n!n!n!n1n!n111n1cos2sin2111n2nlim，而发散，（13）n1cos．由于limnn112nn1n1nnn2因而原级数发散．

（14）cosn．由于limcosn10，由级数收敛的必要条件知，原级数发散．

n111n111ln1ln1n111nn（15）ln．由于，而收limlim113nn11nn1n1nn23nn2敛，故原级数收敛．

1ln(1n)21ln(1n)ln(1n)nlimlim0（16）．由于，而级数收敛，23nn1nnn1n1n23n2故原级数收敛．

word

11sinarcsin111nn1，而级数2收敛，故原级数（17）sinarcsin．由于limn1nnn1n1nn2收敛．

（18）narctan2n1nnarctan．由于极限limnn2n，而对于级数，根据nn2n1n2n1nlimnn1，故由根式判别法知，级数n收敛，因而原级数收敛．

n22n121（19）11．对通项进行分子有理化可得

nn1111111n11，

n1112n(n1)2(n1)11nn12n1nnn由于2(n1)发散，故原级数发散．

n1122121121（20）121．由于12124，而级数2,4均nnnn1n1nn1nn收敛，因而原级数收敛．

2．判别下列级数的敛散性：

nn（1）；

n1n!（2）nlnn；

n2n1n!2n（3）n；

n1nn!3n（4）n；

n1nn!en（5）n；

n1nword

（6）n1n21nnn；

（7）2n1；

n13n2n2（8）n1nn(3n2n)n12；

xn（9）(x0)；

2n1x)(1x)n1(1x)(（10）3353573579．

11414714710(n1)n1nnnnn(n1)!n1解（1）．由于limlime1，所以发散．

nnnn!nnn1n1n!n!（2）nlnn．由于

nn12(n1)ln(n1)n1ln1n1n1n1ln(n1)n21，

limlimlim1limnnnnnlnnlnn2nlnn22n2n根据达朗贝尔判别法知，原级数收敛．

(n1)!2n1nn!2nn!2n2(n1)n1n（3）n．由于lim2lim1，故n收敛．

nnnen!2n1nn1nn1nn(n1)!3n1nn!3nn!3n3(n1)n1n（4）n．由于lim3lim1，故n发散．

nnnn1nen!3n1n1nnnn!en（5）n．这个级数不能用达朗贝尔判别法和柯西判别法判别，也不能用拉阿比n1n判别法判别，但由斯特林公式可知

word

nn!2ne12nenn(01)，

n!en因而nnn2ne12nene12n2ne2n，通项的极限不为0，由级数收敛的nnn!en必要条件知原级数n发散．

n1n（6）n1n21nnn．因为limnn(nn)2n2lim01，故收敛．

nnn11n11nnnnnnn2（7）2n1．由于limnnn13n2n22n12n1limn3n23n2n221，由柯西判别法3知，原级数收敛．

（8）n1nn(3n2n)n12．由于nn(3n2n)n12nn(3n2n)n213nn20(n)，nn因此，如果级数n1nn(3n2n)nn2收敛，则原级数也收敛.考虑级数n1(3n2n)n2，由于limnnnn(3n2n)n2limn3nn2131，故它收敛，因而原级数也收敛．

xn（9）(x0)．当x0时，级数显然收敛；当x0时，2n1x)(1x)n1(1x)(由于

xn1x,0x1,2n11x(1x)(1x)(1x)limlimx1,

,nn1nnx1x2x1.0,(1x)(1x2)(1xn)xn因而收敛，因此原级数对一切x0收敛．

2n1x)(1x)n1(1x)(（10）由于

357(2n1)3353573579．级数的一般项un，147(3n2)11414714710word

limun1nun357(2n3)2n32147(3n1)limlim1，

n357(2n1)n3n13147(3n2)因而原级数收敛．

3．判别级数的敛散性：

（1）nn11lnn；

（2）1；

lnn(lnn)n1（3）2n11lnn；

（4）3n11lnn；

（5）3n11n；

（6）3n1nn；

（7）lnn（p是任意实数）；

pnn11（p是任意实数）．

pn2nlnn（8）解（1）nn11lnn．当n9时lnn2，故当n9时1nlnn112，而2收敛，由nn1n比较判别法知，原级数收敛．

（2）111．由于，且ln(lnn)(n)，故存在N，lnnlnnln(lnn)(lnn)(lnn)nn1ln(lnn)当nN时ln(lnn)2，从而n收敛，故原级数收敛．

（3）n，即当nN时，(lnn)2lnnn，而级数212n1n2n11lnn．

word

方法1 由于

unlimnnun111ln11nln1lnn21n2limlimn21limn11，

n1nn1ln(n1)n2该极限为0型极限，由L＇hospital法则得

0lim21ln1n12limn1ln1nln2n1n11211nnln21，

12n由Raabe判别法知，原级数发散．

方法2 由于2lnnelnnn，所以12lnn11，而级数发散，由比较判别法知，原nn1n级数2n11lnn发散.

)ln(11un3n1ln31，由Raabe判别法1limn．由于limnnnun1（4）3n11lnn知，原级数收敛．

一般地，对an11lnn(a0)，当0ae时，对一切nN，alnnelnnn成立，所以1alnnun111lna1，由Raabe，从而lnn发散；当ae时，由于limnnnn1aun1判别法知，级数an1n1lnn收敛．

（5）3n11．由于limnn2，所以存在N0，当nN时，有，nlnnlnnln3n即nln32lnn，从而3n，故213n1112，而2收敛，故n收敛．

nn1nn13（6）3n1nn．由于limnn3，所以存在N0，当nN时，有，nlnnlnnln3n即nln33lnn，从而3n，故3n3n1n12，而2收敛，故n收敛．

nn1nn13word

lnn11lnn（7）p（p是任意实数）．由于当n3时，pp，所以若p发散，nnn1nn1n1lnn则原级数必发散，而p1时p发散，因而p1时，原级数p发散．

n1nn1n当p1时，由于

x1xxlnt11lnx111pp1dtlnttdtlntdt，

11p11pxp1(1p)2xp1(1p)2tplnxlnt1dtdx，利用柯西积分判别法知，原级数收敛．

pp21tx(1p)因而limx1x1111（8）p（p是任意实数）．当p1时，由于pp且p收敛，nlnnnn2nlnnn2n故原级数收敛；当p1时，由于

x112tlntdt2lntdlntln(lnx)ln(ln2)，

x11因而limdtdx，由柯西积分判别法知，原级数发散；当p1时，2x2tlntxlnxx111由于p，而就是前面p1时的级数，已证得它发散，因而原级数nlnnnlnnnlnnn2发散．

4．利用Taylor公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性：

1n（1）e1；

n1np1（2）ln；

cosnn3p（3）(n1n)plnn1n1；

n1（4）(n1na4n2nb)．

px1n11解（1）e1．令f(x)1，则lnf(x)xln1，从而

xxn1nword

1x21111xf(x)f(x)ln1x1ln1，

1xxxx11x因此

111e10n0nlimlimnn1n

limn21nlim1nlim1nnn11ln1n1211nn1limn1ln1n1nnn12nn111111233

nn2nn13nnn121111

n233n3nnn(n1)2nn1n2111e1e.

nn(n1)23nn22该极限为有限数，因而e1111与是同阶无穷小量，由于p当p1时收敛，nnn1nn1np1时发散，因而原级数e1当p1时收敛，p1时发散．

n1n1（2）ln．由于

cosnn3ppln11122lnseclnsecln1tan

cosn2n2nn22)12(tan2ntantan，

2n2n1故limlnncosn1121ln，这是一个有限数，从而与是同阶无穷小量，因22cosn2nnp111此原级数ln与的收敛性一致，所以当即时，原级数收敛，p2p12pcosn2n3n1n1而当2p1即p时，原级数发散．

2word

（3）(n1n1n)plnn1n1p．由于(n1n)0，ln0，故原级数n1n1是负项级数，又由于

n112(n1n)p(1)lnln1

n1n1nn11n1n故(n1n)lnppp21n1n1，

n1p1与p是同阶无穷小量，因而当11，即p0时，原级1n12n2数收敛，p0时，原级数发散．

（4）(n1na4n2nb)．因为

nannb42(na)n2nbnannb42

(2a1)na2b(nannb)(nannb)422，

因而当a1111时，上式与3是同阶无穷小量，故原级数收敛；当a时，上式与1是22n2n2同阶无穷小量，故原级数发散．

5．讨论下列级数的收敛性：

（1）1；

pn(lnn)n2（2）1；

nlnnlnlnnn2（3）n(lnn)n211lnlnn(0)；

（4）n(lnn)n21．

p(lnlnn)q解（1）11f(x)．令函数，则该函数在[2,)非负、连续且单ppx(lnx)n2n(lnn)word

调下降．

x11当p1时，由于limdtlimdlntlim(ln(lnx)ln(ln2))，因x2tlntx2lntxx而原级数发散．

当p1时，由于

limf(t)dtlimx2xxx1pdtlim(lnt)dlnt

2t(lnt)px2xlim1(lnx)1p(ln2)1p

x1p,(ln2)1p,p1p1,p1.

因而由柯西积分判别法知，当p1时级数发散，当p1时级数收敛．

综上可知，级数n(lnn)n21p在p1时收敛，在p1时发散．

（2）11u．根据级数通项，可令函数，则f(x)nxlnxlnlnxn2nlnnlnlnnunf(n),(n2)且f(x)在[2,)非负、连续且单调下降，由于

limxx2x11f(t)dtlimdlntlimdlnlnt

x2lntlnlntx2lnlntxlimlnlnlnxlnlnln2.

x由柯西积分判别法知，原级数发散．

（3）n(lnn)n211lnlnn(0)．由于limlnlnn，故当n充分大时，nlnlnn1，因而数收敛．

（4）1n(lnn)111，由（1）知收敛，从而原级11nn)lnlnnn(lnn)n2n(ln(lnn)n21．

p(lnlnn)q当p1时，由于211dx2(lnlnx)qdln(lnx)，故q1时级数收xlnx(lnlnx)qword

敛，q1时级数发散．

当p1时，令p12(0)，则

un11，

pq1qn(lnn)(lnlnn)n(lnn)(lnn)(lnlnn)qq由于lim(lnn)(lnlnn)，故存在N0，任意nN时，(lnn)(lnlnn)1，n11从而un，而由（1）知收敛，从而原级数收敛．

1n(lnn)n(lnn)1n1当p1时，令p12(0)，则

1(lnn)，

unpq1qn(lnn)(lnlnn)n(lnn)(lnlnn)1(lnn)(lnn)nu由于，从而当充分大时，，从而，而由1n1qqn(lnn)(lnlnn)(lnlnn)（1）知1发散，因此原级数发散．

1n1n(lnn)1的收敛情况是：当p1或p1,q1时收pqn(lnn)(ln(lnn))n2综上可知，原级数敛，当p1或p1,q1时发散．

6．利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性．

(2n1)!!（1） (p是实数)；

(2n)!!n1p（2）n1(1)(n1)1n!pn(0,0)．

p(2n1)!!(2n1)!!u解（1）级数的通项n(2n)!!，因而根据二项展开式得

(2n)!!n1(2n1)!!(2n2)!!punlimn1n(2n)!!(2n1)!!1

limnunn12n2pnpplimn1lim(2n2)(2n1)

pnn(2n1)2n1word

limnpp1ppp1(2n)p(2n)22(2n)p(2n)1n(2n1)pnp(2n)p1(2p1)p

lim.

pn2(2n1)（上式也可以在第二个等式处将2n21化为1直接使用二项展开式），所以当2n12n1pp1即p2时，原级数收敛，当1即p2时，原级数发散．

22当p2时，Raabe判别法失效，此时，由于对一切n，

un111112un12n1nn2n2n令n2，

2n(2n1)n即1,1而且n1，因而根据高斯判别法知，原级数发散．

（2）n1(1)(n1)1n!n(0,0).

根据原级数的通项知

un(1)(n1)1(n1)!(n1)

un1n!(1)(n)n(n1)(n1)n111，

nn(n)n因而

unlimnnun11(n1)1nn11n1limn11limn

nnnnn1(n1)1nnnlim1，

n1n所以当11，即时级数收敛；当11，即时级数发散当时，Raabe判别法失效，此时由于unn11n1(1)11112

2un1nnnn2nnword

n1(n1)(n1)(1)n1122nn(n)nn2n(n)

令11(n1)(1)n1，12(1)n2nn2(n)nnn即1,1而且显然n有界，因而根据高斯判别法可知，原级数发散．

7．已知两正项级数收敛性如何？

答 级数un1n和vn1n发散，问max(un1n,vn)，min(un,vn)两级数的n1max(un1n,vn)一定发散．事实上，max(un,vn)un0，而un发散，n1故max(un1n,vn)发散．

1(1)n1(1)n,min(un,vn)可能收敛，也可能发散．例如均发散，但由22n1n1n1于min(un,vn)0对一切n都成立，故min(un1n,vn)收敛．

8．若正项级数an收敛，证明：limn1a12a2nan0．

nn证明 设正项级数an1n的部分和Sna1a2an，则下述两式成立：

S1S2Sn1(n1)a1(n2)a2an1， （*）

nSnna1na2nan， （**）

用（**）减去（*）得

nSn(S1S2Sn1)a12a2nan，

两端同时除以n可得

nSn(S1S2Sn1)a12a2nan，

nn即

(n1)SnS1S2Sn1Sna12a2nan，

nnnword

由于正项级数an1n收敛，因而limSn存在，假设limSns，根据收敛数列的算术平均数nn构成的新数列收敛，且与原数列极限相等可知，limS1S2Sns，因此

nnlima12a2nan(n1)SnS1S2Sn1Snlimss0，

nnnnn12a,nk,k1,2,,n2n9．设

1a2,k1,2,,2kk从而结论成立．

求证：(1)

an1n收敛；(2)

limnan0．

n111a证明（1）由于2收敛，故an收敛，而收敛，从222kn1nk1k1kn1,nk2n1,nk2n而ak1k2n1,nka2n收敛，即an1n收敛．

（2）考虑nan的一个子列{kak2}，则limkak2limknn22211，即limnan0．

2nk10设an0，且liman1l，求证limnanl．反之是否成立?

nann证明 令a01，构造数列{un}an，则{un}的前n项的几何平均数可构成一个an1新数列，由于新数列收敛且与数列{un}极限相同，故

lliman1limun1limn1un1unu1

nannnn1aan1ana2a1limn1limn1n1limnan，

nnanan1a1a0n1因而结论成立．

2(1)n反之不真，反例如级数，由于

n2n1word

nn1n1n2(1)31n，

ann22222故limnann1，而

2a2m322m13a2m1122m1,2m1，

a2m122m12a2m362从而liman11，因此反之结论不一定成立．

na2n11．利用级数收敛的必要条件证明：

nn（1）lim0；

n(n!)2（2）lim(2n)!0(a1)．

nan!nnnn证明（1）lim，由于

0．考虑级数2n(n!)2n1(n!)un11110(n)，

un1nnnnnnn故级数收敛，因而lim0．

22n(n!)n1(n!)(2n)!(2n)!（2）limn!0(a1)．考虑级数n!，由于

nan1aun1(2n2)(2n1)0(n)，

unan!n所以级数(2n)!(2n)!收敛，因而lim0(a1)．

n!nan!an112．设an0，且数列{nan}有界，证明级数an12n收敛．

证明 由数列{nan}有界知，存在M0，对nN，都有nanM，从而an进一步可得an2M，n1M222，又由于2收敛，因而由比较判别法知，级数an收敛．

nn1n1nword

13．设正项级数an1n收敛，证明n1anan1也收敛．

证明 由于对任意n，anan11(anan1)均成立，而级数an和级数an1均2n1n1收敛，从而级数(an1nan1)也收敛，由比较判别法知，级数anan1收敛．

n114．设limanl，求证：

n（1）当l1时，1收敛；

annn11发散．

ann1n（2）当l1时，问l1时会有什么结论？

证明（1）当l1时，令l10，则由limanl知，存在N，nN时，有

n2l1l1anll1，

22111从而当nN时，al1，而l1收敛，故原级数收敛．

nnn1n2n21l（2）当l1时，令0，则由limanl知，存在M，nM时，有

n21ll1anll1，

22111从而当nM时al1，而l1发散，故原级数发散．

nnn1n2n211p当l1时，考虑级数，由于n(lnn)npn(lnn)n2plnlnnlnn，令an1plnlnn，lnn则liman1，此即为本题l1的情形，但由第5题（1）知，该级数在p1时收敛，p1n时发散，从而当l1时，级数

1可能收敛也可能发散．

annn1§4 一般项级数

1．讨论下列级数的收敛性：

word

（1）(1)nn1n；

n100（2）lnnnsin；

n2n1（3）(1)n1n111123n；

n（4）n2n1(1)n；

nn(1)n21)； （5）sin((1)3nn1n(n1)2（6）；

(1)n(p0)； （7）pnn1（8）1nsin；

n32n1（9）(1)nn1cos2n；

nnsin2n（10）(1)；

nn1（11）(1)nsinn1x(x0)；

n(1)nn（12）；

2(n1)n1（13）111111；

21213131n1n1(1)n1a(a0)； （14）nn1an1word

1sinnn（15）；

nn1sinnsinn2（16）．

nn1解（1）(1)nn1x100xn．令f(x)，则f(x)，显然当x100n1002x(x100)2x100时f(x)0，即f(x)单调下降并趋向于0．由于级数前有限项的值不影响该级数的敛散性，因而由Leibniz判别法知原交错级数收敛．

（2）lnnnsin．由于

2n1nn2k,kZ,n0,

sink12(1),n2k1,kZ,lnnnln(2k1)lnxsin(1)k1舍去偶数项，原级数变成交错级数．令f(x)，n22k1xn1k1则f(x)1lnx，显然当x3时f(x)0，即f(x)单调下降并趋向于0．因而从第32xlnn单调下降并趋向于0，故n取奇数时该数列也是单调下降并趋向于0n项开始，数列的，由Leibniz判别法知，原交错级数收敛．

（3）(1)n11n11123n．由于数列的前n项的算术平均数构成的新数列极限n1111123n与原数列极限相等，故根据数列单调递减趋向于0知，数列单调nn递减趋向于0，又因为原级数是一个交错级数，由Leibniz判别法知原交错级数收敛．

（4）n2n(1)nn(1)n．由于

(1)nn(1)(1)nn1(1)n(1)n11(1)11OO3n(1)nnnnn2n1nn，

word

而级数n2(1)nn及n21n32收敛，但级数1发散，因而原级数发散．

n2n（5）sin(n1n21)．由于

sin(n21)sin(n(n21n))(1)nsin(n21n)

(1)nsinn1n2，

又由于sin单调下降趋于0，故由Leibniz判别法知原级数收敛．

2n1n(1)（6）3nn1收敛．

n(n1)2．由于n1(1)3nn(n1)21收敛，故原级数绝对收敛，因而自身nn13(1)n1(p0)（7）．由于单调递减趋向于0，根据Leibniz判别法知原级数收ppnnn1敛．进一步可知：当0p1时级数条件收敛，当p1时级数绝对收敛．

1n1n11n，而n收敛，故原级数收敛且绝对收（8）nsin．由于nsin2233n13n13敛．

（9）(1)nn1ncos2n．由于

n2sin1cos2k2sin1cos22sin1cos42sin1cos2n

k1(sin3sin1)(sin5sin3)(sin(2n1)sin(2n1))

sin(2n1)sin1，

sin(2n1)sin111os2n的部分和数列有界，故cos2k，即c而数列单2sin1sin1nn1k1cos2nncos2n调趋于0，由Dirichlet判别法知级数收敛，即(1)收敛，从而原级nnn1n1nword

数收敛．

sin2n（10）(1)．由于

nn1nsin2nn1cos2nn1ncos2n(1)(1)(1)(1)，

n2n2n2nn1n1n1n1n1ncos2n又由于(1)收敛，由上题知(1)亦收敛，因此原级数收敛．

2n2nn1n1n（11）(1)nsinn1x(x0)．

n若x0，则存在Nx，当nNx时，0xxx，从而sinsin，即当nNxn2n1nxxx时，sin单调下降，又limsin0，因而由Leibniz判别法知，级数(1)nsin收nnnnnNx敛，因而原级数(1)nsinn1x收敛.

n，时，若x0，则存在Nx当nNx2xxx从而sin即当nNx0，sin，nn1nxn时，数列sin单调趋于0，又(1)的部分和数列有界，由Dirichlet判别法知，原级nn1数收敛．

综上可知当x0时，原级数收敛．

nnn1(1)nn（12）．不难验证，故数列单调下降趋于0，2222(n1)(n2)n1(n1)(n1)由Leibniz判别法知原级数收敛．

（13）1211211311311n11n1.

由于1n111n11n1n12，设该级数部分和数列为Sn，则n1n11311n11121，2n1n11Sn1212131即limSn，从而部分和数列Sn发散，因此原级数发散．

nword

(1)n1a(a0)． （14）nn1an1先考虑数列aaa，由于，故，从而数列有界.又因0aa0nnn1a1a1a为a1时，aan关于单调下降；时，关于n单调增加，因而数0a1nn1a1a(1)n1a列单调有界.又因为级数显然收敛，因此由Abel判别法知，当a0时，nn1an1原级数收敛．

1sinn111n（15）．由于sinnsinncoscosnsin，故

nnnnn11sinnnsinncos1cosnsin1，

nnnnn1n1n由本节例4知级数sinn1cos收敛，又数列单调上升且有界，由Abel判别法知，级nnn1sinn1cosn1cos收敛.同理级数sin亦收敛，因而原级数收敛． 数nnnnn1n1sinnsinn212（16）．取an，bnsinnsinn，则数列an单调下降趋于0，nnn1级数bn1n的部分和数列Bn满足

nnBnbkk1nsinksink2k11cos(kk2)cos(kk2)

k12n12cosk(k1)cosk(k1)k1

1cos0cos2cos2cos6cosn(n1)cosn(n1)

21cos0cosn(n1)1，

2word

sinnsinn2即bn的部分和数列有界，由Dirichlet判别法知原级数anbn收敛．

nn1n1n12．讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛：

(1)n（1）；

nxn1sin(2nx)（2）；

n!n1（3）sinnx(0x)；

nn1（4）cosnx(0x)；

pnn1(1)nlnn（5）；

nn1（6）n1n13(1)5nnnsinn；

1；

nn（7）(1)nnnsin(1)n（8）nn111；

n(1)n(p0)； （9）1n1npn（10）n2n(1)(1)nnp1n(1)nnp(p0)；

（11）n1；

（12）(1)n1n12nsin2nx；

nx（13）n1anana0；

,limnnword

（14）(1)n1nrnnn(r0)；

x（15）n!；

nn1(1)n（16）ln1，其中p0；

pnn1（17）n1(1)nn(1)n1p；

nsin4（18）．

npn1nsin4(1)n解（1）．

n1nx由于xR是一定值，故当n充分大时，数列判别法知，原级数收敛．

1单调下降趋于0，因而由Leibniznx再考虑级数n111(1)1nx1，而发散，故由比较判别，由于limn1nxn1nxn1nnn法的极限形式知，级数n1(1)n发散．因而原级数条件收敛．

nxsin(2nx)1sin(2nx)1，（2）．由于这对一切nN,xR都成立，而级数n!n!n!n1n1n!收敛，由比较判别法知，级数n1sin(2nx)收敛，即原级数绝对收敛．

n!sinnxsinnx(0x)．由本节例4知级数（3）收敛，又因为

nnn1n1sinnxsin2nx1cos2nx1cos2nx，

nn2n2n2n1cos2nx1cos2nx而级数发散，收敛，因而级数发散，由比较判别法知2n2nn12nn1n12nword

级数n1sinnx发散，即原级数条件收敛．

ncosnx(0x)．

pnn1（4）cosnx11cosnx当p1时，对任0x，由于，而收敛，故级数pnpnpnpn1nn1收敛，因而原级数绝对收敛．

1当0p1时，由于p单调下降趋于0，且部分和cosnx有界，从而由Dirichletnn1cosnxcos2nx1cos2nxcosnx1判别法知级数收敛．但由于，而发ppppppnn2n2nn2nn1n1cos2nxcosnx散，收敛，因而发散．从而当0p1时，原级数对一切0xpp2nnn1n1条件收敛．

当p0时，由于对一切0x，有limc则limcosnx0，osnx0（如若不然，xx2从而0limcosnxlimx21cos2nx1111，而p1，故limcos2nx，矛盾）x222x2nlimcosnx0，由级数收敛的必要条件知原级数发散．

pxn综上可知，原级数当p1时绝对收敛、当0p1时条件收敛、当p0时发散．

(1)nlnn（5）．

nn1由于数列lnn单调递减并趋向于0，由Leibniz判别法知原级数收敛；再考虑级数nn11(1)nlnn(1)nlnnlnn1limlnn，，由于lim而发散，因而级数nnnnnnn1nn1发散，即原级数条件收敛．

（6）n13(1)5nnn3(1)sinn．由于5nnn44sinn，而收敛，因而5n15nn原级数绝对收敛．

（7）(1)nnnsinn11111n．由于当n时，而当n充分大时，数列nsin~，nnnnword

单调递减趋于0，由Leibniz判别法知，级数(1)n1n1收敛，从而原级数收敛；再考虑级n数(1)nnnsinn111nnsin，由于limnnn1nnnsin1n1，而1发散，因而级数1n1nn(1)nnnsinn11发散，即原级数条件收敛．

nnn(1)n111ee（8）1．由于数列1与是等价无穷小量，而单nnnn1nnn调递减趋于0，由Leibniz判别法知原级数收敛；再考虑nn1(1)nn11111，nnn1nnn111n(1)n11nn由于lime，而发散，因而级数1发散，即原级数条件n1nnnn1n1n收敛．

(1)n(p0)． （9）1pn1nn1(1)n11p，而级数p收敛，故原当p1时，由于对任意n，都有11nn1nnpnpnn级数绝对收敛．

1(1)n11当0p1时，由于对一切n成立，而级数发散，11n1n1n1npnpnn由比较判别法知，级数n11(1)n发散；另一方面，考虑函数f(x)，由于当x充11ppnxnxword

1分大时f(x)0，因而数列单调递减趋于0，由Leibniz判别法知原级数收敛，1npn因而原级数条件收敛．

综上可知，原级数当p1时绝对收敛，当0p1时条件收敛．

（10）n2n(1)(1)nnp(p0)．

111，而收敛，故原p(n1)(n1)pn2当p1时，由于级数绝对收敛．

n＋(1)(1)nnpn＋(1)np当0p1时，由于n＋(1)(1)nnp11，而发散，由比较判别法知，pp(n1)n2(n1)级数n2n(1)(1)nnp发散；另一方面，当x0时，由Taylor公式知：

(1x)1x从而

(1)2nx21xO(x2)，

pn＋(1)(1)nnp(1)(1)(1)n1pnpnn(1)np1nn

(1)nnpn(1)np1(1)11pOO2p2，

pp1nnnnn(1)np1由Leibniz判别法知收敛，又由于p1,p2都收敛，故原级数收敛．因而pnn2n2nn2n原级数当0p1时条件收敛．

综上可知，原级数当p1时绝对收敛，当0p1时条件收敛．

（11）n1(1)nnp1n．

当p1时，由于(1)nnp1nn1p1n11p，而级数p收敛，故原级数绝对收敛．

nn1nword

当0p1时，由于(1)nn1pnn11pnn111n11n，而级数发散，因而nn2nn1n1级数n1(1)nnp1n发散；另一方面，由于(1)nnp1n(1)n(1)n1，而级数收敛，数列pnnpnnn1(1)n1收敛．所以原级数条件收敛．

n单调上升且有界，由Abel判别法知原级数1pn1nnn当p0时，(1)nnp1nn1p1n1nn1(n)，因而通项的极限lim(1)nnp1nn0，由级数收敛的必要条件知原级数发散．

综上可知，原级数当p1时绝对收敛，当0p1时条件收敛，当p0时发散．

（12）(1)n1n12nsin2nx．

nn1级数通项un(1)2sin2x2nsin2nx2n2sinx，所以当，由于limunlimnnnnn2sinx1，即k24xk4(kZ)时，级数(1)n1n12nsin2nx收敛，从而n原级数绝对收敛；当2sinx1，即xk显然条件收敛；当2sinx1，即k2224(kZ)时，原级数变为(1)n1n11，n4xk3(kZ)时，由于limnun1，n4n故可选取，使2sinx1，当n充分大时，有nun，即un1，即limun0，由级数收敛的必要条件知，原级数发散．

n综上可知，原级数在k在k4xk4时绝对收敛，在xk4时条件收敛，4xkn3时发散，其中kZ．

4x（13）n1anana0．

,limnword

由于limnnunlimxannxa，所以当xa时，原级数绝对收敛；当xa时，原级数发散；当xa时，级数可能收敛，也可能发散，例如令annnp，则mila1p当p1时收敛，p1时发散． 但级数npn1n1nnnnana10，（14）(1)n1nrnn(r0)．

1n由于limnunlimrnn1r，所以当0r1时，原级数绝对收敛；当r1时，级数通项的极限不为0，故原级数发散；当r1时，级数变成(1)n1n，显然发散．

ux（15）n!．由于limn1nunn1nnx(n1)!n1limnnxn!nn1nx1lim1x，nn1e因而当xe时原级数绝对收敛；当xe时，原级数发散；当xe时，此时级数变为nn!ennn!e或(1)，这两个级数不能用达朗贝尔判别法判别，但由斯特林公式知：

nnnnn1n1nn!2ne12n(01)，

enn12nn2neen!ene12n因而n由级数收敛的2ne2n，通项的极限不为0，nnnnn!ennn!e必要条件知n和(1)都发散．

nnnn1n1n综上可知，原级数当xe时绝对收敛，当xe时发散．

(1)n（16）ln1，其中p0．

pnn1(1)n当p1时，由Taylor公式知ln1npword

(1)n1ppnn(1)，由于级数绝pn1nn

对收敛，因而原级数绝对收敛．

(1)n1当p1时，由Taylor公式知ln1p2n(1)n112pp2pn2nn，又因为级(1)n1数条件收敛，收敛，从而原级数条件收敛．

p2pnn1n12n当0p1时，令m是满足mp1(m1)p的任一正整数（显然m2），这时根2mn(1)n1(1)3n1m11(1)(1)O(m1)p

p2p3pmpmn2n3nnn据Taylor公式有：

(1)nln1np(1)n(1)3n,,均条件收敛，而所有偶数项构由于在上式中所有奇数项构成的级数p3pn3nn1n111成的级数2p,4p,均发散，故原级数发散．

n12nn14n综上，原级数当p1时绝对收敛，当（17）11p1时条件收敛，当0p时发散．

22n1(1)nn(1)n1p．由于

(1)nn(1)n1p(1)n(1)n11ppn1n(1)2nn1n(1)np，

根据Taylor公式知，

(1)n(1)n1p1n2np(1)n(1)n11(1)np11pppn1n1nnn2n2n2n2，

因此，当p2时，由于级数n1(1)nnp2,n1pnp12均绝对收敛，故原级数绝对收敛；当1p2时，由于级数n1p2(1)nnp2条件收敛，n1pnp12绝对收敛，故原级数条件收敛；当0p1时，由于级数n1(1)nn条件收敛，n1pnp12发散，故原级数发散；当p0时，原级数通项的极限不是0，故原级数发散．

综上，原级数当p2时绝对收敛，当1p2时条件收敛，当p1时发散．

word

nsin4（18）．显然当p1时级数绝对收敛，当p0时级数发散，故以下nn1npsin4只考虑0p1的情形．将通项化为

nnsinsin44nnppnsin4nsin41np1nnsinsin1414O2pnpnpn

nnsinsin2144O3p.

p2pnnn当2p1，即1p1时，由于上式中第二、三项组成的级数均绝对收敛，而对于级2nsinnk14sin有界，由Dirichlet数，由于数列单调下降趋于0，且部分和数列pp4nnk1n1判别法知它是收敛的．另一方面，由于

nnn2nsinsin1coscos14422，

ppppnn2n2npn1n1n1n12nn1nncossin114发散．2收敛，而且级数发散，故级数综上可知，当p1ppp2n2nn12nn1n1nsin4条件收敛，因而原级数也条件收敛． 时，级数npn11时，仿照（16）小题方法知级数发散．

211综上可知，原级数当p1时绝对收敛，当p1时条件收敛，当p时发散．

22当0p3．利用Cauchy收敛原理判别下列级数的敛散性：

（1）a0a1qa2qanq,q1,anA(n0,1,2,)；

（2）12n11111．

23456word

解（1）由于q1，故limq0，由极限的定义知，对0，存在N0，nNnn时，都有|qn11q|，对于nN,pZ时，都有

Aun1un2unpan1qn1an2qn2anpqnp

an1qn1an2qn2anpqnp

A|q|n1|q|n2|q|npA|q|n1|q|n2|q|n1A1|q|.

A1|q|1|q|A因而由Cauchy收敛原理知原级数收敛．

（2）取010，对任意N，取n3NN,p3Nn，这时

6un1un2unpu3N1u3N2u3N3N

111111

3N13N23N33N43N53N6111

3N3N23N3N13N3N111111

3N13N23N33N43N53N6111

6N26N16N111

3N13N46N2111

3(N1)3(N2)3(NN)11111N10，

3N1N2NN32N6由Cauchy收敛原理知级数111111发散．

2345624．求证：若级数an1n(an0)收敛，则级数an收敛．但反之不成立，请举出例n1word

子．

证明 由于级数an1n收敛，故liman0，从而当n充分大时an1，又由于an0，n故0an1，因此当n充分大时anananan，由比较判别法知级数111反之不成立，如令an，则级数2收敛，但发散．

nn1nn1n2an收敛．

2n1bn1，问是否能判断出bn也收敛？研究例子 5．若级数an收敛，且limnan1n1nan(1)nn,bnan(1)n1．

n解 不能断定bn1n也收敛．如果令an1,bnan，则显然an收敛，又nnn11(1)n1(1)n1bnan，由收敛，发散知bn发散．但此时有

nnnnn1n1nn1(1)nbnlimlim1nannn因此由已知条件不能断定1，

bn1n也收敛．事实上，也不能断定bn1n发散，例如在题设下，bn1，但bn收敛． 取bnan，则limnan1n6．证明：若级数an1n(A)及bn(B)都收敛，且ancnbn(n1,2,)，则级数n1cn1n(C)也收敛．若级数(A)与(B)都发散，问级数(C)的收敛性如何？

证明 由于级数an1n与bn1n均收敛，故由Cauchy收敛原理知0,N，当nN时，对pZ，有

an1an2anp，bn1bn2bnp，

word

从而an1an2anp，bn1bn2bnp，再由已知条件知

an1an2anpcn1cn2cnpbn1bn2bnp

即cn1cn2cnp，由Cauchy收敛原理知级数(C)收敛．

若级数(A)与(B)都发散时，级数(C)可能收敛，也可能发散．如级数(1)与1都n1n111发散，对一切n，均有11,101，但级数发散，而0收敛．

nn1nn1anana7．证明：若x收敛，则当xx0时，x也收敛．若xn发散，则当xx000n1nn1nn1n时，

an也发散．

xn1nanaanan1证明 若x收敛，当xx0时，xxxx，由于级数xn收敛，000n0n1nn1nn1nn1n1而数列xxn0an单调有界，由Abel判别法知级数也收敛．

xn1nanana若x发散，假设xx0时x收敛，则由第一步已证结论知，级数xn也收00n1nn1nn1n敛，矛盾！故当xx0时，an也发散．

xn1n8．求证：若数列nan有极限，nn(an1nan1)收敛，则an也收敛．

n1*证明 设Snak1k是an1n的部分和，Snk(ak1nkak1)是级数n(anan1)n1的部分和，由于n(an1*nnan1)收敛，故数列Sn收敛，设limSns*，由于

n**Snk(akak1)

k1(a1a0)2(a2a1)3(a3a2)n(anan1)

word

a0a1a2an1nan

Sn1a0nan，

所以Sn1nana0Sn，从而limSn1limnana0limSnlimnana0s，nnnn***由于limnan存在，故limSn1也存在，即nnan1n的部分和数列有极限，因而级数an1n收敛．

9．求证：若(an1nnan1)绝对收敛，bn收敛，则anbn收敛．

n1n1证明 由于(an1an1)绝对收敛，因而它收敛，设Sn是它的部分和，则Snana0有极限，即liman存在，故数列{an}有界，设anM(n1,2,)．

n再根据(an1nan1)绝对收敛和bn收敛，由Cauchy收敛原理知，0,N，n1np当nN时，对pZ，有npkn1anpkak1及kn1bk．因而

kn1abkkan1bn1an2bn2anpbnp

an1bn1(an2an1)an1bn2

(anpanp1)(anp1anp2)(an2an1)an1bnp

npan1kn1npbnpk(an2an1)kn2npbk(anpanp1)bnp

an1kn1bkan2an1kn2bkanpanp1bnp

npanp1Makak1kn2Man2an1anp(M)，

由Cauchy收敛原理知级数

abn1nn收敛．

word

10．求证：若级数an12n和bn12n都收敛，则级数

n1anbn，(anbn)，2n1ann2

n1也收敛．

anbn22证明 这里每个级数都是正项级数，由于anbn，而an与bn均收2n1n12敛，因而abn12nn收敛；又因为

22(anbn)an2anbnbnanbn2anbnanbn222222abnn，

2111212因而(anbn)也收敛；最后，由于而2 与ananan2，nn2nn1n1n1n2an都收敛，由比较判别法知，级数n1ann也收敛．

11．设正项数列xn单调上升且有界，求证：xn1x收敛．

n1n1n证明 由于正项数列xn单调上升且有界，故由单调有界原理知其收敛，设limxna，xn11(xx)级数，由于

n1nxxn1n1n1n1lim(xk1xk)lim(xn1x1)ax1，

nk1nn1xn1故级数(xn1xn)收敛，又单调有界，故由Able判别法知级数收xn1n1n1xn1敛．

12．对数列an，bn，定义Snak1nk，bkbk1bk，求证：

（1）如果Sn有界，bn1n收敛，且bn0(n)，则abn1nn收敛，且有

word

abn1nnSnbn.

n1（2）如果an1n与bn1n都收敛，则abn1nn收敛．

证明（1）由于Sn有界，故存在M0，使得对一切自然数n，有SnM．

对0，由bn1n收敛知，存在N10，当nN1时，对pZ，有

npkn1bk4M， （*）

又由limbn0知，存在N20，当nN2时，有

nbn4M. （**）

取Nmax{N1,N2}，则nN，pZ，（*）与（**）都成立，此时应用Able变换可得

kn1abknpnp1kkn1np1(SkkSn)(bkbk1)bnp(SnpSn)

kn1SSnbkbnpSnpSn

np12Mkn1bk2Mbnp

2M由Cauchy收敛原理知4M2M4M，

abn1knn收敛．又由Abel变换得

n1abkk1nSk(bkbk1)bnSnSkbkbnSn，

k1k1n1两端同时取极限得abn1nnSnbnlim(bnSn)，再由已知条件Sn有界及n1nlimbn0可得lim(bnSn)0，因而anbnSnbn．

nnn1n1word

（2）由于an1n收敛，故其部分和数列Sn有界，即存在M10,nZ，都有又由bn收敛知，bn也收敛，故其部分和数列nbkbn1b1SnM1．n1n1k1n极限存在，即数列bn极限存在，因而bn有界，即存在M20,nZ，有bnM2．

取Mmax{M1,M2}，则nZ，SnM和bnM同时成立．

对0，由于a，bnn1n1n都收敛，由Cauchy收敛原理知，存在N0，当nN时，对pZ，有

npkn1akSnpSnnp12Mnp，kn1bk4M，

故由Able变换，可得

kn1abknpkkn1np1(SkkSn)(bkbk1)bnp(SnpSn)

kn1SSnbkbnpSnpSn

np12Mkn1bkMSnpSn

2M4MM2M，

由 Cauchy收敛原理可知，级数abn1nn收敛．

13．设an1n收敛，且limnan0，求证nn(an1nan1)收敛，并且

n(an1nan1)an.

n1证明 由an1nn极限存在，收敛知，其部分和数列令limns．设nn(an1nan1)的部分和为Sn，则

word

Snk(akak1)aknan1n(n1)an1an1.

k1k1nn由于limns,limnan0,liman10，故对上式两端取极限得nnnn(an1nan1)s，即n(an1nan1)收敛且ans，因此n(anan1)an．

n1n1n114．下列是非题，对的请给予证明，错的请举出反例：

（1）若an0，则a1a1a2a2a3a3收敛；

（2）若an0，则a1a1a2a2a3a3收敛；

（3）若an1n收敛，则(1)n13nan收敛；

（4）若an收敛，则an绝对收敛；

2n1n1（5）若an1n发散，则an不趋于0；

（6）若an1n收敛，bn1，则abn1nn收敛；

（7）若an1n收敛，bn1，则abn1nn收敛；

（8）若an1n收敛，则an12n收敛；

（9）若an1n收敛，an0，则limnan0．

n答（1）错误．如an10，但111111发散．

（2）正确．设级数的部分和级数为Sn，则S2n0,S2n1a2n10(n)，故数列Sn收敛于0，因而原级数收敛．

n(1)n1n(1)发散． （3）错误．如收敛，但(1)nnn1n1n1nword

（4）正确．由于an12n收敛，故liman0，从而liman0，由数列极限定义知，n2n存在N0，nN时，都有an1，故当nN时，有anananan，由比较判别法知322n1an收敛，因而an绝对收敛．

33n1（5）错误．例如11发散，但lim0．

nnn1n(1)nn，则（6）错误．例如令anan1n收敛，令bn1(1)nn，则bn1，但(1)n(1)nanbn1nnn1n1(1)n1(1)n1nnnn却发散．

n1n1n1（7）正确．对0，由an1n收敛知，存在N10，nN1,pZ，都有

an1an2anp，

又由bn1知，存在N20，nN2时，都有bn1，从而bn1．

取Nmax{N1,N2}，则nN,pZ时，都有

an1bn1an2bn2anpbnpan1bn1an2bn2anpbnp

an1an2anp(1)(1)，

故abn1nn收敛．

2（8）错误．如n1(1)n(1)n收敛，但nnn11却发散．

nn1（9）错误．反例如本章第3节习题9．

15．求下列极限（其中p1）：

（1）lim111n(n1)p(n2)p(2n)p111．

n22nnpn1pp；

（2）limword


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级数,收敛,发散,判别