数学分析1.2数集与确界原理

第一章 实数集与函数

2 数集·确界原理

一、区间与邻域

设a、b∈R，且a

(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|xa}，

(−∞, +∞) ={x|−∞

设a∈R，δ>0。满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有

U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)

点a的空心δ邻域定义为

U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}

也简单地记作U⁰ (a).

点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；

点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；

去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).

∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；

+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.

二、有界集·确界原理

定义1 ：设S为R中的一个数集。若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。若S不是有界集，则称S为无界集。

例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。

证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；

∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。

数集S最小的上界称为上确界；最大的下界称为下确界。上确界与下确界统称为确界。

定义2：设S是R中的一个数集，若数η满足：

1）对一切x∈S，有x≤η，即η是S的上界；

2）对任何α<η，存在x0∈S，使得x0>α，即η又是S的最小上界，即称η为数集S的上确界，记作：η=sup S.

定义3：设S是R中的一个数集，若数ξ满足：

1）对一切x∈S，有x≥ξ，即ξ是S的下界；

2）对任何β>ξ，存在x0∈S，使得x0<β，即ξ又是S的最大下界，即称ξ为数集S的下确界，记作：ξ=inf S.

例2：设S={x|x为区间(0,1)中的有理数}。试按上、下确界的定义验证：

sup S=1，inf S=0.

解：∀ x0∈S，则0

对任何a<1，若a≤0，则a0，则在(a,1)中必有有理数x1∈S，使得x1>a.

对任何b>0，若b≥1，则b>x0；若b<1，则在(0,b)中必有有理数x2∈S，使得x2

∴sup S=1，inf S=0.

数集S的上(下)确界是唯一的，且有inf S≤sup S.

例3：设数集S有上确界，证明：η=sup S∈Sη=max S.

证：设η=sup S∈S，则对一切x∈S有x≤η，∴η=max S.

设η=max S，则对一切x∈S有x≤η，∴η是S的上界；且η∈S。

对任何a<η，只须取x0=η∈S，则x0>a，∴η=sup S.

定理1.1(确界原理) 设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。

证：不妨设S含有非负数。∵S有上界，∴有n>0，使得

1) 对任何x∈S，有x

2) 存在a0∈S，使a0≥n.

对[n,n+1)作10等分，分点为n.1,n.2,…,n.9，则存在0,1,2,…,9中的一个数n1，使得

1)对任何x∈S，有x

2)存在a1∈S，使a1≥n.n1.

对[n.n1,n.n1+10)作10等分，则存在0,1,2,…,9中的一个数n2，使得

1)对任何x∈S，有x

2) 存在a2∈S，使a2≥n.n1n2.

依此类推，可知对任何k=1,2,…，存在0,1,2,…,9中的一个数nk，使得

1) 对任何x∈S，有x

2) 存在ak∈S，使ak≥n.n1n2…nk.

无限循环进行，得到实数η= n.n1n2…nk…，

若存在x∈S，使x>η，则可找到x的k位不足近似xk，使

xk>ηk= n.n1n2…nk+10k；

从而得：x> n.n1n2…nk+10k；这与(1)式矛盾，

1) ∴对一切x∈S，有x≤η；

2) 设a<η，则存在k使η的k位不足近似ηk>ak，即n.n1n2…nk>ak，

又有a’∈S，使a’≥ηk，从而有a’≥ ηk>ak≥a.

∴sup S=η

不妨设S无负数；∵S有下界，∴有n>0，使得

1) 对任何x∈S，有x>n；

2) 存在b0∈S，使b0≤n+1.

111111

对[n,n+1)作10等分，分点为n.1,n.2,…,n.9，则存在0,1,2,…,9中的一个数n1，使得

1) 对任何x∈S，有x>n.n1；

2) 存在b1∈S，使b1≤n.n1+10.

对[n.n1,n.n1+10)作10等分，则存在0,1,2,…,9中的一个数n2，使得

1) 对任何x∈S，有x>n.n1n2；

2) 存在b2∈S，使b2≤n.n1n2+102.

依此类推，可知对任何k=1,2,…，存在0,1,2,…,9中的一个数nk，使得

1) 对任何x∈S，有x>n.n1n2…nk； (2)

2) 存在bk∈S，使bk≤n.n1n2…nk+10k.

无限循环进行，得到实数ξ= n.n1n2…nk…，

若存在x∈S，使x<ξ，则可找到x的k位过剩近似xk，使

xk<ξk= n.n1n2…nk；

从而得：x< n.n1n2…nk；这与(2)式矛盾，

1) ∴对一切x∈S，有x≥ξ；

2) 设b>ξ，则存在k使ξ的k位过剩近似ξk

又有b’∈S，使b’≤ξk，从而有b’ ≤ξk

∴inf S=ξ

例4：设A、B为非空数集，满足：对一切x∈A和y∈B有x≤y. 证明：

数集A有上确界，数集B有下确界，且sup A≤inf B.

证：由题设，知数集B中任一数y都是数集A的上界，A中任一数都是B的下界，所以数集A有上确界，数集B有下确界。

对任何y∈B，由上确界定义，知sup A≤y；

可见sup A是B的一个下界，由下确界定义，知sup A≤inf B.

例5：设A、B为非空数集，S=AUB. 证明：

11111

1) sup S=max{sup A, sup B}；2) inf S=min{inf A, inf B}.

证：依题意，S为非空有界数集，sup S，inf S都存在.

1) 对任何x∈S，有x∈A或x∈B=>x≤sup A或x≤sup B，从而有x≤max{sup A, sup B}，

故得sup S≤max{sup A, sup B}

又对任何x∈A，有x∈S=>x≤sup S=>sup A≤sup S；同理sup B≤sup S，

故得sup S≥max{sup A, sup B}

∴sup S=max{sup A, sup B}

2) 对任何x∈S，有x∈A或x∈B=>x≥inf A或x≥inf B，从而有x≥min{inf A, inf B}，

故得inf S≤min{inf A, inf B}

又对任何x∈A，有x∈S=>x≥inf S=>inf A≥inf S；同理inf B≥inf S，

故得inf S≥min{inf A, inf B}

∴inf S=min{inf A, inf B}

若数集S无上界，则定义+∞为S的非正常上确界，记作sup S=+∞；

若数集S无下界，则定义-∞为S的非正常下确界，记作inf S= -∞.

习题

1、用区间表示下列不等式的解：

(1) |1-x|-x≥0； (2) |x+x|≤6； (3) (x-a)(x-b)(x-c)>0 (a,b,c为常数，且a

(4) sinx≥

2.

2111解：(1) 1-x≥x或1-x≤ - x；即x≤

2；∴原不等式的解为：x∈(-∞,

2].

(2) -6≤x+x≤6，且x≠0；

当x>0时，-6x≤x2+1≤6x；解得3-2

2≤x≤3+2

2；

当x<0时，-6x≥x2+1≥6x；解得-3-2

2≤x≤ -3+2

2；

原不等式的解为：x∈[3-2

2, 3+2

2]∪[-3-2

2, -3+2

2]

(3)当x>a时，x>c或xc或a

当x

1

∴原不等式的解为：x∈(a,b)∪(c,+∞).

(4)当-π

π3π4]；

π3π4根据正弦函数的周期性，原不等式的解为：x∈[2kπ+4, 2kπ+

2、设S为非空数集。试对下列概念给出定义：

(1)S无上界；(2)S无界.

]，k为整数。

解：(1)设S为非空数集，若对任意M>0，总存在x0∈S，使x0>M，则称数集S无上界；

(2)设S为非空数集，若对任意M>0，总存在x0∈S，使|x0|>M，则称数集S无界.

3、试证明数集S={y|y=2-x2, x∈R}有上界而无下界.

证：对任意x∈R, y=2-x2≤2，∴数集S有上界2.

而对任意的M>0，取x1=

M+3，有y1=2-(M+3)= -M-1∈S，

且y1<-M，∴数集S无下界。

4、求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：

(1) S={x|x2<2}；(2) S={x|x=n!, n∈N+}；

(3) S={x|x为(0,1)内的无理数}；(4) S={x|x=1−解：(1) sup S=

2；inf S=−

2 .

验证：由x2<2，得−

2

2. 因此对于任意x∈S，有x<

2，且x>−

2，

即

2和−

2分别是S的上下界.

又对任意ε>0，不妨设ε>2

2，

于是存在x0=

2−2，x1=−

2+2，使x0,x1∈S，但x0>

2-ε；x1<−

2+ε，

∴sup S=

2；inf S=−

2 .

(2) sup S=+∞，inf S=1.

验证：对任意x∈S，1≤x<+∞. 所以1是S的下界。

εε12n, n∈N}.

对任意自然数n，n!<+∞，∴sup S=+∞；

又对任意ε>0，有x1=1!=1∈S，而x1<1+ε，∴inf S=1.

(3) sup S=1；inf S=0；

验证：依题意，对任意x∈S，有x<1，且x>0，即1和0分别是S的上下界.

又对任意ε>0，取0<η<ε，使1-η为无理数，则1-η∈S，且1-η>1-ε,∴sup S=1；

又η为无理数，∴η∈S，且η<0+ε,∴inf S=0.

(4) sup S=1；inf S=12；

验证：对任意x∈S，有1≤x<1；即1和122分别是S的上下界.

又对任意ε>0，必存在自然数k，使xk=1−112k∈S，且xk=1−2k>1-ε，∴又x=1−1112=2<2+ε，∴inf S=12.

5、设S为非空有下界数集。证明：inf S=ξ∈Sξ=min S.

证：设ξ=min S，则对一切x∈S，有x≥ξ；

又对任意的ε>0，存在ξ∈S，使ξ<ξ+ε;∴inf S=ξ.

设inf S=ξ∈S，则对一切x∈S，有x≥ξ；∴ξ=min S.

6、设S为非空数集，定义S-={x|-x∈S}。证明：

(1)inf S-= -sup S；(2)sup S-= -inf S.

证：(1) 设sup S=ξ；对一切-x∈S，有-x≤ξ；

则x≥-ξ= -sup S，且x∈S-；∴-sup S是S-的下界；

又对任意的ε>0，存在-x0∈S，有-x0>ξ-ε;

则x0<-ξ+ε= -sup S+ε，且x0∈S-；∴inf S-= -sup S.

(2) 设inf S=η；对一切-x∈S，有-x≥η；

则x≤-η= -inf S，且x∈S-；∴-inf S是S-的上界；

又对任意的ε>0，存在-x0∈S，有-x0<ξ+ε;

则x0>-ξ-ε= -inf S-ε，且x0∈S-；∴sup S-= -inf S.

7、设A、B皆为非空有界数集，定义数集A+B={z|z=x+y, x∈A, y∈B}.

sup S=1；

证明：(1)sup (A+B)=sup A+sup B；(2)inf (A+B)=inf A+inf B.

证：(1)设sup A=a，sup B=b；

对于一切x∈A, y∈B有x≤a，y≤b；则x+y≤a+b，

又z=x+y∈A+B；所以a+b是A+B的上界；

对于任意ε>0，存在x0∈A，y0∈B，有x0>a-

2; y0>b-

2;

又z0=x0+y0>a+b-ε，z0∈A+B；∴sup (A+B)=a+b=sup A+sup B.

(2) 设inf A=m，inf B=n；

对于一切x∈A, y∈B有x≥m，y≥n；则x+y≥m+n，

又z=x+y∈A+B；所以m+n是A+B的下界；

对于任意ε>0，存在x0∈A，y0∈B，有x0

2; y0

2;

又z0=x0+y0

8、设a>0，a≠1，x为有理数。证明：

sup ar r为有理数，r<