2023年12月14日发(作者：什么是英语联考数学试卷)

数学物理学报　ｈｔｔｐ：／／ａｃｔａｍｓ．ｗｉｐｍ．ａｃ．ｃｎ　单位球向量值Ｂｅｒｇｍａｎ空间上的Ｔｏｅｐｌｉｔｚ乘积　于涛　朱若卫　（浙江师范大学数学系　浙江金华３２１００４）　摘要：设Ｆ和Ｇ是函数组成的矩阵，它们的元素都是单位球上平方可积的解析函数，该文研　究单位球向量值Ｂｅｒｇｍａｎ空间上的Ｔｏｅｐｌｉｔｚ算子乘积　的充分条件和必要条件．　关键词：向量值Ｂｅｒｇｍａｎ空间；Ｔｏｅｐｌｉｔｚ算子；Ｂｅｒｅｚｉｎ变换；迹．　，分别获得了算子　有界　ＭＲ（２０００１主题分类：４７Ｂ３５　中图分类号：Ｏ１７７．１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００３—３９９８（２０１１）０６—１５５０—０９　１　引言　以日　表示单位圆周上的Ｈａｒｄｙ空间上，对于两个函数ｆ，ｇ∈日　，Ｔｏｅｐｌｉｔｚ算子乘积　是稠定义的．　１９９４年，Ｓａｒａｓｏｎ［　］提出猜想：Ｔｏｅｐｌｉｔｚ乘积　码有界的充要条件是　ｓｕｐ　ｌｆｔ　（ｚ）ｌｇｌ　ｚ）＜。。．　ｚ∈Ｄ　（１）　其中　代表乱在单位圆盘内的Ｐｏｉｓｓｏｎ扩张．Ｔｒｅｉｌ【１］证明了条件（１）是必要的．　Ｚｈｅｎｇ　Ｄｅｃｈａｏ［２］证明了如下的比（１）式强一些的条件是充分的．　存在Ｅ＞０，使得ｓｕｐ　ｌ＿厂ｌ。＋　（ｚＯｌｇｌ　＋　（　）＜∞．　（２）　Ｓａｒａｓｏｎ在文献ｆ１］中同时提出Ｂｅｒｇｍａｎ空间上的类似问题，　Ｓｔｒｏｅｔｈｏｆｆ和Ｚｈｅｎｇ在　文献『３］中给出与Ｈａｒｄｙ空间情形类似的回答，这时条件（１）和（２）中的Ｐｉｏｓｓｏｎ扩张改为　Ｂｅｒｇｍａｎ空间上的Ｂｅｒｅｚｉｎ变换．文献ｆ４　５１分别将该结果推广到单位圆盘和单位球上的加　权Ｂｅｒｇｍａｎ空间．文献『６—７１分别将该结果推广到多圆盘和单位球上的Ｂｅｒｇｍａｎ空间．卢　玉峰等ＩＳ－９】分别研究了多圆盘和单位球Ｂｅｒｇｍａｎ空间上的有界Ｔｏｅｐｌｉｔｚ和Ｈａｎｋｅｌ乘积．　最近，Ｋｅｒｒ［　］在单位圆盘上向量值Ｂｅｒｇｍａｎ空间上得到与文献ｆ３］类似的结果．本文的目　的是将其推广到单位球的向量值Ｂｅｒｇｍａｎ空间上．　本文设礼和ｍ是两个固定的正整数．令Ｃ　表示ｎ维复欧氏空间，其内积为（　，Ｗ）＝　∑Ｚｉ　，用ｌＺ｛表示　∈Ｃ　的模．以Ｂ　＝｛　∈ｃ　：　收稿日期：２０１０—０４—２９；修订日期：２０１１一ｉ０—１８　Ｅ—ｍａｉｌ：ｈｕｎｈｅｙｕｍｉｎ＠ｇｍａｉｌ．ｔｏｍ；ｒｕｏｗｅｉｚｈｕ＠１６３．ｃｏｒｎ　＜１）记ｃ　中的开单位球，　｝基金项目；国家自然科学基金（１０９７１１９５，１０７７１０６４）和浙江省自然科学基金（Ｙ６０９０６８９，Ｙ６１１０２６０）资助　Ｎｏ・６　于涛等：单位球向量值Ｂｅｒｇｍａｎ空间上的Ｔｏｅｐｌｉｔｚ乘积　１５５１　记Ｂｎ上的壬　化Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度．对１　Ｐ＜。。，Ｌｐ（　）（ｍ）表示所有Ｐ次可积的可测函数　．厂：Ｂｎ—Ｃ（　ｊ组成的Ｂａｎａｃｈ空间，其范数为　／，　、１／ｐ　ｌＩｆｌＩＬ　（ｍ）＝（／ｌｆ（ｚ）　ｌｄｖ（ｚ））　．　＼　Ｂｎ　／　以日（　）　’表示Ｂｎ，　Ｃ　的向量值解析函数所组成的空间．定义向量值Ｂｅ　ｇｍａｎ空间为　翠（Ｂｎ）　＝Ｈ（Ｂｎ）‘　’ｎ　Ｌｐ（Ｂ　）（　，它是ＬＰ（Ｂ　）（ｍ）的闭子空间．当Ｐ：２时，　Ｌ　（Ｂ　）（ｍ　当ｍ＝ｌ时，　（Ｂｎ）（　）即为通常的数量值Ｂｅｒｇｍａｎ空间，记为　（Ｂ　）令Ｐ为Ｌ２（　）到Ｌ２（Ｂ　）的直交投影．对．厂∈　（Ｂ　）Ｂｅｒｇｍａｎ空间　（Ｂ　）上Ｔ０ｅｐｌｉｔ　算子　定义为　．　，（　＝Ｐ（ｆｇ），ｈ∈Ｌ２ａ（Ｂ　）．　．显然，上述算子在Ｌ￣ａ（Ｂ　）的稠子集日　（Ｂ　）上是有定义的对　，　∈Ｂ　，令　，　ｆ　）：　１／（　１（．厂，Ｋ　）Ｌ。（　）．所以　一　因此上面的射影Ｐ可表示为（）　，兰墨Ｌ．￣（．ＢｎＰ，）的再生核，即对任意的９∈）（　）　（Ｂ　），有　（ｚ）：（９，　）　（Ｂ　．。　＝（驯　＝　）　）厕　叫）　，这样对．厂∈　（＿Ｂｎ）和ｈ∈Ｌ２ａ（Ｂ　），：　（　）是一个确定的解析函数因此巧　也是稠定义的　设‰×ｍ（Ｌ　（Ｂｎ））表示ｍ×”　矩阵，其中每个元素都在　（Ｂ　）中设　．Ｆ＝（＾Ｊ）ｔ，ｊ∈　×ｍ（　（　）），＂＝　１，　２，…，＂　）　∈日ｏ。（Ｂ　）（ｍ）　定义　（Ｂ　）（　）上的Ｔｏｅｐｌｉｔｚ算子　为　Ｐ∑ｍ　、）：　（　）＝Ｐ‘　（Ｆ＂）＝（Ｐ∑．７’１｛　，．．　．，、　ｔ＝１　ｉ＝１　７　㈡，　。　　。　。。　’　其中Ｐ（　）表示Ｐ在　（Ｂ　）（ｍ）上的膨胀．　设Ｗ∈Ｂ　，定义Ｂ　上的ＭＳｂｉｕｓ变换　（ｚ）：—Ｗ．　为　（　）～ｓ　Ｑ　（　）　ｌ～（　，Ｗ）　，　∈Ｂｎ　其中　为ｃ　由叫０时　璧的子空间　］的直交投影，ｓ　＝、　＝　，Ｑ　：　一　，当　，　０（名）＝一　．易知　－－１＾＝＝　，　（０）：　，　（伽）：０设Ｆ∈　×ｍ（Ｌ２（Ｂｎ）），则Ｆ的Ｂｅｒｅｚｉｎ变换Ｂ［Ｆ］定义为Ｂ．ｎ上的矩阵值函数　Ｂ　加）＝　（Ｆ。　㈤　１５５２　数学物理学报　、，ｏ１．３ｌＡ　设　＝Ｋｗ／［［Ｋ　ｌｌＬ　（Ｂ　）是Ｌ２ａ（Ｂ　）的正规化再生核．通过一个变量代换［１１ｊ命题１．１３］，可见　矩阵Ｂ［Ｆ］（Ｗ）的（ｉ，Ｊ）元为（　，‰）Ｌ。（Ｂ　）．　设Ｆ∈Ｍｍ　（　（Ｂ　）），用Ｆ　表示Ｆ的伴随矩阵，下面是本文的主要结果．　定理１设　Ｇ∈　（　（　）），若存在￡＞０，使得矩阵　Ｂ［（Ｆ　Ｆ）字］（　）Ｂ［（Ｇ　Ｇ）丁２＋ｅ］（　）　的迹关于Ｗ∈Ｂ　一致有界，则Ｔｏｅｐｌｉｔｚ乘积　死　是Ｌ２ａ（Ｂ　）（　）上的有界算子．　定理２设　Ｇ∈　（　（Ｂ　）），若Ｔｏｅｐｌｉｔｚ乘积　阵Ｂ［（Ｆ　Ｆ）】（　）Ｂ［（Ｇ　Ｇ）］（叫）的迹关于Ｗ∈Ｂ　一致有界．　ｎ　一，一　（在Ｌ２ａ（Ｂ　）　）上有界，则矩　抚　２预备知识　对任何多重指标Ｊ＝（　１，…，Ｊ　）∈Ｎ　，在此Ｎ表示非负整数集．记ｌＪｌ＝Ｊ１＋…＋　，　！＝　ｊｌ！…＿ｊ　！．对　：（ｚ１，…，　）∈Ｂ　，名Ｊ定义为　．．碚　文献【５，７，１２］分别证明单位球　Ｂｅｒｇｍａｎ空间的一个内积公式，此公式不难推广到向量值Ｂｅｒｇｍａｎ空间Ｌ２ａ（Ｂ　）（　）的情　形．下面直接给出此公式，略去证明．ｖｆ，ｇ∈Ｌ２ａ（Ｂ　）（　，则　：．　１／．　（１　州（（　（　ｄｔ）（伽）ｊ（３）　，ａｌ，ｂｚ是仅与礼有关的常数・　其中Ｊ＝（　１，…，　）∈　，ＤＪ＝　在下文中用　表示正常数，不同位置其值可以不同．在不致混淆的情况下，相应空间　或算子的范数均用ｌｌ＿ｌｌ表示．　定义２．１对ｆ，ｇ∈Ｌ２ａ（Ｂ　）（　，定义一秩算子ｆ　ｇ：Ｌ　（Ｂ　）（　）一　。（Ｂ　）　为　（１厂　ｇ）ｈ＝（ｈ，９）Ｌ。ｆ　）（　）ｆ．对于Ｆ＝（　）ｉ，Ｊ，Ｇ＝（ｇｉｊ）ｉ，Ｊ∈Ｍｍ×ｍ（　（Ｂｎ）），定义算子　Ｆ０Ｇ：Ｌ２Ｂ　）（ｍ）一　ｉ（Ｂ　）（ｍ）为　ａ（ｆＦ　ａ）ｈ＝　㈡　ｈ∈　（Ｂ　）（　）　）　，Ｊ　叫））＝　（（Ｇ　ｗ），（　＿ｑ（　（　以下总设Ｆ＝（　）　，Ｊ，Ｇ＝（　ｊ）ｉ，　∈Ｍｍ　（Ｌ　（Ｂ　））．Ｆｋ　表示矩阵（　引理２．２设，，９∈Ｌ２（Ｂ　）（　），　∈Ｂ　，贝４　（野　ｔ厂（叫），　证由定义，可得　Ｎｏ．６　于涛等：单位球向量值Ｂｅｒｇｍａｎ空间上的Ｔｏｅｐｌｉｔｚ乘积　１５５３　＝＝　＜／Ｂ　㈣丽　，／Ｂ　Ｇ　）丽　＞　＜　）　ｚ）　（Ｆ（＜）　９㈠＞　ｚ）　（（（Ｇ　），）（加㈦）　㈠・　＝　证毕．　设Ｑ１，Ｑ２是两个变量，如果存在正常数　等价，记作Ｑｌ　Ｑ２．　引理２．３　ｍ∑　０　ｍ∑　，　满足Ｃ１Ｑｉ　Ｑ２　Ｃ２Ｑ１，则称Ｑ１和Ｑ２　ｍ∑　ｍ∑　（Ｆ　Ｇ）（・Ｇ　Ｆ）ｌｌ＾一ｔｒ｛（Ｆ　Ｇ）（Ｇ　Ｆ）｝　凡　证易见　因为（Ｆ　Ｇ）（Ｇ　ｏ　Ｆ）是有限秩正算子，所以其范数与ｔｒ｛（Ｆ　Ｇ）（Ｇ　０　Ｆ））等价　ｃＦ　Ｇ　ｃＧ　Ｆ　＝（薹（Ｅ　ｆｉｚ￣　ｚ）（　ｚ　ｚ））　／ｍ　ｍ　ｍ　、　＝（∑∑∑（９　ｇｐｒ）　ｔ　ｐ＝ｌ　ｒ＝ｌ　ｌ＝１　，ｊ　）　／ｉ，ｊ　等于其主对角线元的迹之和辜　（ｈｉ　，ｈ立２）　可知引理成立．　，用文　坞，命题２　，算子矩阵的　１　引理２．４　ｌｌＧ　证Ｆｋ　）１１　｛ｔｒ・（Ｂ［（Ｆ　Ｆ）］（叫）Ｂ【（Ｇ　Ｇ）】（叫）））　／２．　由（Ｇｋ　Ｆｋ　）　：Ｆｋ　Ｇｋ　再利用引理２．３可知　Ｆｋ　Ｊｌ　＝Ｉ］（Ｆｋ　ｏ　Ｇｋ　）（Ｇ　Ｏ　Ｆｋ　）ｆ　　ｔｒ（（Ｆｋ　０　ＪＧ　）（Ｇ尼ｗ　０　Ｆ　”）），　Ｉ　ＪＧ　另一方面　ｔｒ（（Ｆｋ　Ｇｋ　）（Ｇ　ｎ　＝Ｆｋｗ））　、　ｎ　／ｎ　ｎ　∑∑（∑∑《　，ｆ￣ｌｌｋ　ｌ。）Ｌ２（　（　，ｇｍｒ　）Ｌ２（　）　ｑ＝１ｍ＝１、ｒ＝ｌ／＝１　＝ｔｒ（Ｂ［（Ｆ　Ｆ）］（　）Ｂ【（Ｇ　Ｇ）］（叫））．　－　综上引理成立．　＿　设Ａ是正定的ｍ阶方阵，Ｐ＞．１，　１＋　１＝１．设Ａ的特征值为　１，　２，…，　（按重数排　列），则由谱映射定理，　的特征值为　，　，…，　．由ＨＳｌｄｅｒ不等式，可得　ｍ　／ｍ　、１／ｐ　ｔｒ　＝∑　ｒ旷／　（∑　）　＝ｍ　［ｔｒ（　）　．　＝１　、　＝１　（４）　１５５４　数学物理学报　Ｖｏ１．３１Ａ　设Ｂ也是正定的ｍ阶方阵，则对任意的正整数　，ｔｒ［（Ｂ　／　ＡＢ　／。）　］＝ｔｒ［（ＡＢ）　］，再通过多　项式逼近，可见ｔｒ［（Ｂ　／。ＡＢ　／。）　］＝ｔｒ［（ＡＢ）ｐ］．再利用不等式（４）和Ａｒａｋｉ—Ｌｉｅｂ—Ｔｈｉｒｒｉｎｇ不　等式［１４，例ＩＸ・ｒ２Ｊ１１］，可见　［ｔｒ（ＡＢ）］ｐ＝［ｔｒ（Ｂ　／ＡＢ　／）］ｐ　ｍＰ／ｑｔｒ［（Ｂ　／ＡＢ　／）　］　＝ｍｐ／ｑｔｒ［（ＡＢ）　］　ｍｐ／ｑｔｒ（Ａ　Ｂ　）．　引理２．５设Ｅ＞０，则　（５）　ｔｒ（Ｂ［（Ｇ　Ｇ）］（叫）Ｂ［（Ｆ　Ｆ）］（　））　Ｃ｛ｔｒ（Ｂ［（Ｇ　Ｇ）字］（　）Ｂ［（Ｆ　Ｆ）丁２＋ｅ］（　））｝　证　＿ｔｒ（　Ｇ（　Ｇ（　。　）　）　（　ｚ）　）ｌ）　＝ＪＢ　ｔ，Ｂ　／　／ｔｒ｛Ｇ（ｘ）　Ｇ（　）Ｆ（　）　Ｆ（ｚ）｝ｌｋ　（　）ｌ。Ｉｋ　（　）Ｉ。ｄｖ（ｘ）ｄｖ（ｚ）　ｃ＝　｛　／Ｂ　｛ｔｒ｛Ｇ（　）　Ｇ（　）Ｆ（　）　Ｆ（　）））　Ｉ尼　（　）　ｌ１　（　）ｌ。ｄ　（　）ｄ　（　））　｛　ｔｒ（（Ｇ（　Ｇ（　（Ｆ（　Ｆ（　半　（　（　。　（　）　（　（　（Ｇ（　Ｇ（　字（Ｆ（　Ｆ（　字　（　（　（　）ｄ　（ｚ）））　ｔｒ＝Ｃ｛ｔｒ（Ｂ［（Ｇ　Ｇ１字　Ｉ　其中两个不等式分别来自ＨＳｌｄｅｒ不等式和不等式（５）．证毕．　引理２．６若　＝（Ｊ１，・一，Ｊ　）∈Ｎ　，ｌＪｌ　—ｎ＋　ｌ，ｆ，ｇ∈Ｌ　（Ｂ　）　），则　Ｉ（ＤＪ（　，）（叫），ＤＪ（　９）（叫））Ｉ　Ｃ｛ｔｒ（Ｂ［（Ｆ　Ｆ）　］（　）Ｂ【（Ｇ　Ｇ）Ｔ２－－Ｓ　．Ｊ（叫））｝　１　×　其中　＞０，　＝１一　证［Ｐｏ（Ｉｆｌ　）（叫）　［Ｐｏ（Ｉｇｌ　）（　，Ｐｏ为积分算子，对　∈Ｌ１（Ｂｎ），（　ｕ）（　）＝　Ａｌ（ｚ）ｄｖ（ｚ），ＤＪ（Ｔｃ　夕）（　）＝　ｄ”（ｚ）．　因为Ｄ　（　＋，）（叫）＝　Ａ２（ｘ）ｄｖ（ｘ），其中　（礼＋１）（ｎ＋２）…（仡＋ＩＪＩ）１７　ｚ　（ｚ）＝Ｆ　（ｚ）　）—　ｎ　（ｎ＋１）（ｎ＋２）・－・（Ｔｌ，＋ｌｇ１）兀　Ａ２（　）＝Ｇ　（ｘ）ｇ（ｘ）　所以　ｌ（ＤＪ（　＋，）（叫），ＤＪ（　夕）（叫））Ｉ　＝ｌ　（　（　），　（　））ｄ”（　）ｄ”（　）１　ｌ１Ｇ（　）ｌｌｌｆ（ｚ）１１　Ｆ　）Ｉ１（叫，ｚ）Ｉ（ｎ＋Ｉ卅Ｉ　）　一Ｎｏ．６　于涛等：单位球向量值Ｂｅｒｇｍａｎ空间上的Ｔｏｅｐｌｉｔｚ乘积　１５５５　令ＯＬ：（２ｎ＋２）／（２＋　），　＝（ｎ＋　Ｊ＋１）一　，　＝　一（ｎ＋１），则由条件容易看出　＞０和　ｎｑ－１Ｉ－　＝ＩＪＩ，因此由ＨＳｌｄｅｒ不等式，可得　ＪＢ　厂ＩＩＣ（　）　　。（ｎ＋　＋１）　（丽／　　Ｂ　Ｘ）　＜　，，，　ｌｌＧ　ｘ）（　，Ｆ　ｒ叫）ｚ）Ｊ　ｌ（ｌ　＋　　＋　））　ｄｖ（ｘ　１ｇ（ｘ）ｌ　Ｊ１一ｘ，叫）　＜　托　））　×（／Ｂ　而　＝　（１一　）　¨　川＼（　（＼　ｌ　Ｂ　　重复上面的估计，有　Ｉ（ＤＪ（　，）（叫），ＤＪ（　～）（叫））｛　一（１一ｌ　ｗ　　ｌ）ｌ　×／Ｂ　（　ｌＩＧ（　）　（　Ｊ＝２　（　ｄ　（　））耀　（　）　［Ｐｏ（Ｉ９１　）　［Ｐｏ（Ｉｆｌ　×（　ＩＧ（　）　（ｚ）１　托Ｉ　（　Ｉ　（　。ｄ　（　）　（　））砸．　由于　ＩＩＣ（ｘ）ｆ　（　）　ｓ＝ＩＩＦ（ｚ）ａ　（　）Ｇ（　）Ｆ　（　）ｌｌ字　｛ｔｒ（Ｆ（ｚ）Ｇ　（　）Ｇ（　）Ｆ　（名）））半　＝｛ｔｒ（Ｆ　（　）Ｆ（ｚ）Ｇ　（　）Ｇ（　）））２上．　再再＝复引理２．５的后半段证明．可见．弓『王单成立．　３　定理证明　定理１的证明若能证明ｖｆ，ｇ∈　（　）（　，存在常数Ｃ使得　Ｉ（　ｆ，：　９）Ｌ　（Ｂ　）（ｍ）ｌ　ｃＩＩｆｌｌ　Ｉｌｇｌｌ，　则结论成立．利用内积公式（３），可作如下分解　（　，，　９）Ｌ２（Ｂ　）（ｍ）＝Ｉ１＋　－　其中　ｎ一１　ｎ　厶　／丹　（１　训。）２蚪　（　）（叫）　）（　）ｄｖ　）　１５５６　数学物理学报　Ｖｏ１．３１Ａ　Ｊ叫Ｊ　）　”＋　（ＤＪ（Ｔｃ　，）（　），ＤＪ（ＴＦ　９）（叫））ｄ　（叫）　先对厶进行估计．由引理２．２，２．４和２．５可得　＜一　ｌ　Ｉ＜一　一∑　一∑　０　（　一∑　Ｇ　，）（　））ｌ　）　∑怕　…　Ｆ　）　～　—　Ｃ　ｓｕｐ｛ｔｒ（Ｂ［Ｆ　Ｆ］（叫）Ｂ［Ｇ　Ｇ］（叫））｝　／　Ｉｌｆｌ川９ｌｌ　叫∈Ｂ　ｓｕｐ｛ｔｒ（Ｂ（（Ｆ　Ｆ）　】（　）Ｂ［（Ｇ　Ｇ）等】（　））｝　ｌＩｆｌｌＩ１９　∈Ｂｎ　‘　　’’’　下面再对　进行估计．由引理２．６，可得　∑（１～　。）ｆ｛ｔｒ（Ｂ［（Ｆ　Ｆ）２生］（伽）Ｂ［（Ｇ　Ｇ）字］（伽）））　．Ｊｌ＝ｎ　×［Ｃｏ（Ｉｌｌ　）（叫）　Ｐｏ（Ｍ　）（　）］ｌｄｖ（ｗ）　Ｃ　ｓｕｐ｛ｔｒ（Ｂ［（Ｆ　Ｆ）字］（　）Ｂ［（Ｇ　Ｇ）２上］（叫）））　ｗＥ口　．．×／［Ｐｏ（Ｉｆ］　）（叫）】　［Ｐｏ（Ｍ　）（　）］　（叫）．　由于；：２一　＞１，由文献［１１，定理２．１Ｏ］，Ｐｏ在　；（　）上是有界的，所以　。／Ｂ　［　＂　Ｐｏ（１ｌｆｌ　ｉｄｖ（叫）　．／，Ｒ　Ｉ　ｆ（ｗ）ｌ　珀咖）＝ｃＩｆｌ￣ａ（　ｎ　（　）　使用Ｃａｕｃｈｙ—Ｓｃｈｗａｒｚ不等式，可见．　ＪＢ　／［Ｐｏ（Ｉｆｌ　）（　）］　［ＰＯ（１９ｌ　）（　）］｛ｄ　（叫）　ｃＩＩｆｌ　ｌｌｌｑ－　综合不等式（６），（７）和（８），可知定理成立　定理２的证明设．厂，ｇ∈Ｌ２（Ｂ　），由文献［７，命题２．２］．有　，ｏ　９＝＝ｎ∑（ｒ　＝＋Ｏｌ　一１）　Ｉ、　¨十　）／ｌＩ．　∑Ｉ缸　：　巧ｒ…　　其中尼∈Ｎ　为多重指标．据此容易得到　Ｆ　Ｇ＝　ｎ　＋ｌ　＝，　），　一　（８）　Ｉ　（９）　Ｎｏ．６　于涛等：单位球向量值Ｂｅｒｇｍａｎ空间上的Ｔｏｅｐｌｉｔｚ乘积　１５５７　由引理２．３和Ｂｅｒｅｚｉｎ变换的定义，可知　（Ｆ。　）ｏ（Ｇ。￣ｗ）ｌｌ　＝ｌｌ（Ｆ。　）　（Ｇ。　）（Ｇ。　）　（Ｆ。　）　”　ｍ　ｍ　ｍ　二∑∑∑（　。　ｑ：＝１　ｐ＝ｌ　ｒ＝ｌ　ｌ＝１　ｚ。　）（ｇｐｌ。‰　。　）　Ｉ　Ｉｔｒ｛Ｂ［Ｆ　Ｆ］（叫）Ｂ［Ｇ　Ｇ］（叫））　ｍ∑　对于Ｗ∈Ｂ　，令　＝（　ｏ　）　，则　为　（Ｂ　）上自伴的酉算子，且　。　＝　（参　ｍ∑　为　（见文献［５，第２节］）．由此易知　Ｂ　）（ｍ）上自伴的酉算子，且对Ａ∈Ｍｍ　（　。（Ｂ　）），　有　。　＝　’ＴＡＵ￣（　，因此　ｍ∑　ｍ∑　Ｂ　由（９），（１０）和（１１）式，可知　。　＝　＋　）　／，，●●一／／，，●●一／　ｎ　竹　＋　ｒ　１　＋　１　ｒ　　一　、、●／、、●／．　｛ｔｒ（Ｂ［Ｆ　Ｆ］（　）Ｂ［Ｇ　Ｇ］（　）））　／　ｌＩＦ。　Ｂ　ｎ＋１　Ｇ。　∑（　ｒ＝０　∑　ｌ＝　。　ｎ＋１　∑　ｒ＝０　∑　ｌ＝　ｍ’ＴＦＴｃ　ＣＩＩＴＦＴｃ　定理证毕　参考文献　［１】Ｓａｒａｓｏｎ　Ｄ．Ｐｒｏｄｕｃｔｓ　ｏｆ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ，Ｌｉｎｅａｒ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｌｅｘ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　Ｂｏｏｋ　３，Ｐａｒｔ　Ｉ．Ｌｅｃｔｕｒｅ　Ｎｏｔｅｓ　ｉｎ　Ｍａｔｈ　Ｖｏｌ　１５７３．Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９９４：３１８—３１９　【２］Ｚｈｅｎｇ　Ｄ．Ｔｈｅ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ　ａｎｄ　ｐｒｏｄｕｃｔｓ　ｏｆ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ａｎｄ　Ｈａｎｋｅｌ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ．　Ｊ　Ｆｕｎｃｔ　Ａｎａｌ，１９９６，１３６（２）：４７７　５０　３．　Ｉ　３＿Ｓｔｒｏｅｔｈｏｆｆ　Ｋ，Ｚｈｅｎｇ　Ｄ．Ｐｒｏｄｕｃｔｓ　ｏｆ　Ｈａｎｋｅｌ　ａｎｄ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　Ａｎａｌｙｓｉｓ，１９９９，１６９：２８９—３１３　【４］Ｓｔｒｏｅｔｈｏｆｆ　Ｋ，Ｚｈｅｎｇ　Ｄ．Ｂｏｕｎｄｅｄ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｐｒｏｄｕｃｔｓ　ｏｎ　ｗｅｉｇｈｔｅｄ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅｓ．Ｊ　Ｏｐｅｒ　Ｔｈｅｏｒｙ，２００８，　５９（２）：２７７—３０８　［５］Ｓｔｒｏｅｔｈｏｆｆ　Ｋ，Ｚｈｅｎｇ　Ｄ．Ｂｏｕｎｄｅｄ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｐｒｏｄｕｃｔｓ　ｏｎ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｕｎｉｔ　ｂａｌ１．Ｊ　Ｍａｔｈ　Ａｎａｌ　Ａｐｐｌ，　２００７，３２５：１１４　１２９　［６］Ｓｔｒｏｅｔｈｏｆｆ　Ｋ，Ｚｈｅｎｇ　Ｄ．Ｂｏｕｎｄｅｄ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｐｒｏｄｕｃｔｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｏｌｙｄｉｓｋ．Ｊ　Ｍａｔｈ　Ａｎａｌ　Ａｐｐｌ，２００３，２７８：１２５　１３５　［７］Ｐａｒｋ　Ｊ　Ｄ．Ｂｏｕｎｄｅｄ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｐｒｏｄｕｃｔｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｕｎｉｔ　ｂａｌｌ　ｉｎ　Ｃｎ．Ｉｎｔｅｇｒａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　Ｏｐｅｒａｔｏｒ　Ｔｈｅｏｒｙ，２００６，５４（４）：５７１　５８４　［８Ｊ　Ｌｕ　Ｙｕｆｅｎｇ，Ｓｈａｎｇ　Ｓｈｕｘｉａ．　Ｂｏｕｎｄｅｄ　Ｈａｎｋｅｌ　ｐｒｏｄｕｃｔｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｏＩｙｄｉｓｋ　．Ｃａｎａｄ　Ｊ　Ｍａｔｈ，２００９，６１（１）：１９０　２０４　ｆｅｎｇ，Ｌｉｕ　Ｃｈａｏｍｅｉ．Ｔ０ｅｐｌｉｔｚ　ａｎｄ　Ｈａｎｋｅｌ　ｐｒ。ｄｕｃｔｓ。ｎ　ＢＩｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅｓ。ｆ　ｔｈ［　Ｌｕ　ＹｕＭ　ｅ　ｕｎｉ七ｂａｌ１．Ｃｈｉｎ　Ａｎｎａｔｈ（Ｓｅｒ　Ｂ），２００９，３０（３）：２９３—３１０　一…　……“　／１０］Ｋｅｒｒ　Ｒ・Ｐｒ。ｄｕｃ　ｓ。ｆ　Ｔ０。ｐｌｉｔｚ。ｐｅｒａｔ。ｒ８。ｎ　ａ　ｖｅｃｔ。ｒ　ｖａｌｕｅｄ　Ｂ，、ｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ．ｐｒｅｐｒｉｎｔ　１５５８　数学物理学报　Ｖｏ１．３１Ａ　［１　１１　Ｚｈｕ　Ｋ．ＳＤａｃｅｓ　０ｆ　Ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｕｎｉｔ　Ｂａｌ１．　Ｇｒａｄ　Ｔｅｘｔｓ　Ｍａｔｈ，Ｖｏｌ　２２６・　Ｎｅｗ　Ｙｏ　ｋ．　ＳＤｒｊｎｇｅｒ—ｖｅｒｌａｇ．２００５　ｆ１２１　ｃ　ｅｎ　，Ｙｕ　Ｔ．　Ｅ　ｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ　ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ　ｄｕａｌ　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　０ｐｅｒａｔｏｒｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｕｎｉｔ　ｂａｌ１．Ａｄｖ　Ｍａｔｈ（Ｃｈｉｎａ），２００９，　３８（４１：４５３—４６４　『１３１　ｃｏ　ａｙ　Ｊ　Ｂ．Ａ　Ｃｏｕｒｓｅ　ｉｎ　Ｏｐｅｒａｔｏｒ　Ｔｈｅｏｒｙ．Ｐｒｏｖｉｄｅｎｃｅ，Ｒｈｏｄｅ　Ｉｓｌａｎｄ：Ａｍｅｒｉｃａｎ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｏｃｉ　七ｙ・　１９９９　ｆ１４１　Ｂｈａｔｉａ　Ｒ．Ｍａｔｒｉｘ　Ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，１９９７　Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　Ｐｒｏｄｕｃｔｓ　Ｏｉｌ　Ｖｅｃｔｏｒ—ｖａｌｕｅｄ　Ｂｅｒｇｍａｎ　Ｓｐａｃｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｕｎｉｔ　Ｂａｌｌ　Ｙｕ　Ｔａｏ　Ｚｈｕ　Ｒｕｏｗｅｉ　（Ｄｅｐ０ｒｔｍｅｎｔ　Ｍ。ｔｈｅｍ。ｔｉｃｓ，ＺｈｅｊｉａｎｇⅣ。　。ｚ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｊｉ。ｎｇ　Ｊｉｎｈｕ。３１口口２８）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｔｈｅ　ａｕｔｈｏｒｓ　ｏｂｔａｉｎ　ａ　ｓｕｆｉｃｉｆｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ａｎｄ　ａ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｔｏｒ　ｔｈｅ　Ｔ０ｅｐｌｉｔｚ　ｐｒｏｄｕｃｔ　ｏｎ　ｖｅｃｔｏｒ—ｖａｌｕｅｄ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｕｎｉｔ　ｂａｌｌ　ｔｏ　ｂｅ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｒｅｓＤｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｗｈｅｒｅ　Ｆ　ａｎｄ　Ｇ　ａｒｅ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　ｗｈｉｃｈ　ｅｎｔｒｉｅｓ　ａｒｅ　ｓｑｕａｒｅ—ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ　ａｎｄ　ａｎａｌＹｔ　ｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｕｎｉｔ　ｂａｌ１．　Ｋｅｖ、　ｒ０ｒｄｓ：Ｖｌｅｃｔ０ｒ—ｖａｌｕｅｄ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｓｐａｃｅ；Ｔｏｅｐｌｉｔｚ　ｏｐｅｒａｔｏｒ；Ｂｅｒｅｚｉｎ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；Ｔｒａｃｅ・　ＭＲ（２０００）Ｓｕｂｊｅｃｔ　Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ：４７Ｂ３５　


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