2023年11月14日发(作者：孝感中考数学试卷2015)

2004年普通高等学校招生重庆卷文史类数学试题

本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分考试时间120分钟.

第Ⅰ部分（选择题共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那幺P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那幺P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那幺n次独立重复试验中恰好发

kknk

PPPkC

(1)()

生次的概率

k

nn

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.函数

ylog(3x2)

1

的定义域是：（）

2

[,1](,)(,1]

222

333

AB

[1,)

CD

x

2

1

f

(2)

2.函数,则()

fx

()

2

1

x

1

f

()

2

33

DA1B-1C

55

22

3.圆

xy2x4y30

的圆心到直线的距离为：（）

xy1

A2BC1D

4．不等式

x

AB

CD

2

2

的解集是：（）

x

1

2

2

2

(1,0)(1,)(,1)(0,1)

(1,0)(0,1)(,1)(1,)

5()

．

sin163sin223sin253sin313

33

11

BD

C

A

2222

6．若向量,则向量

a与b

的夹角为，的模为：

60

|b|4,(a2b).(a3b)72

a

（）

A2B4C6D12

7．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。那

第（共

1页9页）

么p是q成立的：（）

A充分不必要条件B必要不充分条件

CD

充要条件既不充分也不必要条件

8．不同直线和不同平面，给出下列命题：

m,n

,

////

mn

①②

m////

n

mm

//

m

,异面

mnm

③④

nm

//

其中假命题有：（）

A0个B1个C2个D3个

9．若数列，则使前

{}a0,aa0,a.a0

a

n

是等差数列，首项

12003200420032004

n

项和

S

n

0

成立的最大自然数是：（）

n

A4005B4006C4007D4008

xy

22

10．已知双曲线,点P在双

22

1,(0,0)F,F

ab

的左，右焦点分别为

12

ab

曲线的右支上，且

|PF|4|PF|

12

,则此双曲线的离心率e的最大值为：

()

457

ABCD

2

333

11．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同

且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并

不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为：（）

211737

BCD

A

404010120

12．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1

的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是：（）

A258B234C222D210

第（共

2页9页）

第Ⅱ部分（非选择题共90分）

题号二总分

分数

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13.若在

(1ax)

5的系数为，则

的展开式中

x

3

80

a_______

53

14

．已知

2,(x0,y0)

,____________

则的最小值是

xy

xy

14

15．已知曲线

yx

3

，则过点的切线方程是______________

P(2,4)

33

三

171819202122

16

．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”。又知地球的体积大约是火

星的倍，则火星的大圆周长约万里。

8______________

三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

17．（本小题满分12分）

求函数的取小正周期和取小值；并写出

ysinx23sinxcosxcosx

44

该函数在上的单调递增区间。

[0,]

18．（本小题满分12分）

设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为、和。

0.70.60.5

（）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人

1

命中目标的概率；

（）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率。

2

P

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，

PA底面ABCD,AEPD,EF//CD,AMEF

A

B

M

F

E

D

C

(1)证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；

(2)若求直线与平面所成角

PA3AB

,ACEAM

的正弦值。

第（共

3页9页）

20．（本小题满分12分）

某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格

x

p

1

（元/吨）之间的关系式为：

px

24200

2

,且生产x吨的成本为

5

R50000200x

（元）。问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大

利润是多少？（利润收入─成本）

=

21．（本小题满分12分）

设是一常数，过点的直线与抛物线

p0Q(2p,0)

y2px

2

交于相异两点

ABABHH

、，以线段为直经作圆（为

圆心）。试证抛物线顶点在圆的圆周上；

H

并求圆的面积最小时直线的方程。

HAB

B

y

H

O

Q(2p,0)

x

A

22．（本小题满分14分）

551

设数列

a

n

满足:

aaaaan

1221

2,,,(1,2,.......)

nnn

333

(1)令

(2)求数列

baanb

nnnn

{}

1

,(1,2......)

求数列

的通项公式；

{}

naS

nn

的前n项和。

第（共

4页9页）

2004年普通高等学校招生重庆卷文史类数学试题

参考答案

一、选择题：每小题5分，共60分.

1．D2．B3．D4．A5．B6．C7．A8．D9．B10．B11．D12．C

二、填空题：每小题4分，共16分.

13．－214．615．16．4

y4x40

三、解答题：共74分.

17．（本小题12分）

解yxxxx

:sin23sincoscos

44

(sincos)(sincos)3sin2

2222

xxxxx

3sin2cos2

xx

2sin(2).

x

6

15

36

故该函数的最小正周期是；最小值是－2；

单增区间是

[0,],[

,]

18．（本小题12分）

解：（I）设A

K

表示“第k人命中目标”，k=1，2，3.

这里，A

123123

，A，A独立，且P（A）=0.7，P（A）=0.6，P（A）=0.5.

从而，至少有一人命中目标的概率为

1()1()()()10.30.40.50.94

PAAAPAPAPA

123223

恰有两人命中目标的概率为

PAAAAAAAAA

()

123123123

PAAAPAAAPAAA

()()()

123123123

PAPAPAPAPAPAPAPAPA

()()()()()()()()()

123123123

0.70.60.50.70.40.50.30.60.5

0.44

答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44

（II）设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试

验中事件“命中目标”发生的概率为0.7，故所求概率为

第（共

5页9页）

PC

33

(2)(0.7)(0.3)0.441.

22

答：他恰好命中两次的概率为0.441.

19．（本小题12分）

（I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，

故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，

又AM∥CD∥EF，且AM=EF，

证得AEFM是矩形，故AM⊥MF.

又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，

而MF∥AE，得MF⊥面PCD，

故MF⊥PC，

因此MF是AB与PC的公垂线.

（II）解：因由（I）知AE⊥AB，又AD⊥AB，

故∠EAD是二面角E—AB—D的平面角.

设AB=a，则PA=3a.

因Rt△ADE~Rt△PDA

故∠EAD=∠APD

因此

sinsin

EADAPD

20．（本小题12分）

解：每月生产x吨时的利润为

fxxxx

()(24200

ADa

PD

aa

22

(3)

10

.

10

1

2

)(50000200)

5

1

xxx

3

2400050000(0)

5

3

由解得舍去

fxxxx

()240000200,200().

2

12

5

因f(x)在[0,)内只有一个点x200使f(x)0

，故它就是最大值点，且最

大值为：

f(200)24000200500003150000(元)

(200)

1

3

5

答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.

21．（本小题12分）

ayx

2,

解法一：设

AxyBxy

(,),(,)

AABB

，则其坐标满足

2

yx

2.

消去x得

y2ay40

2

则

yya

AB

2,

yy

AB

4.

第（共

6页9页）

xxayya

ABAB

4()42,

2

()

yy

AB

2

4

xx

AB

4

因此.

OAOBxxyy0,即OAOB

ABAB

故O必在圆H的圆周上.

又由题意圆心H（）是AB的中点，故

xy

HH

,

xx

AB

2

xa

2,

H

2

ya

yy

AB

.

H

2

由前已证，OH应是圆H的半径，且

|OH|xya5a4

2242

HH

.

从而当a=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.

解法二：

ayx

2,

设

AxyBxy

(,),(,)

AABB

，则其坐标满足

2

yx

2.

2

ypky

240,

分别消去x，y得

22

xax

2(2)40.

故得A、B所在圆的方程

xy2(a2)x2ay0.

明显地，O（0，0）满足上面方程

故A、B、O三点均在上面方程的表示的圆上.

又知A、B中点H的坐标为

(,

故

|OH|(2a)a

222

xxyy

ABAB

)(2,),

aa

2

22

222

222222

而前面圆的方程可表示为

[x(2a)](ya)(2a)a

故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）.

又，

R|OH|a5a4

故当a=0时，R最小，从而圆的面积最小，

2

解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上

又直径|AB|=

()()

xxyy

ABAB

22

2242

第（共

7页9页）

2222

xxyy

ABAB

22

xxxx

ABAB

22

244.

xxxx

ABAB

上式当

xx

AB

时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小.

此时a=0.

22．（本小题14分）

解：（I）因

baa

nnn

121

52

aaa

nnn

11

33

2

()

aa

nn

1

3

2

b

n

3

故{b的等比数列，且

n

}是公比为

2

b()(n1,2,)

n

n

3

22

baa,故

121

33

2

3

n

（II）由

baa)

nnn

得

1

(

aaaaaaaa

nnnnn

111121

()()()

22222

()()()2[1()]

nn12n

33333

注意到可得

a1,

1

2

n

an

n

3(1,2,)

n

1

3

n

2

n

1

记数列的前n项和为T

{

n

1

}

n

，则

3

Tn

n

12(),

22

n

1

33

2222

Tn

n

2()()

2

n

3333

第（共

8页9页）

两式相减得

12222

Tn

n

1()()()

21

nn

33333

22

3[1()](),

nn

n

33

22(3)2

nn

n

n

故

Tn

n

9[1()]3()9

33

3

n

1

从而

Saana

nn

12

2

3(12)2

nT

n

3(3)2

n

n

1

nn

(1)18

n

1

2

3

第（共

9页9页）


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