高考数学新题型研究

2023年11月14日发(作者：广西高考数学试卷考点分值)

高考数学新题型研究

高中部 张宪存

创新是高考的主旋律，是高考改革的方向。那么高考用什么样的考题来显示

高考的方向？一个题目，包括题目背景、条件、结论，以及所要考察的解决问题

的基本方法、基本能力，本文就以上几个方面，对近几年高考数学试卷的创新题

进行初步探索。

条件 方法 结论

？ F Y

1 1

？ F Y

2 2

？ ┇ ┇

┇ ┇ ┇

一、条件探究型

这类题目的特点是给出了题目的结论,但

没有给出满足结论的条件,并且这类条件常常

是不唯一的需要解题者从结论出发,通过逆向

思维去判断能够追溯出产生结论的条件,并通

过推理予以确认.这种条件探究性问题实质上

是寻找使命题为真的充分条件和充要条件。

例题1（2002年全国文）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在Y轴上；②焦点在X轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距

离等于；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足

的坐标为（2，1）能使这抛物线方程为y=10x的条件是 .

2

条件 方法 结论

X F ？

11

X F ？

22

┇ ┇ ┇

二、结论开放型

这类题目的特点是给出一定的条件,要求从

条件出发去探索结论,而结论往往是不唯一的,甚

至是不确定的,需要解题者从已知条件出发,运用

所学过的知识进行推理、探究或实验得出结论.

例1、（1998全国理）已知m、是直线,α、β是平面,给出下列命题:①若

l

llll

垂直于α内的两条相交直线,则⊥α；②若平行于α,则平行于α内的所

有直线；③若mα, β,且⊥m,则α⊥β；④若 β,且⊥α,则α⊥β；⑤

llll

若mα, β,且α∥β,则m∥其中正确命题的序号是___________.(注:把你

ll.

认为正确的命题的序号都填上)

例2、（2001上海21）(本题满分16分)

用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假

定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量

也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上

残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x).

(Ⅰ)试规定(0)的值，并解释其实际意义；

f

(Ⅱ)试根据假定写出函数()应该满足的条件和具有的性质；

fx

(Ⅲ)设()＝, 现有(＞０)单位量的水，可以清洗一次，也可以

fxaa

把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较

少?说明理由。

条件 方法 结论

？ F ？

1

？ F ？

2

┇ ┇ ┇

三、条件和结论都发散型

有些题目条件和结论都是不确定的,但是

给出了一定量的信息和情景,要求解题者在题

目给出的情景中,自行设定条件,自已寻找结

论,自己构建命题并进行演绎推理。

例1、（1999全国16）、是两个不同的平面，、是平面及之外

mn

的两条不同直线.给出四个论断：①⊥； ②⊥； ③⊥； ④⊥；

mnnm

以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命

题： 。

为让学生适应以上类型题目，在教学过程中要多引导学生思考，对课本上的例题、

习题中的条件、结论进行“增、减、变”的思考。

四、信息迁移型

信息 条件 方法 结论

定义 X F Y

11 1

数据 X F Y

22 2

图表 ┇ ┇ ┇

┇ ┇ ┇ ┇

这类题目的特点是命题者通过

文字或图表等给出了中学数学内容中

没有遇到过的新知识,这些新知识可

以是新概念,新定义,新定理和新规则,

新情境,并且这些解题的信息有可能

不是直接给出的,要求解题者通过观

察,阅读,归纳,探索进行迁移,即读懂新概念,理解新情境,获取有用的新信息,然

后运用这些有用的信息进一步演算和推理,从而考察在新的信息,新的情景下,独

立获取和运用新信息的能力,综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力。

信息迁移题,由于信息呈现的方式不同,又可分为定义信

息型,图表信息型,图像图形信息型等。

五、定义信息型

例1、（2001上海22）（本题满分18分）

对任意函数()，∈，可按图示构造一个数列发生器，

fxxD

其工作原理如下：

①输入数据∈，经数列发生器输出＝()；

xDxfx

010

②若，则数列发生器结束工作；若∈，则将反馈回输入端，再输

xDxDx

111

出＝()，并依此规律继续下去．

xfx

21

现定义.

（Ⅰ）若输入＝，则由数列发生器产生数列｛｝．请写出数列｛｝

xxx

0

的所有项；

nn

(Ⅱ)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据的值；

x

0

(Ⅲ)(理)若输入时，产生的无穷数列｛｝满足：对任意正整数，均有

xxn

0

n

xxx

nn

＜，求的取值范围．

＋10

(文)是否存在，在输入数据时，该数列发生器产生一个各项均为负数

xx

00

的无穷数列?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

x

０

例2（2002上海22） (本小题满分18分)

对于函数()，若存在∈R，使()＝成立，则称为()的不动点.

fxxfxxxfx

0000

已知函数()＝＋(＋1)＋(－1)≠0).

fxaxbxb(a

2

(1)当＝1，＝－2时，求函数()的不动点；

abfx

(2)若对任意实数，函数()恒有两个相异的不动点，求的取值范围；

bfxa

(3)在(2)的条件下，若＝()图上、两点的横坐标是函数()的不动

yfxABfx

点，且，两点关于直线＝＋对称，求的最小值.

ABykxb

D.图表信息型

2

例1、（2000全国6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工

资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所

得额。此项税款按下表分段累进计算：

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪所得介于:

（A）800~900元 （B）900~1200元

（C）1200~1500元 （D）1500~2800元

全月应纳税所得额 税率

超过500元的部分 5%

超过500元到2000元的部分 10%

超过2000元到5000元的部分 15%

„„ „

例2、（2001上海12）根据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最

严重的国家之一．图1表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十

年代、九十年代的变化情况．由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年

平均土地沙化面积在图2中图示为：

1950

1990

2000

1960

1970

1980

250.1

253.3

260

土地沙化总面积(万平方公里)

年份

10

26

1960

1970

1980

D.图形、图像信息型

3

例题1.（2000全国21）（本小题分满分12分）

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内西

红柿市场售价与上高时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上

市时间的关系用图二的抛物线表示。

1．写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P＝ ()；写出图二表示的种植成本

ft

与时间的函数关系式＝()；

Qgt

2．认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

（注：市场售价和种植成本的单位：元／10kg，时间单位：天）

2

为让学生适应这类题目，无须过多引进中学课本以外的新知识，在学习课本

内容的过程中，对学生来说也包含着信息迁移的过程，要多留一些时间、空间给

学生，去获取新知识，解决新问题。

六、类比归纳型

这种题目的特点是给出一个数学情景或一个数学命题，要求解题者发散思维

去联想，类比，推广，转化，找出类似的命题，深入的命题，或者根据一些特殊

的数据，特殊的情况去归纳出一般的规律。

例1、（2000上海12）在等差数列中，若，则有等式

在等比数列中，若，则有等式

成立.

成立，类比上述性质，相应地：

例2、（2003全国15）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、

222

AC互相垂直，则AB+AC=BC。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究

三棱锥的侧面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的侧面

ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则

”。

学习课本上的定理、公式的过程中，多让学生类比、联想、推广既有助于对

定理、公式的掌握，更能提高思维能力。

七、存在型

这种题型是题目给出一定的条件,让解题者去证明在给定条件下,一些给

定的结论一定存在或一定不存在,或者要求解题者去判断在给定的条件下的结

论是否存在。

例1、（1995全国25）设{a}是由正数组成的等比数列,S是其前n项和.

nn

1．证明：

2．是否存在常数c>0,使得成立?并

证明你的结论。

例2、（2000上海22）

已知复数均为实数，

i为虚数单位，且对于任意复数.

（1）试求的值，并分别写出和用、表示的关系式；

（2）将(、)作为点的坐标，(、)作为点的坐标，上述关

系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的

点，当点在直线上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨

迹方程；

P

（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该

直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由.

例3、（2003全国文22）

F

O

x

P

Y

D

E

G

C

已知常数a>0，在矩形ABCD中，AB=4，

BC=4a，O为 AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，

P为GE与OF的交点（如图）。问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和

为定值？若 存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。

八、解题策略开放型

一般的题目,题型与方法相对是固定的,所以解题者可以根据题目的条件和

结论,根据固有的解题模式确定解题策略,但有些题目,并不是按照“题型加方法”

的思维定势编拟的,题目的背景比较新颖,解题的要示比较开放,有时需要实际操

作和巧妙设计,这就要求解题者具有灵活的思维和应变能力,能根据题目的条件

和结论进行观察、分析、探索、决策,这是一种解题策略开放与发散的题型。

例1、（2002全国文、广东21）（本小题满分12分，附加题4分）

（Ⅰ）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一

块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积

都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1，图2

中，并作简要说明.

（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；

（Ⅲ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷不得超过150

分）

如果给出的是一块任意的三角形纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱

模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方案，用虚线

标示在图3中，并作简要说明。

图1

图2

图3

例

2、

（2002

北京

20）

在

研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：

用计算机求个不同的数，，„，的和，

nvvv

12

n

计算开始前，个数存贮在台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数，计

nn

算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自

己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.

为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都到这个数的和，需要设计一种

n

读和加的方法，比如＝2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：

n

第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间

机初

器始

被读机号 结果 被读机号 结果 结果

号 时

1 2 ＋

vvv

121

2 1 ＋

vvv

212

（Ⅰ）当＝4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法

n

填入下表

第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间

机初

器始

被读机号 结果 被读机号 结果 结果

号 时

被读机

号

被读机

号

1

2

3

4

v

1

v

2

v

3

v

4

（Ⅱ）当＝128时，要使所有机器都得到，至少需要多少个单位时间

n

可完成计算？（结论不要求证明）

这类题目并不是掌握了多少数学定理、公式就能做出的，需要解题者有一定的探

索、实践能力，探索、实践能力是数学素质的重要方面，研究性学习是提高这方

面能力的很有效的学习方式。对高考新题型导向作用的思考：

1．高考新题型反应了“能力立意”的题目分量的增加。这些创新题并不

能靠机械地做大量模拟题而得以解决。需要对遇到的新问题进行探索，思考找

出解决方案。这也是未来对人的要求。

2．更加注重对思维能力和实践、探索、数学建模、创新能力以及解决实

际问题的能力的考察。

3．在教与学的过程中要注重学生的主体作用。学生的知识树，包括枝、

叶、果实，绝大多数应该是自己长出的，而不应是老师嫁接上去的，自己长出

的才更牢固，更具有生命力。并且从某种意义上说，获取知识的过程往往比知

识本身更重要。这一过程应该是学生在老师的引导下，自主探索的过程。