2024年3月19日发(作者：制作数学试卷什么平台)

A1.集合与分类原则

一、基础知识

1.对任给的一个性质

P,

存在一个集合

S,

它的元素恰好是具有性质

P

的所有对象,即

S{x|P(x)}.

其中

P(x)

表

*

示“

x

具有性质

P

”.常用的数集

N,N,Z,Q,R,C.

2.集合

S

的元素具有三个属性:确定性,互异性,无序性.元素个数为有限的集合称为有限集,元素个数为无限的集合

称为无限集.如果集合

S

元素的个数为

n

,记为

|S|n.

不含任意元素的集合称为空集,记为

.

3.集合的并交差补运算

A

4.摩根律

C

U

(A

B,AB,AB,C

U

A.

B)(C

U

A)(C

U

B),C

U

(AB)(C

U

A)(C

U

B).

5.子集,真子集.

n

个元素集合

A{a

1

,a

2

,

6.容斥原理：

|A

,a

n

}

的子集个数为

2

n

,

真子集个数为

2

n

1

,非空真子集个数为

2

n

2.

B||A||B||AB|,

A||ABC|.

n

|ABC||A||B||C||AB||BC||C

7.集合的划分与覆盖：

A

1

,A

2

,,A

n

是

S

的

n

个非空子集,如果(1)

A

i

A

j

(1ijn),

(2)

i1

A

i

S.

则称这些子集是

S

的一个划分,其中每一个子集叫做

S

的一个类,如果只满足(2),则称这些子集是

S

的一个覆盖.

8.我们解决一些复杂数学问题时,常常把研究对象的集

S

划分为不重不漏的

n

个类

A

1

,A

2

,

类原则是不重不漏.实际上不漏是必须的,可以重,但尽量控制.

二、典型例题与基本方法

1.若集合

A{xR|ax3x20}

中只有一个元素,则实数

a

2.设集合

M

xR

2

,A

n

,然后逐类解决.分

ax5

0

.

若

3M

且

5M.

则实数

a

的取值范围为

2

xa

3.已知集合

Ax|axx30

,

B

x|3x7

,若

A

2



B

,则实数

a

的取值集合为

4.已知集合

A{x|2x5},B{x|m1x2m1},

若

BA,

则实数

m

的取值范围为

5.称有限集

S

的所有元素的乘积为

S

的“积数”,给定数集

M

,,

的子集的“积数”之和为

11

23

,

1

.

则集合

M

的所有含偶数个元素

2018

6.已知数集

A{a

1

,a

2

,a

3

,a

4

,a

5

},(0a

1

a

2

a

3

a

4

a

5

)

具有性质

p

:对任意

i,jZ,

其中

1ij5,

均

有

a

j

a

i

A,

若

a

5

60,

则

a

3

7.设

n

是给定的正整数,集合

M

11

,

n1

,

n

22

,

1

,记

M

的所有子集分别为

M

1

,M

2

,

2

2n

t

i1

,M

t

.

对

1it

用

S(M

i

)

表示

M

i

中所有元素的和,规定

S()0,

则

n5

时,

S(M

i

)

8.设

[x]

表示不超过

x

的最大整数,集合

A

y |y[x][2x][3x][4x],0x10

中的元素个数为

9.已知集合

A

a

1

,a

2

,a

3

,

的个数.

(1)若集合

A2,4,8,

,a

n

,其中

a

i

R,1in,n2.

l(A)

表示和

a

i

a

j

1ijn

中所有不同值

n

n1

.

,2

,求证：

l

A

2

n

(2)

l(A)

是否存在最小值?若存在,求出这个最小值；若不存在,请说明理由?

10.对任意的

a0,b0,

求

max

min

,,ab



的值.

11

ab


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