魔方游戏中所蕴含的数学“基本能力”

2024年4月18日发(作者：考生看数学试卷10分钟)

魔方游戏中所蕴含的数学“基本能力”

魔方是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年

发明的.当时的魔方是指三阶魔方，也即魔方每条棱上包含三个小

方块.魔方的表面由六个中心块，八个角块，十二个棱块组成.

在各地高考数学说明（或考试大纲）中都提到了以下五大基本能

力：空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力

和数据处理能力.既然从一开始魔方游戏的流行就和数学有着密切

的关系，那么我们对于魔方复原的了解与练习是否有助于数学基本

能力的培养？现就这些数学基本能力，结合魔方的特性及其基本复

原方法进行探析.

一、空间想象能力

当初鲁比克教授发明魔方的初衷，仅仅是把它作为一种帮助学生

增强空间思维能力的教学工具.在学习立体几何部分内容时，要能

够根据已知条件在头脑中构建出相应的几何图形，把抽象的语言条

件直观化、图形化.魔方是一个典型的空间几何体的模型，通常对

魔方进行复原首先需要相对固定中心块的位置，再将各棱块、角块

复原到固定的位置.在魔方复原的过程中，某些块面不能完全被看

到时，只能通过反复的空间想象，并对空间图形进行分解与组合.

这就要求操作者，不仅要认识空间几何图形，还要能够对具体的图

形进行解剖.另一方面，在学习魔方的初始阶段需要从平面直观图

中学习有关的魔方“公式”，这就要求学生具有化抽象为具体的能

力，把平面直观图与空间几何体进行反复的比较，能够根据平面直

观图想象出空间图形，能够站在空间的角度研究点、线、面.

二、抽象概括能力

抽象概括能力要求我们能够对实例进行探索，发现研究对象的本

质，并用于解决问题或作出新的判断.抽象概括能力可以归纳为两

点：一是发现本质；二是作出判断.

别看魔方只有26个小方块，可是魔方总的变化数约为4.3×1019

种之多.人们在研究魔方的时候，从不同角度，总结出多种复原方

法.每种复原方法都有一定的公式，都需要遵循一定的原则.“盲解”

在复原的过程中需要复原者在蒙上眼睛的状态下完成魔方的复原，

在“盲解”的过程中操作者会首先将每一个棱块、角块标号，通过

数字的记忆和处理完成复原.它操作的步骤是：1.首先将每一棱块、

角块的方向拨到正确的方向；2.将每一个棱块、角块拨到正确的位

置.

复原魔方的过程就好像我们解题的过程一样，需要熟练地运用一

定的公式，遵循一定的基本原则去操作.这实际上也是我们在魔方

所有的变化中不断抽象其本质的过程，不断进行抽象概括的过程，

并进行判断的过程.事实上，虽然魔方总的变化数有4.3×1019之

多，但就“盲解”来说，复原魔方的本质只是遵循一定的原则，将

每一个棱块、角块按方向和位置进行归位而已.

三、推理论证能力

推理论证能力要求学生能够根据已知的事实和已经获得的正确

的数学命题，运用归纳、类比和演绎方法进行推理，论证某一数学

命题的真假性.

最早的三阶魔方于1970年被发明，而鲁比克在发明三阶魔方后

不久重新开发了二阶魔方，以及高于三阶的魔方.迄今为止，高于

七阶的魔方已经被发明出来.对于魔方的学习一般首先是从三阶魔

方开始的.在学习三阶魔方的过程中会接触到相关的公式，并且了

解到在复原中应遵循的原则.事实上，其他各阶魔方都可以看成是

三阶魔方的推广.在三阶魔方里运用的公式在其他各阶魔方复原的

过程中都可能会用到，通过对于三阶魔方公式的推广和修改就可以

完成对于其他各阶魔方的复原.其他各阶魔方的复原都在是三阶魔

方复原方法的基础上得到的，这就需要操作者在尝试复原其他各阶

魔方的过程中不断进行推理论证，通过实践在新的环境下论证“公

式”的有效性.这里面需要用到的数学思想方法有归纳、类比和演

绎推理，并且不断地对“公式”进行判断，进行修正.

四、运算求解能力

运算求解能力的要求是能根据法则、公式进行运算及变形，能够

根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求

对数据进行估计和近似计算.运算求解能力提出了三点要求：一是

会运算、变形；二是能设计合理的运算途径；三是数据估计与近似.

运算途径的选择已成为近几年高考的另一热点，这就是经常提到

的一题多解，高考数学试卷中的一些试题都可以通过多种方法解

决，但在这些方法中有一种或是两种是最优的，能够快速准确地解

决问题，而其他的方法虽然也能够解决问题，但运算量可能偏大，

过程偏繁.这就需要考生能够设计出合理的运算途径解决.

复原魔方对于运算能力的帮助和提高，是主要体现在短时间内，

在众多的运算方案中设计出最合理的运算途径上的.“三阶速拧”

和三阶魔方的“盲拧”比赛的胜负判断的依据是完成复原时间的长

短.因此在复原的过程中要不断地提高运算速度，寻找出“最优解”.

当然任意组合的魔方都有一个“最优解”.也即，如果至多进行n

次转动便可以将任意魔方复原，这个n具体为多少？这最后在

google提供的计算资源支持下，最终证明n为20.也就是说，对任

意魔方，我们最多用20次即可还原.

（责任编辑黄桂坚）