2021年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题

2024年4月11日发(作者：难度高的数学试卷)

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题

(总分：150.00，做题时间：180分钟)

一、选择题(总题数：10，分数：50.00)

1.当 x→0 时，

（分数：5.00）

A.低阶无穷小

B.等价无穷小

C.高阶无穷小 正确答案

D.同阶但非等价无穷小

解析：

因为当 x →0 时，

时 x

7

的（ ）。

，正

确答案为 C。

2.函数

（分数：5.00）

A.连续且取极大值

B.连续且取极小值

C.可导且导数为0

，在 x=0处（ ）。

D.可导且导数不为0 正确答案

解析：

3.设函数f(x)=ax-blnx (a＞0)有两个零点，则

（ ）。

（分数：5.00）

A.(e,+∞) 正确答案

B.(0,e)

C.

D.

解析：

的取值范围是

4.设函数 f（x, y）可微，且f（x+1，e

x

）= x（x+1）

2

，f （x, x

2

）

=2x

2

lnx，则 df（1,1）=（ ）。

（分数：5.00）

+dy

-dy

正确答案

D.-dy

解析：

5.二次型f（x

1

，x

2

，x

3

）=（x

1

+x

2

）

2

+（x

2

+x

3

）

2

-（x

3

-x

1

）

2

的正惯性

指数与负惯性指数依次为（ ）。

（分数：5.00）

A.2,0

B.1,1 正确答案

C.2,1

D.1,2

解析：

令上式等于零，故特征值为-1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，

负惯性指数为1，故应选B。

6.设A= (a

1

，a

2

，a

3

，a

4

)为4阶正交矩阵，若矩阵

， k表示任意常数，则线性方程组Bx=β的通

解x=（ ）。

（分数：5.00）

A.a

2

+a

3

+a

4

+ka

1

B.a

1

+a

3

+a

4

+ka

2

C.a

1

+a

2

+a

4

+ka

3

D.a

1

+a

2

+a

3

+ka

4

正确答案

解析：

因为A= (a

1

，a

2

，a

3

，a

4

)为 4 阶正交矩阵，所以向量组a

1

，a

2

，a

3

，

a

4是一组标准正交向量组，则r(B)=3，， 故线性方程组Bx=0的通解为

ka

4

，而

，

故线性方程组

Bx=β

的通解

为x=

a

1

+a

2

+a

3

+ka

4

，其中 k 为任意常数，故应选D。

7.已知矩阵

（分数：5.00）

A.

，若下三角可逆矩阵 P 和上三角可逆

矩阵Q ，使 PAQ 为对角矩阵，则 P ，Q 可以分别取（ ）。

B.

C.

正确答案

D.

解析：

8.设 A，B 为随机事件，且0

（ ）。

（分数：5.00）

A.

B.

C.

D.

正确答案

解析：

9.

（ ）

（分数：5.00）

A.

B.

正确答案

C.

D.

解析：

10.设总体 X 的概率分布为

，利用来自总体的样

本值 1，3，2，2，1，3，1，2，可得θ的最大似然估计值为（ ）。

（分数：5.00）

A.

正确答案

B.

C.

D.

解析：

二、填空题(总题数：6，分数：30.00)

11.若=________。

（分数：5.00）

填空项1:__________________ （正确答案：

）

解析：

12.________。

（分数：5.00）

填空项1:__________________ （正确答案：

6

）

解析：

13.设平面区域 D 由曲线与 x 轴围成，则

绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为________。

（分数：5.00）

填空项1:__________________ （正确答案：

）

解析：

D