初中数学十字相乘法因式分解

2024年4月5日发(作者：求生者做数学试卷好吗知乎)

初中数学十字相乘法因式分解

要点

：

一、

x

2

(pq)xpq

型的因式分解

特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数

的两个因数之和。对这个式子先去括号，得到：

x

2

(pq)xpqx

2

pxqxpq(x

2

px)(qxpq)

x(xp)q(xp)(xp)(xq)

因此：

x

2

(pq)xpq(xp)(xq)

利用此式的结果可以直接将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。

二、一般二次三项式

ax

2

bxc

的分解因式

大家知道，

(a

1

xc

1

)(a

2

xc

2

)a

1

a

2

x

2

(a

1

c

2

a

2

c

1

)xc

1

c

2

。

反过来，就可得到：

a

1

a

2

x

2

(a

1

c

2

a

2

c

1

)xc

1

c

2

(a

1

xc

1

)(a

2

xc

2

)

我们发现，二次项系数

a

分解成a

1

a

2

，常数项

c

分解成

c

1

c

2

，把

a

1

,a

2

,c

1

,c

2

写成

a

1

a

2

c

1

，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到

ac



c

2

12

a

2

c

1

，那么

ax

2

bxc

就可以分

解成

(a

1

xc

1

)(a

2

xc

2

)

.

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相

乘法。

【典型例题】[例1] 把下列各式分解因式。（1）

x

2

3x2

（2）

x

2

7x6

分析：（1）

x

2

3x2

的二次项的系数是1，常数项

212

，一次项系数

312

，这

是一个

x

2

(pq)xpq

型式子。

（2）

x

2

7x6

的二次项系数是1，常数项

6(1)(6)

，一次项系数

7

(1)

(6)

，这也是一个

x

2

(pq)xpq

型式子，因此可用公式

x

2

(pq)xpq

(x

p)(xq)

分解以上两式。

解：（1）因为

212

，并且

312

，所以

x

2

3x2(x1)(x2)

（2）因为

6(1)(6)

，并且

7(1)(6)

，所以

x

2

7x6(x1)(x6)

[例2] 把下列各式因式分解。

（1）

x

2

x2

（2）

x

2

2x15

分析：（1）

x

2

x

2的二次项系数是1，常数项

2(1)2

，一次项系数

1(1)2

，

这是一个

x

2

(pq)xpq

型式子。

（2）

x

2

2x15

的二次项系数是1，常数项

15(5)3

，一次项系数

2(5)

3

，这也是一个

x

2

(pq)xpq

型式子。

以上两题可用

x

2

(pq)xpq(xp)(xq)

式子分解。

解：（1）因为

2(1)2

，并且

1(1)2

，所以

x

2

x2(x2)(x1)

（2）因为

15(5)3

，并且

2(5)3

，所以

x

2

2x15(x5)(x3)

注意：（1）当常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数的符号相

同。

（2）当常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次

项系数的符号相同。

[例3] 把下列各式因式分解。

（1）

2x

2

7x3

（2）

6x

2

7x5

（3）

5x

2

6xy8y

2

1

解：（1）

2x

2

7x3(x3)(2x1)

3

2

2(3)1(1)7

1

1

2

（2）

6x

2

7x5(2x1)(3x5)

3

2(5)317

5

2y

1

（3）

5x

2

6xy8y

2

(x2y)(5x4y)

5

1(4y)5(2y)6y

[例4] 将

(xy)

2

3(xy)40

分解因式。

4y

分析：可将

xy

看成是一个字母，即

xya

，于是上式可化为

a

2

3a40

二次项系

数是1，常数

40(8)5

，一次项系数

3(8)5

，所以可用

x

2

(pq)

x

pq(xp)(xq)

式子分解。

解：因为

40(8)5

，并且

3(8)5

，所以

(xy)

2

3(xy)40

[(xy)8][(xy)5](xy8)(xy5)

[例5] 把

x

2

y

2

5x

2

y6x

2

分解因式。

分析：多项式各项有公因式

x

2

，第一步先提出各项公因式

x

2

，得到：

x

2

y

2

5x

2

y6x

2

x

2

(y

2

5y6)

，经分析

y

2

5y6

它符合

y

2

(pq)ypq

型式

子，于是可继续分解。第二步，按

y

2

(pq)ypq

型二次三项式分解，得到：

x

2

(y

2

5y6)x

2

(y6)(y1)

解：

x

2

y

2

5x

2

y6x

2

x

2

(y

2

5y6)x

2

(y6)(y1)

[例6] 将

81x

5

y

5

16xy

分解因式。

解：

81x

5

y

5

16xyxy(81x

4

y

4

16)xy(9x

2

y

2

4)(9x

2

y

2

4)

xy(9x

2

y

2

4)(3xy2)(3xy2)

注意：多项式分解因式的一般步骤是：（1）如果多项式各项有公因式，那么先提

出公因式。（2）在各项提出公因式后，或各项没有公因式的情况下，可考虑运用公式

法，对于四项式多项式可以考虑运用分组分解法。（3）要分解到每个多项式不能再分

解为止。

【模拟试题】

一. 填空题：

1.

x

2

3x28

（ ）（ ） 2.

x

2

2xy35y

2



(x7y)

（ ）

3.

20x

2

43xy14y

2



(4x7y)

（ ） 4.

18x

2

19x5

（ ）（

2x1

）

5.

35m

2

n

2

11mn6

－（ ）（ ） 6.

611a35a

2



（ ）（ ）

7.

kx

2

5x6

（

3x2

）（ ）

k

8.

m43xy14y

2

(4x7y)(5x2y)

，则

m

9.

20x

2

43xym(4x7y)(5xn)

，则

m

，

n

10. 分解因式

(x

2

3x)

4

8(x

2

3x)

2

16

。

二. 选择题：

1.

x

2

10x16

分解因式为（ ）

A.

(x2)(x8)

B.

(x2)(x8)

C.

(x2)(x8)

D.

(x2)(x8)

2.

x

2

13xy30y

2

分解为（ ）

A.

(x3y)(x10y)

B.

(x15y)(x2y)

C.

(x10y)(x3y)

D.

(x15y)(x2y)

3. 把

6x

2

29x35

分解因式为（ ）

A.

(2x7)(3x5)

B.

(3x7)(2x5)

C.

(3x7)(2x5)

D.

(2x7)(3x5)

4. 把

x

2

m

2

4mn4n

2

分解因式为（ ）

A.

(xm2n)(xm2n)

B.

(xm2n)(xm2n)

C.

(xm2n)(xm2n)

D.

(xm2n)(xm2n)

5. 在下列二次三项式中，不是

x

2

(pq)xpq

型式子的是（ ）

A.

x

2

12x20

B.

x

2

9x100

C.

x

2

13x14

D.

x

2

9x52

三. 解答题：

1. 将下列各式因式分解。

（1）

x

2

5x6

（2）

x

2

x30

（3）

x

2

30x144

1）

（3）

x

2

11x18

（4）

2526aa

2

（5）

x

2

3xy2y

2

2. 将下列各式因式分解。

（1）

m

4

18m

2

17

（2）

3x

4

7x

2

y

2

20y

4

（3）

3b

2

14b5

（4）

2x

2

x3

（5）

2x

2

5x7

（6）

3a

2

2a1

3. 因式分解。

（1）

(x

2

7x)

2

10(x

2

7x)24

（2）

x

4

2x

2

(y

2

z

2

)(y

2

z

2

)

2

x

4. 已知

15x

2

47xy28y

2

0

，求的值。

y

ba

5. 已知

a

2

ab6b

2

0

（

a0

，

b0

），求



的值

ab

6. 已知

a

2

9b

2

2a6b20

，求

2a3b

的值。

试题答案

一.

1.

x7

；

x4

2.

x5y

3.

5x2y

4.

9x5

5.

5mn3

；

7mn2

6.

27a

；

35a

7.

2x3

；6

2

8.

20x

9.

14y

；

2y

10.

(x1)(x2)(x3x2)

22222

二.1. A 2. D 3. B 4. B 5. B

三.1. 解：

（1）

x5x6(x6)(x1)

（2）

xx30(x6)(x5)

（3）

x30x144(x24)(x6)

2. 解：（1）

m18m17(m18m17)(m17)(m1)

(m17)(m1)(m1)

（2）

3x7xy20y(x4y)(3x5y)(x2y)(x2y)(3x5y)

（3）

x2x8xx(x2x8)x(x4)(x2)x(x2)(x2)(x2)

3. 解：（1）

6a

5342222

4224222222

2

424222

2

22

a

2nk

35a

k

a

k

(6a

4n

a

2n

35)a

k

(2a

2n

5)(3a

2n

7)

751

22

（2）

xx(8x14x5)(2x1)(4x5)

4888

4nk

4. 解：

（1）

(x7x)10(x7x)24(x7x12)(x7x2)

22222

(x3)(x4)(x

2

7x2)

（2）

x2x(yz)(yz)[x(yz)](xyz)

5. 解：

15x47xy28y0

(3x7y)(5x4y)0

22

422222222222222

7

y

x

3

7

747



∴

xy

或

xy

当

xy

时，（1）



yy3

353

4

y

x

5

4

4



（2）当

x

y

时，



yy5

5

22

6. 解：

aab6b0

(a3b)(a2b)0

a3b

a2b

bab3b11

当

a3b

时，

33

ab3bb33

bab2b11

当

a2b

时，

22

ab2bb22

22

22

7. 解：

a9b2a6b20

(a2a1)(9b6b1)0

1

22

(a1)(3b1)0

a1

b

3

1

2a3b213()213

3