2024年3月31日发(作者：7年级数学试卷直播)

2022年高考浙江数学高考真题变式题16-18题

原题16

b

x

2

y

2

1

．已知双曲线

2

2

1(a0,b0)

的左焦点为

F

，过

F

且斜率为的直线交双曲线于

ab

4a

点

A

x

1

,y

1

，交双曲线的渐近线于点

B

x

2

,y

2

且

x

1

0x

2

．若

|FB|3|FA|

，则双曲线

的离心率是

_________

．

变式题1基础

b

x

2

y

2

2

．已知点

F

为双曲线

2

2

1(a0,b0)

的左焦点，

A

为直线

l:yx

在第一象限内

ab

a

的点，过原点

O

作

OA

的垂线交

FA

于点

B

，且

B

恰为线段

AF

的中点，若

ABO

的内切

圆半径为

b2a

(b2a)

，则该双曲线的离心率大小为

_________

．

4

变式题2基础

22

xy

3

．设

F

1

，

F

2

为双曲线

C

：

2

1

（

a0

）的左、右焦点，点

P

为双曲线

C

上一点，

a16

PF

1

PF

2

4

，那么双曲线

C

的离心率为

______.

变式题3基础

y

2

4

．已知直线

y2x4

与双曲线

C:x

2

1

有且只有一个公共点，则

C

的离心率等于

b

2

________

．

变式题4巩固

x

2

y

2

5

．已知

F

为双曲线

C:

2

2

1

的右焦点，过点

F

作

C

的渐近线的垂线

FD

，垂足为

D

，

ab

1

且满足

FDOF

（

O

为坐标原点），则双曲线的离心率为

______

2

变式题5巩固

x

2

y

2

6

．已知双曲线

2

2

1

，

a,b0

的左右焦点记为

F

1

，

F

2

，直线

l

过

F

2

且与该双曲

ab

b

线的一条渐近线平行，记

l

与双曲线的交点为

P

，若所得

△PF

1

F

2

的内切圆半径恰为，

3

则此双曲线的离心率为

______

．

变式题6巩固

7

．设

F

1

,F

2

为双曲线

C

：

x

2

y

2

1(a0,b0)

的左、右焦点，

B

为双曲线虚轴的下端点，

a

2

b

2

P

为过点

F

1

,F

2

,B

的圆与双曲线

C

的一个交点，且

PF

1

F

1

F

2

，则双曲线的离心率为

_________

；

变式题7巩固

8

．已知双曲线

C:

x

2

y

2

1(a0,b0)

的左、右焦点分别为

F

1

,F

2

，点

A

是

C

左支上一点，

a

2

b

2

点

B

是

C

渐近线上一点，

O

为坐标原点．若

F

1

BO90,F

2

B2OA

，则

C

的离心率为

_________

．

变式题8提升

9

．已知点

F

为抛物线

x

2

8y

的焦点，

M

0,2

，点

N

为抛物线上一动点，当

NF

NM

最

小时，点

N

恰好在以

M,F

为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为

___________.

变式题9提升

x

2

y

2

10

．若点

P

为双曲线

C:

2

2

1

a,b0

上任意一点，则

P

满足性质：点

P

到右焦点

ab

a

2

的距离与它到直线

x

的距离之比为离心率

e

，若

C

的右支上存在点

Q

，使得

Q

到左

c

a

2

焦点的距离等于它到直线

x

的距离的

6

倍，则双曲线的离心率的取值范围是

______

．

c

变式题10提升

x

2

y

2

11

．已知双曲线

C:

2

2

1(a0,b0)

的左、右焦点分别为

F

1

,F

2

，分别过

F

1

,F

2

，作斜

ab

Q

两点．率为

2

的直线交

C

在

x

轴上半平面部分于

P

，

记

OPF

1

,OQF

2

面积分别为

S

1

,S

2

，

若

S

2

3S

1

，则双曲线

C

的离心率为

_____________

．

变式题11提升

12

．已知双曲线

C:

x

2

y

2

1(a0,b0)

的左焦点为

F

，

A

是

C

上一点，

B

是

C

的渐近线

a

2

b

2

上一点，

O

为坐标原点．若

FB2AB

，

FBBO0

，则双曲线

C

的离心率为

________

．

原题17

13

．设点

P

在单位圆的内接正八边形

A

1

A

2

取值范围是

_______

．

变式题1基础

14

．如图，在边长为

1

的正方形

ABCD

中，

E

为

BC

的中点，若

F

为正方形内（含边界）

任意一点，则

AEAF

的最大值为

______.

A

8

的边

A

1

A

2

上，则

PA

1

PA

2

22

PA

8

的

2

变式题2基础

15

．已知在

ABC

中，对任意的

tR,|BAtBC||AC|

恒成立，且

AB10,AC:BC4:3,P

为

ABC

内切圆上的点，则

PAPB

的取值范围是

________

．

变式题3基础

16

．在梯形

ABCD

中，

AB∥CD

，

A90

，

AB2CD3

，

AD2

，若

EF

在线段

AB

上运动，且

EF1

，则

CECF

的最小值为

_________

．

变式题4巩固

17

．在

ABC

中，

AB4,BC5,AC6

，点

M

为

ABC

三边上的动点，

PQ

是

ABC

外

接圆的直径，则

MPMQ

的取值范围是

_______________________

变式题5巩固

18

．已知平面向量

a

，

b

，

c

，

d

满足

ab1

，

c2

，

ab0

，

cd1

，则

2abd

的取值范围为

______.

变式题6巩固

2

19

．已知非零向量

a

、

b

、

c

，满足

a2

，

b1

，

ab1

，若

c2bc0

，则

ca

的取值范围是

__________

．

变式题7巩固

1

20

．设

a2

，

b1

，

ab1

，

c

i

a

（

i1,2

），则

c

1

2

b2c

2

b

（

R

）

2

的最小值为

___________.

变式题8提升

21

．已知同一平面内的单位向量

e

1

，

e

2

，

e

3

，则

e

2

e

1

e

2

e

3

的取值范围是

________.

变式题9提升

22

．已知

e

为单位向量，向量

a,b

满足

|2ab|23

，

2aebe23

，若

|b|2

，

则

|a|

的取值范围是

_______

．

变式题10提升

23

．已知平面向量

a

、

b

、

c

满足

ab0

，

c1

，

acbc5

，则

取值范围为

______

．

变式题11提升

24

．已知平面向量

a,b,c

满足：

abab1

，

ac1

，则

3abc

的最小值为

___________

．

11

abc

的

22



原题18

25

．在

ABC

中，角

A

，

B

，

C

所对的边分别为

a

，

b

，

c

．已知

4a5c,cosC

(1)

求

sinA

的值；

(2)

若

b11

，求

ABC

的面积．

变式题1基础

26

．在

ABC

中，

b7,c5

，再从条件

①

､条件

①

这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)

B

的值；

(2)

ABC

的面积

.

条件

①

：

sin2BsinB

；条件

①

：

cos2BcosB

.

变式题2基础

27

．在

ABC

中，角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，

D

为

BC

边上一点，

BD2DC

，

CDsinBACBDsinC

．

3

．

5

(1)

证明：

a2c

；

3

(2)

若

cosB,AD7

，求

ABC

的面积．

4

变式题3基础

28

．已知

ABC

的内角

A

，

B

，

C

所对的边分别为

a

，

b

，

c

，

acosCccosA2

，

acosBc1

．

(1)

求

A

；

(2)

若

D

为

BC

上一点，

ADAC

，

CD22

，求

ABC

的面积．

变式题4基础

29

．在锐角

ABC

中，角

A,B,C

所对的边分别为

a,b,c

，已知

a3,b2

，

2sinB3sinA

5

2

(1)求角A的大小；

(2)

求

ABC

的面积

.

变式题5巩固

30

．在

ABC

中，角

A,B,C

的对边分别为

a,b,c

，且

cbcosA3bsinA

.

(1)

求角

B

；

(2)

若

a4,b31

，求

ABC

的面积

.

变式题6巩固

31

．已知

ABC

的内角

A

，

B

，

C

所对的边分别为

a

，

b

，

c

，

tanBtanC3tanBtanC30

．

(1)求角A的大小；

(2)

若

BD2DC

，

AD2

，且

AD

平分

BAC

，求

ABC

的面积．

变式题7巩固

32

．在

ABC

中，内角

A

，

B

，

C

所对的边分别是

a

，

b

，

c.

已知

(1)求角B的大小；

(2)

若点

D

在

BC

上，

b26

，

AD22

，

ADC

变式题8巩固

33

．已知

ABC

的内角

A,B,C

的对边分别为

a,b,c

，

b7

，

2accosBbcosC

.

π

，求

ABC

的面积

.

3



c4,2cos

B

7sinC3.

2



(1)

求

B

；

(2)

若

C

为锐角，求

ABC

的面积．

变式题9提升

34

．在

ABC

中，内角

A

，

B

，

C

所对的边分别为

a

，

b

，

c

，已知

b23

，且满足

sin

2

Asin

2

Csin

2

BsinAsinC

．

(1)求角B的大小；

(2)

求

ABC

的面积的最大值．

变式题10提升

35

．在

ABC

中，

c7

，且

ABC

同时满足条件

①

、条件

①

、条件

①

、条件

①

这四

个条件中的三个，请选择三个条件并解答下列问题

:

(1)

求边

b

;

(2)

求

S

ABC

.

21

;

7

条件

①

ab5

;

条件

①

sinB

条件

①

bcosB

变式题11提升

47

7

;

条件

①

cosA

.

14

7

36

．设

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，且

ccosA2asinB,c2b

．

(1)求A；

(2)

设

D

是

AB

边上靠近

A

的三等分点，

CD5

，求

ABC

的面积．

参考答案：

1

．

36

4

【分析】联立直线

AB

和渐近线

l

2

:y

b

x

方程，可求出点

B

，再根据

|FB|3|FA|

可求得点

a

A

，最后根据点

A

在双曲线上，即可解出离心率．

【详解】过

F

且斜率为

b

b

b

(xc)

，渐近线

l

2

:yx

，

的直线

AB:y

a

4a

4a

b

y(xc)

5cbc

cbc

4a

联立

，得

B

,

，由

|FB|3|FA|

，得

A

,

,

99a

33a

y

b

x

a

c

2

81

25c

2

b

2

c

2

36

.

而点

A

在双曲线上，于是，解得：，所以离心率

1

e

a

2

24

81a

2

81a

2

b

2

4

故答案为：

36

．

4

2

．

13

【分析】设

OAn,OBm

，根据点

A

在渐近线

y

a

b

x

上，点

B

在直线

yx

上，求得

A,B

a

b

b

的坐标，结合

B

为线段

AF

的中点，求得

m,na

，利用内切圆半径的计算公式，求得

2

1

cb

2rOAOBa

2

b

2

，求得

b

2

12a

2

，根据离心率为

e1()

2

，即可求解

.

aa

4

【详解】如图所示，设

OAn,OBm

，

由题意知，点

A

在渐近线

y

a

b

x

上，点

B

在直线

yx

上，

a

b

abba

可得

A(n,n),B(m,m)

，

cccc

ba

2mnc

b

cc

因为

B

为线段

AF

的中点，且

F(c,0)

，所以

，解得

m,na

，

2

2

a

m

b

n

c

c

b

所以

OAa,OB

，则

AB

2

1

22

OAOBa

2

b

2

，

4

因为

ABO

的内切圆半径为

b2a

，

4

1

b2ab1

aa

2

b

2

，

所以

2rOAOBa

2

b

2

，即

2

4

424

cb

b

2

化简得

b12a

，即

2

12

，所以离心率为

e1()

2

13

.

aa

a

22

故答案为：

13

.

3

．

5

【分析】根据双曲线定义知

a2

，再由双曲线参数关系求得

c25

，即可求离心率

.

【详解】由题意

PF

1

PF

2

2a4

，则

a2

，

又

a

2

b

2

c

2

，则

c25

，

所以双曲线

C

的离心率为

e

故答案为：

5

4

．

5

【分析】由题意可得直线

y2x4

与双曲线的一条渐近线平行，从而可求出

b

的值，进而

可求出双曲线的离心率

y

2

【详解】双曲线

C:x

2

1

的渐近线方程为

y=bx

，

a1

，

b

2

c

5

.

a

因为直线

y2x4

与双曲线

C:x

2

y

2

1

有且只有一个公共点，

b

2

所以直线

y2x4

与渐近线

ybx

平行，

所以

b2

，

所以

ca

2

b

2

145

，

所以双曲线的离心率为

e

故答案为：

5

5

．

2

23

3

##

3

3

b

的值，变形后可得离心率．

a

c

a

5

1

5

，

【分析】由题意得渐近线的倾斜角，从而得出其斜率

【详解】由

FDOD

，

FD

1

b3

OF

得

FOD30

，所以

tan30

，

2

a3

cc

2

a

2

b

2

b

2

123

所以

e

．

11

aa

2

a

2

a

2

33

故答案为：

6

．

2

【分析】先求出直线

PF

2

的方程

y

b

(xc)

，与双曲线方程联立，求出点

P

的坐标，根据三

a

23

．

3

角形的面积和双曲线的定义表示出

|PF

2

|

，根据解三角形整理可得

2a

2

acc

2

0

，解得即

可．

【详解】解：由题意可知

F

1

(c,0)

，

F

2

(c,0)

，

设双曲线一条渐近线方程

y

b

x

，

a

则直线

PF

2

的方程

y

b

(xc)

，

a

b

y(xc)

a

联立方程组

2

，

2

x

y

1

a

2

b

2

a

2

c

2

22

y

消去可得

2cxac

，解得

x

，

2c

y

b

3

，

2ac

a

2

c

2

b

3

,

点

P

的坐标为



，

2ac



2c

设

|PF

1

|m

，

|PF

2

|n

，

1b1b

3

由三角形的面积可得

(mn2c)2c

，

2322ac

3b

2

2c

①

，

化简可得

mn

a

又

mn2a

①

，

3b

2

ac

，

由

①①

解得

n

2a

设直线

PF

2

的倾斜角为

，过点

P

作

PAx

轴，垂足为

A

，则

tan

sin

b

，

c

b

，

a

在

RtPAF

2

，

sin

b

3

2ac

3b

2

ac

2a

，

b

c

b

3

2ac

3b

2

ac

2a

，

整理可得

2a

2

acc

2

0

，即

e

2

e20

，

解得

e2

，

e1

（舍去）．

故答案为：

2

．

7

．

2

b

【分析】由

PF

1

F

1

F

2

得

PF

2

为圆的直径，再由

PBBF

2

得

PBBF

2

0

，求得

ab

，

P(c,)

，

a

2

即可求出离心率

.

【详解】

如图，不妨设

P

在第二象限，由

PF

1

F

1

F

2

知

PF

2

即为圆的直径，连接

PB,BF

2

，易得

PBBF

2

，

22

22

xy

bb

将

xc

代入

2

2

1

解得

y

，则

P(c,)

，又

B(0,b),F

2

(c,0)

，

aa

ab

b

2

b

3

22

PBBF

2

c,b

c,b

cb0

，

a

a

b

3

cb

2

即a，则

ab

，离心率为

1

2

2

.

a

aa

2

故答案为：

2

.

8

．

2

a

2

ab

a

2

c

2

ab

,

，再【分析】先由

F

1

BO90

求出

B

,

，再由

F

2

B2OA

求出

A

cc

2c2c



代入双曲线即可求出离心率

.

【详解】

如图，不妨设

B

在第三象限，则

B

在

y

F

1

B

bc

a

b

a

2

2

b

x

上，

F

1

(c,0)

，又

F

1

BO90

，则

a

b

，则

OBc

2

b

2

a

，

1

a

2

ab

ab

b

a

2

则

B

的纵坐标为

，代入

yx

得

x

，则

B

,

，由

F

2

B2OA

可得

c

a

c

c

c

F

2

B2OA

，

F

2

BOA

，

a

2

c

2

ab

x

2

y

2

FF

FB

A,

又

O

为

12

中点，则

A

为

1

中点，则



，又

A

在

2

2

1

上，则

2c2c

ab



a

2

c

2

22

2

4ac

ab

4bc

2

22

1

，

整理得

c

2

2a

2

，则离心率为

故答案为：

2

.

9．2+1##1+2

c

2

.

a

22

NF

x

0

x

0

【分析】设点

N(x

0

,)

，根据抛物线的定义表示出

NF2

，将用

x

0

表示，并逐

NM

88

步转化为一个基本不等式形式，从而求出取最小值时的点

N

的坐标，再根据双曲线的定义

及离心率的公式求值

.

【详解】由题意可得，

F(0,2)

，

M

0,2

，抛物线的准线为

y2

，

2

x

0

设点

N(x

0

,)

，根据对称性，不妨设

x

0

0

，

8

2

2

x

0

x

0

2

由抛物线的定义可知

NF2

，又

NMx

0

(2)

2

，

8

8

所以

NF

NM

2

x

0

2

8

2

x

2

x

0

(

0

2)

2

8

2

x

0

(2)

2

8

2

x

2

x

0

(

0

2)

2

8

1



x

1

2

0

x

0

2



8

2

1



1

1

x

0

2

8x

0



2

2

2

，

当且仅当

x

0

4

时，等号成立，此时

N(4,2)

，

y

2

x

2

设以

M,F

为焦点的双曲线方程为

2

2

1

，

ab

则

2aNFNM4424(21)

，

即

a2(21)

，

又

2cMF4

，

c2

，

所以离心率

e

c2

21

.

a

2(21)

故答案为：

21

.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是将

NF

NM

的坐标表达式逐渐转化为一个可以用基本不等

式求最值的式子，从而找出取最小值时的点

N

的坐标

.

10

．

1,2

3,6

ac

6

a

2

【分析】若

Q

到

x

的距离为

d

有

6ded0

，由题设有，结合双曲线离心率

a

2

a

c

c

的性质，即可求离心率的范围

.

ac

6

acc

2

ee

2

2

6

，整理有

e

2

5e60

，

【详解】由题意，，即

a

2

a

acae1

c

所以

e3

或

e2

，

a

2

若

Q

到

x

的距离为

d

，则

Q

到左、右焦点的距离分别为

6d

、

ed

，又

Q

在

C

的右支上，

c

所以

6ded0

，则

e6

，又

e1

，

综上，双曲线的离心率的取值范围是

1,2

3,6

.

故答案为：

1,2

3,6

a

2

【点睛】关键点点睛：若

Q

到

x

的距离为

d

，根据给定性质有

Q

到左、右焦点的距离

c

分别为

6d

、

ed

，再由双曲线性质及已知条件列不等式组求离心率范围

.

11

．

5

2

【分析】根据

S

2

3S

1

得到

F

2

Q3F

1

P

，结合双曲线的定义、余弦定理列方程，化简求得

双曲线

C

的离心率

.

【详解】依题意，

PF

1

//QF

2

，

OPF

1

,OQF

2

面积分别为

S

1

,S

2

，且

S

2

3S

1

，

sinQF

2

O

，所以

F

2

Q3F

1

P

，

由于

OF

1

OF

2

c,sinPFO

1

设

F

2

Q3F

1

P3m

m0

，由双曲线的定义可知

PF

2

2am,QF

1

2a3m

，

sin

tan

2

cos

2

1

2

由

sin

cos

1

，可解得

cos

，

5

π

0

2

故

cosPFO

1

11

,cosQF

2

O

55

在三角形

PF

1

F

2

和三角形

QF

1

F

2

，分别由余弦定理得

1

2

22

m2am4c2m2c



5

，

1

2

22

3m2a

9m4c23m2c

5

mc

22

maac

5

4mcc5

.

e

整理得

，两式相减得

2ma

3mc

a2

5

3maa

2

c

2

5

故答案为：

5

2

【点睛】求解双曲线与焦点三角形有关的问题，可结合双曲线的定义来进行考虑

.

求解双曲

线的离心率，可利用直接法求得

a,c

来求，也可以根据题意建立关于

a,c

的方程，通过化简

来求得离心率

.

12

．

2

b

a

2

ab

【分析】设

B

在

yx

上，由

FBBO

及勾股定理可得

|BO|a

，进而求得

B(,)

，

a

cc

利用向量的数量关系求

A

的坐标，再由点在曲线上得到关于参数的齐次方程，即可求离心

率

.

b

【详解】不妨假设

B

在

yx

上，由

FBBO0

，即

FBBO

，

a

在

Rt

△

FBO

中

|FB|b

，若

|FB|bx

，则

|BO|ax

，且

|OF|c

，

|BO|a

所以

|FB|

2

|BO|

2

|OF|

2

，即

(a

2

b

2

)x

2

c

2

，而

a

2

b

2

c

2

，故

x1

，

a

2

ab

a

2

ab

所以

|BO|a

，则

B(,)

，又

F(c,0)

，故

FB(c,)

，

cc

cc

a

2

ab

若

A(x,y)

，则

AB(x,y)

，

cc

a

2

a

2

a

2

c

2

c2(x)x

cc2c

由

FB2AB

，即

，可得

，

abab

ab

2(y)

y

c

2c

c

(a

2

c

2

)

2

a

2

b

2

22

1

，整理可得

e

2

2

，又

e1

，

由

A

在双曲线上，

22

4ac4bc

所以

e2

.

故答案为：

2

【点睛】关键点点睛：根据向量数量积判断垂直关系，再利用勾股定理及点的位置求B坐

标，由向量线性关系求A坐标，根据点在曲线上得到齐次方程.

13

．

[1222,16]

【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，

A

7

A

3

所在直线为

x

轴，

A

5

A

1

所在

直线为

y

轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设

P(x,y)

，再根据平面向量模

的坐标计算公式即可得到

PA

1

PA

2

可解出．

【详解】以圆心为原点，

A

7

A

3

所在直线为

x

轴，

A

5

A

1

所在直线为

y

轴建立平面直角坐标系，

如图所示：

22

PA

8

8

x

2

y

2

8

，然后利用

cos22.5|OP|1

即

2

22



2

2

22

A(0,1),A,,A(1,0),A,,A(0,1),A,

则

1



2

4

6

22

3

2

5

2

,A

7

(1,0)

,

22



22

22

A

8

,

P(x,y)

PA

,

，设于是

1

PA

2

22



因为

cos22.5|OP|1

，所以

[1222,16]

.

PA

8

8

x

2

y

2

8

，

2

1cos45

22

x

2

y

2

1

，故

PA

1

PA

2

2

PA

8

的取值范围是

2

故答案为：

[1222,16]

．

3

14

．

2

【分析】先设出点

A

以及点

F

的坐标，求出其它各点的坐标，并利用点的坐标表示出

AEAF

，

把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可

.

【详解】解：如图建立平面直角坐标系，

1

则点

A(0,0)

，则

B(1,0),C(1,1),D(0,1),E

1,

，

2

0x1

设

F(x,y)

，则

，对应的平面区域如图：

0y1

1

因为

AE

1,

,AF(x,y)

，

2

所以

AEAFx

1

y

，

2

借助于图象得当

x

3

故答案为：

.

2

1

13

y

过点

C(1,1)

时取最大值，此时

xy

，

22

2

【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是

对基础知识和基本思想的考查，属于基础题.

15

．

[1645,1645]

【解析】先由向量加法、减法的几何意义判断出

ABC

的形状，再利用数量积的概念选择合

适的计算方法，最后结合圆的有关知识计算出取值范围即可．

【详解】解：因为对任意的

tR,|BAtBC||AC|

恒成立，

所以

ACBC

．

又

AB10,AC:BC4:3

，

所以

AC8

，

BC6

．

设

ABC

内切圆的半径为

r

，圆心为

M

，

r

则

(ABBCAC)S

2

所以

r2

．

BAC

1

ACBC

，

2

以

C

为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则

C(0,0),A(0,8),B(6,0),M(2,2)

，

设

P(x,y)

，

则

PAPB(x,8y)(6x,y)x

2

6xy

2

8y(x3)

2

(y4)

2

25

，

(x3)

2

(y4)

2

的几何意义为内切圆

M

上的动点

P(x,y)

与点

N(3,4)

的距离的平方，

连接

PN

，所以

(x3)

2

(y4)

2

|PN|

2

．

连接

MN

，

因为

|NM|52

，

所以

52|PN|52

，

所以

945|PN|

2

945

，

所以

PAPB[1645,1645]

，

故答案为：

[1645,1645]

．

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量加法、减法的几何意义，考查考生的数

形结合能力、运算求解能力及分析问题、解决问题的能力．

16

．

15

4

2

【分析】根据题意建立直角坐标系，把

CECF

转化为

CECF=

t1

+

求最值即可

.

15

，利用二次函数

4

【详解】

如图示，以

A

为原点，

AB

为

x

轴正方向，

AD

为

y

轴正方向建立平面直角坐标系，则：、

3

A

0,0

,B

3,0

,C

,2

,D

0,2

,

不妨设

E

t,0

,F

t1,0



0t2

2

3



1

则

CE

t,2

,CF

t,2

,

2



2


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