2024年3月18日发(作者：宁波中职一模数学试卷及答案)

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第6章　不定积分

6.1　复习笔记

一、不定积分的概念和运算法则

1．微分的逆运算——不定积分

（1）原函数

若在某个区间上，函数F（x）和f（x）成立关系F\'（x）=f（x），则称函数F（x）是

f（x）的一个原函数。

（2）不定积分

一个函数f（x）的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作

“”称为积分号，f（x）称为被积函数，x称为积分变量。

2．不定积分的线性性质

若函数f（x）和g（x）的原函数都存在，则对任意常数k

1

和k

2

，函数k

1

f（x）

+k

2

g（x）的原函数也存在，且有

这里，

二、换元积分法和分部积分法

1．换元积分法

（1）在不定积分

du=g\'（x）dx，于是，

中，用u=g（x）对原式作变量代换，这时相应地有

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这个方法称为第一类换元积分法，也被俗称为“凑微分法”。

（2）找到一个适当的变量代换x=φ（t）（要求x=φ（t）的反函数t=φ

-1

（x）存在），

将原式化为

这个方法称为第二类换元积分法。

2．分部积分法

对任意两个可微的函数u（x）、v（x），成立关系式d[u（x）v（x）]=v（x）

d[u（x）]+u（x）d[v（x）]，两边同时求不定积分并移项，就有

也即

这就是分部积分公式。

三、有理函数的不定积分及其应用

1．有理函数的不定积分

（1）形如的函数称为有理函数，这里和分别是m次和n次多项

式，n，m为非负整数。若m>n，则称它为真分式；若m≤n，则称它为假分式。

（2）设有理函数是真分式，多项式有k重实根α即

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的次数低于的次数，成立则存在实数λ与多项

（3）设有理函数是真分式，多项式有l重共轭复根，即

其中

的次数，成立

则实数和多项式的次数低

2．可化成有理函数不定积分的情况

（1）类的不定积分。这里R（u，v）表示两个变量μ、υ的有理函数

（即分子和分母都是关于u，v的二元多项式）。

对作变量代换，则。因此

这种类型不定积分的最常见的简单情况是u=0，这时被积函数变成了

（2）R（sin x，cos x）类的不定积分。

用三角函数的万能公式作代换，则

于是，原式化成了求有理函数

定积分。注意不能滥用万能公式。

的不

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6.2　课后习题详解

§1　不定积分的概念和运算法则

1．求下列不定积分：

解：

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2．曲线

求该曲线的方程．

经过点（e，﹣1），且在任一点处的切线斜率为该点横坐标的倒数，

解：由题意，曲线在点处的切线斜率为，于是

，将点（e，﹣1）代入，得C=﹣2，所以曲线的方程

为．

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处的切线斜率都比该点横坐标的立方根少3．已知曲线

1，

在任意一点

（1）求出该曲线方程的所有可能形式，并在直角坐标系中画出示意图；

（2）若已知该曲线经过（1，1）点，求该曲线的方程．

解：（1）由题意可得

求曲线方程的所有可能形式．

（2）将点（1，1）代入上述方程，可得，所以过点（1，1）的曲线方程为

，所以，这就是所

§2 换元积分法和分部积分法

1．求下列不定积分：

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