2024年3月18日发(作者：金华2022数学试卷)
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第19章含参量积分
§1含参量正常积分
1．设（这个函数在x＝y时不连续），试证由含参量积分
所确定的函数在
解：由于
当时，
上连续，并作函数F（y）的图像．
因此当y＜0时时，f（x，y）＝﹣1，
所以
它在上连续，
F（y）的图像见图19-1
图19-1
2．求下列极限：
1
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解：（1）在区域上连续．因此
（2）在区域上连续，因此
3．设
解：
二元函数
数．则函数
与
求F\'（x）．
存在k＞0，使
在矩形区域上连续，x与x
2
均为可微函
在[﹣k，k]上可微，且
4．应用对参量的微分法，求下列积分：
解：（1）若，所以
2
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同理
若，设则
又因
所以
因而
（2）设
当|a|＜1时
因而为连续函数，且具有连续导数，所以
故当|a|＜1时，I（a）＝C（常数），又I（0）＝0，从而I（a）＝0．
当|a|＞1时，令，则|b|＜1，有I（b）＝0，于是
3
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当|a|＝1时，
同理可得I（﹣1）＝0．
综上所述得
5．应用积分号下的积分法，求下列积分：
解：（1）记
1]上连续，于是有
因为故令贝g（x）在[0，
记则f（x，y）在上连续，所以
作代换x＝e
﹣t
后得到
因此
（2）类似于（1）题
4
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6．试求累次积分
的结果不符．
解：由于
与并指出它们为什么与定理19．6
故有
因为在点（0，0）不连续，所以与定理19．6的结果不符．
7．研究函数
数．
的连续性，其中f（x）在闭区间[0，1]上是正的连续函
解：由于f（x）在[0，1]上是正的连续函数，故存在正数m，使得，f（x）≥m＞0，
x∈［0，1]．
当y＞0时，
当y＜0时，
5
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因此
所以F（y）在y＝0处不连续，当
时，函数F（y）连续．
时在上连续，所以当y≠0
8．设函数f（x）在闭区间［a，A]上连续，证明：
证明：因为
当h→0时．所以
9．设
解：
其中，f（z）为可微函数，求F
xy
（x，y）．
10．设
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，其中0＜k＜1（这两个积分称为完
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