江西省宜春市九年级上期末数学试卷含答案解析

2024年3月6日发(作者：平凉中考题数学试卷及答案)

2022-2023江西省宜春市九年级（上）期末数学试卷

一．选择题

1．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（ ）

A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）

2．下列汽车标志中，是中心对称图形的有 （ ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

3．下列说法正确的是（ ）

A．“任意画一个三角形，其内角和是360°”是随机事件

B．“明天的降水概率为80%”，意味着明天降雨的可能性较大

C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会中奖

D．晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为

4．二次函数y1=x2﹣2x﹣1与反比例函数y2=﹣（x＞0）的图象在如图所示的同一坐标系中，若y1＞y2时，则x的取值范围（ ）

A．﹣1＜x＜1 或 x＞2 B．1＜x＜2

C．x＜1 D．0＜x＜1或x＞2

5．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（ ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定

6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）

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A． B． C． D．

二．填空

7．请写出一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式 ．

8．已知x=0是方程x2+bx+b﹣3=0的一个根，那么此方程的另一个根为 ．

9．将油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系S=（k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶760千米，当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶 千米．

10．学校开展合唱社团活动，九年级（1）班有10名女生和若干名男生（包括小明）报名参加，现从中各选一名女生和一名男生参加合唱团，小明估算了一下，自己被选中的概率为，则共有 名男生报名．

11．如图，△ABO和△CDO是以点O为位似中心的位似图形，若点A（3，4），点C（1.5，2），点D（2，1），则点D的对应点B的坐标是 ．

12．元旦晚会上，小刚用一张半径为25cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的圆心角应为 度．

13．太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=75cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是 cm．

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14．如图，P是抛物线y=x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y=0相切时，点P的坐标为 ．

三、解答题

15．已知关于x的方程 x2﹣（2k﹣1）x+k2=0

（1）若原方程有实数根，求k的取值范围？

（2）选取一个你喜欢的非零整数值作为k的值，使原方程有实数根，并解方程．

16．如图，在平面直角坐标系中，已知等边△OAB的顶点A在反比例函数y=△OAB的顶点B在坐标轴上时，求等边△OAB顶点A的坐标和△OAB的面积．

（x＞0）图象上，当等边

17．仅用无刻度的直尺过点C作出圆的切线（保留作图痕迹，并简要的写出作图过程）．

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18．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处（OA=1米）弹跳到人梯顶端椅子B处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高处点P（，）

（1）若将其身体（看成一个点）的路线为抛物线的一部分，求抛物线的解析式．

（2）在一次表演中，已知人梯高BC=3.4米，演员弹跳到最高处点P后落到人梯顶端椅子B处算表演成功，为了这次表演成功，人梯离起跳点A的水平距离OC是多少米？请说明理由．

四．解答题

19．某公司在羊年春节晚会上举行一个游戏，规则如下：有4张背面相同的卡片，正面分别是喜羊羊、美羊羊、慢羊羊、懒羊羊的头像，分别对应1000元、600元、400元、200元的奖金，现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，让员工抽取，每人有两次抽奖机会，两次抽取的奖金之和作为公司发的年终奖金．现有两种抽取的方案：①小芳抽取方案是：直接从四张牌中抽取两张．②小明抽取的方案是：先从四张牌中抽取一张后放回去，再从四张中再抽取一张．你认为是小明抽到的奖金不少于1000元的概率大还是小芳抽取到的奖金不少于1000元的概率大？请用树形图或列表法进行分析说明．

20．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）若CD=2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长．

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22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0）．点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AO运动；同时，点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动．

（1）求运动时间t的取值范围；

（2）t为何值时，△POQ的面积最大？最大值是多少？

（3）t为何值时，以点P、0、Q为顶点的三角形与Rt△AOB相似？

五、（本大题共10分）

23．每年淘宝网都会举办“双十一”购物活动，许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售一件A商品成本为50元，网上标价80元．

（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件A商品的利润率为10%？（≈0.83）

（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天，先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出60件A商品．在“双十一”购物活动这天，乙网店先将网上标价提高a%，再推出五折销售的促销活动，吸引了大量网购者，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量也比原来一周卖出的A商品数量增加了a%，这样“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3600元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为多少？

六、（本大题12分）

24．课题学习：我们知道二次函数的图象是抛物线，它也可以这样定义：如果一个动点M（x，y）到定点A（0，m）（m＞0）的距离与它到定直线y=﹣m的距离相等，那么动点M形成的图形就是抛物线y=ax2（a＞0）的图象，如图所示．

（1）探究：当x≠0时，a与m有何数量关系？

（2）应用：已知动点M（x，y）到定点A（0，4）的距离与到定直线y=﹣4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．

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（3）拓展：根据抛物线的平移变换，抛物线y=（x﹣1）2+2的图象可以看作到定点A（ ， ）的距离与它到定直线y= 的距离相等的动点M（x，y）所形成的图形．

（4）若点D的坐标是（1，8），在（2）中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA+PD最短？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

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2022-2023江西省宜春市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题

1．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（ ）

A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）

【考点】二次函数的性质．

【分析】已知抛物线的顶点式可直接写出顶点坐标．

【解答】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1）．

故选C．

【点评】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线y=（x+a）2+h中，其顶点坐标为（﹣a，h）．

2．下列汽车标志中，是中心对称图形的有 （ ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】中心对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．

【解答】解：第一个图形是中心对称图形；

第二个图形不是中心对称图形；

第三个图形是中心对称图形；

第四个图形不是中心对称图形．

故选：B．

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3．下列说法正确的是（ ）

A．“任意画一个三角形，其内角和是360°”是随机事件

B．“明天的降水概率为80%”，意味着明天降雨的可能性较大

C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会中奖

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D．晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为【考点】概率的意义；随机事件．

【分析】根据随机事件的概念以及概率的意义结合选项可得答案．

【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故此选项错误；

B、“明天的降水概率为80%”，意味着明天降雨的可能性较大，该说法正确，故此选项正确；

C、“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票可能会中奖，故此选项错误；

D、由于抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，即正面向上的概率为，故此选项错误．

故选B．

【点评】此题主要考查了概率的意义，关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别．

4．二次函数y1=x2﹣2x﹣1与反比例函数y2=﹣（x＞0）的图象在如图所示的同一坐标系中，若y1＞y2时，则x的取值范围（ ）

A．﹣1＜x＜1 或 x＞2 B．1＜x＜2

C．x＜1 D．0＜x＜1或x＞2

【考点】二次函数与不等式（组）．

【分析】直接求出两函数图象的交点横坐标，进而得出y1＞y2时x的取值范围．

【解答】解：由题意可得：x2﹣2x﹣1=﹣，

解得：x1=1，x2=2，即两函数图象的交点横坐标为：1，2；

则y1＞y2时，0＜x＜1或x＞2．

故选：D．

【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，正确得出函数交点横坐标是解题关键．

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5．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（ ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定

【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．

【分析】可先求出圆心到y轴的距离，再根据半径比较，若圆心到y轴的距离大于圆心距，y轴与圆相离；小于圆心距，y轴与圆相交；等于圆心距，y轴与圆相切．

【解答】解：依题意得：圆心到y轴的距离为：3＜半径4，

所以圆与y轴相交，

故选C．

【点评】此题考查的是圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，则直线与圆相切．

6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

【考点】动点问题的函数图象．

【专题】压轴题．

【分析】证明△BPE∽△CDP，根据相似三角形的对应边的比相等求得y与x的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断．

【解答】解：∵∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE，

又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°，

∴∠CPD+∠BPE=90°，

又∵直角△BPE中，∠BPE+∠BEP=90°，

∴∠BEP=∠CPD，

又∵∠B=∠C，

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∴△BPE∽△CDP，

∴，即，则y=﹣x2+x，y是x的二次函数，且开口向下．

故选：C．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式，就是把自变量当作已知数值，然后求函数变量y的值，即求线段长的问题，正确证明△BPE∽△CDP是关键．

二．填空

7．请写出一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式 y=x2 ．

【考点】抛物线与x轴的交点．

【专题】计算题；二次函数图象及其性质．

【分析】开口向上即为a大于0，与x轴只有一个交点即为根的判别式为0，写出满足题意的抛物线解析式即可．

【解答】解：一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式为y=x2．

故答案为：y=x2

【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点与根的判别式的关系为：两个交点即为根的判别式大于0；一个交点即为根的判别式等于0；没有交点即为根的判别式小于0．

8．已知x=0是方程x2+bx+b﹣3=0的一个根，那么此方程的另一个根为 ﹣3 ．

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据方程的解的定义求出b的值，根据根与系数的关系列式计算即可．

【解答】解：∵x=0是方程x2+bx+b﹣3=0的一个根，

∴b﹣3=0，

解得，b=3

设方程的另一个根为a，

则a+0=﹣3，

解得，a=﹣3，

故答案为：﹣3．

【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=是解题的关键．

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9．将油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系S=（k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶760千米，当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶 950 千米．

【考点】反比例函数的应用．

【分析】根据“以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶760千米”利用反比例函数图象上的坐标特征即可求出k值，再带人a=0.08求出S即可得出结论．

【解答】解：∵以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶760千米，

∴760=，解得：k=76，

=950（千米）． ∴当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶的路程S=故答案为：950．

【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用反比例函数图象上的坐标特征求出k值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数k的值是关键．

10．学校开展合唱社团活动，九年级（1）班有10名女生和若干名男生（包括小明）报名参加，现从中各选一名女生和一名男生参加合唱团，小明估算了一下，自己被选中的概率为名．

【考点】概率公式．

【分析】设共有x名男生报名，再直接根据概率公式求解即可．

【解答】解：设共有x名男生报名，

∵从中选一名男生参加合唱团，小明被选中的概率为∴=，解得x=15（名）．

，

，则共有 15 名男生报故答案为：15．

【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键．

11．如图，△ABO和△CDO是以点O为位似中心的位似图形，若点A（3，4），点C（1.5，2），点D（2，1），则点D的对应点B的坐标是 （4，2） ．

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【考点】位似变换；坐标与图形性质．

【分析】利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．

【解答】解：∵△ABO和△CDO是以点O为位似中心的位似图形，点A（3，4），点C（1.5，2），

∴点D（2，1）的对应点B的坐标是：（2×2，1×2）即（4，2）．

故答案为（4，2）．

【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆以原点为位似中心的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．

12．元旦晚会上，小刚用一张半径为25cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的圆心角应为 144 度．

【考点】圆锥的计算．

【分析】首先根据地面半径求得圆锥的底面的周长，从而求得圆锥的弧长，利用弧长公式求解即可．

【解答】解：∵圆锥的底面半径为10cm，

∴圆锥的底面周长为20πcm，

设侧面展开扇形的圆心角为n°，

根据弧长公式得：解得：n=144，

故答案为：144．

【点评】考查圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长=侧面展开图的弧长；

=20π，

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13．太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=75cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是 76 cm．

【考点】勾股定理的应用．

【分析】分别过点A作AM⊥BF于点M，过点C作CN⊥AB于点N，利用勾股定理得出BN的长，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．

【解答】解：过点A作AM⊥BF于点M，过点C作CN⊥AB于点N，如图所示：

∵AD=24cm，则NC=24cm，

∴BN===7（cm），

∵∠AMB=∠CNB=90°，∠ABM=∠CBN，

∴△BNC∽△BMA，

∴∴，

，

解得：AM=72，

故点A到地面的距离=72+4=76（cm）．

故答案为：76．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，得出△BNC∽△BMA是解题关键．

14．如图，P是抛物线y=x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y=0相切时，点P的坐标为 （2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1） ．

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【考点】切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】⊙P与直线y=0相切时就是：⊙P与x轴相切，半径为1个单位长度，即点P的纵坐标|y|=1，根据P是抛物线y=x2﹣4x+3上的一点，代入计算出x的值，并写出点P的坐标，一共有3种可能．

【解答】解：当y=1时，x2﹣4x+3=1，

解得：x=2±∴P（2+，

，1）， ，1）或（2﹣当y=﹣1时，x2﹣4x+3=﹣1，

解得：x1=x2=2，

∴P（2，﹣1），

则点P的坐标为：（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）．

【点评】本题考查了切线的性质，并与二次函数相结合，首先理解圆的半径和点P的纵坐标有关，且点P又在抛物线上，x、y的值满足解析式，所以列一元二次方程可求解．

三、解答题

15．已知关于x的方程 x2﹣（2k﹣1）x+k2=0

（1）若原方程有实数根，求k的取值范围？

（2）选取一个你喜欢的非零整数值作为k的值，使原方程有实数根，并解方程．

【考点】根的判别式．

【分析】（1）由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；

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（2）根据（1）的结论，选k=﹣2，将其代入原方程，利用分解因式法解方程，此题得解．

【解答】解：（1）由已知得：

△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4k2=﹣4k+1≥0，

解得：k≤．

∴若原方程有实数根，k的取值范围为k≤．

（2）当k=﹣2时，原方程为x2﹣5x+4=（x﹣1）（x﹣4）=0，

解得：x1=1，x2=4．

【点评】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）得出﹣4k+1≥0；（2）熟练掌握一元二次方程的解法．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．

16．如图，在平面直角坐标系中，已知等边△OAB的顶点A在反比例函数y=△OAB的顶点B在坐标轴上时，求等边△OAB顶点A的坐标和△OAB的面积．

（x＞0）图象上，当等边

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．

【分析】根据等边三角形的性质和反比例系数k的几何意义即可求得A的在以及三角形AOC的面积，进而求得三角形AOB的面积．

【解答】解：当点B在x轴上时，如图1，

作AC⊥OB于C，

∵△AOB是等边三角形，

设OC=x，

∴AC=x，

x），

（x＞0）图象上，

∴A（x，∵顶点A在反比例函数y=∴x•∴x=2，

=4，

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∴A（2，2）；

当点B在y轴上时，如图2，

作AC⊥y轴于C，

∵△AOB是等边三角形，

设OC=y，

∴AC=∴A（y，

y，y），

（x＞0）图象上， ∵顶点A在反比例函数y=∴y•y=4，

∴y=2，

∴A（2，2）；

=4． S△AOB=2××4

【点评】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征．

17．仅用无刻度的直尺过点C作出圆的切线（保留作图痕迹，并简要的写出作图过程）．

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【考点】作图—复杂作图；切线的性质．

【分析】直接利用垂径定理以及全等三角形的判定与性质和切线的判定方法得出答案．

【解答】解：1、AB的中垂线与BC的中垂线的交点即为圆心O；

2、连接OC并构造Rt△OEC≌Rt△CFD；

3、连接直线CD即为切线．

【点评】此题主要考查了复杂作图以及切线的判定与性质，正确找到圆心的位置是解题关键．

18．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处（OA=1米）弹跳到人梯顶端椅子B处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高处点P（，）

（1）若将其身体（看成一个点）的路线为抛物线的一部分，求抛物线的解析式．

（2）在一次表演中，已知人梯高BC=3.4米，演员弹跳到最高处点P后落到人梯顶端椅子B处算表演成功，为了这次表演成功，人梯离起跳点A的水平距离OC是多少米？请说明理由．

【考点】二次函数的应用．

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【分析】（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣h）2+k，由已知条件可知h和k的值，再把点A的坐标代入求出a的值即可；

（2）由BC=3.4米，可知点B的纵坐标为3.4，把其纵坐标代入抛物线的解析式求出其横坐标，即可得到人梯离起跳点A的水平距离OC．

【解答】解：

（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣h）2+k，

∵最高处点P（，∴h=，k=，

，

），

∴y=a（x﹣）2+∵OA=1米，

∴点A的坐标为（0，1），

∴1=a×+，

解得：a=﹣，

∴y=﹣（x﹣）2+（2）∵BC=3.4米，

∴B的纵坐标为3.4，

∴3.4=﹣x2+3x+1，

解得：x=4或1，

∴人梯离起跳点A的水平距离OC是4米．

【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

四．解答题

19．某公司在羊年春节晚会上举行一个游戏，规则如下：有4张背面相同的卡片，正面分别是喜羊羊、美羊羊、慢羊羊、懒羊羊的头像，分别对应1000元、600元、400元、200元的奖金，现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，让员工抽取，每人有两次抽奖机会，两次抽取的奖金之和作为公司发的年终奖金．现有两种抽取的方案：①小芳抽取方案是：直接从四张牌中抽取两张．②小明抽取的方案是：先从四张牌中=﹣x2+3x+1；

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抽取一张后放回去，再从四张中再抽取一张．你认为是小明抽到的奖金不少于1000元的概率大还是小芳抽取到的奖金不少于1000元的概率大？请用树形图或列表法进行分析说明．

【考点】列表法与树状图法．

【专题】计算题．

【分析】先利用树状图展示两种方案的所有等可能的结果数，利用概率公式求出小明抽到的奖金不少于1000元的概率和小芳抽取到的奖金不少于1000元的概率，然后比较概率的大小即可．

【解答】解：小芳抽取方案

画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取到的奖金不少于1000元的概率=小明抽取的方案：

=；

共有16种等可能的结果数，其中抽取到的奖金不少于1000元的概率=因为＜，

所以小明抽到的奖金不少于1000元的概率大．

=

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．．

20．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．

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（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）若CD=2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长．

【考点】切线的判定．

【分析】（1）欲证明CD为⊙O的切线，只要证明∠OCD=90°即可．

（2）作OF⊥AB于F，设AD=x，则OF=CD=2x，在Rt△AOF中利用勾股定理列出方程即可解决问题．

【解答】证明：（1）连接OC．

∵点C在⊙O上，OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵CD⊥PA，

∴∠CDA=90°，

∴∠CAD=∠DCA=90°，

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠CAO，

∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠DAC=90°，

∴CD是⊙O切线．

（2）作OF⊥AB于F，

∴∠OCD=∠CDF=∠OFD=90°，

∴四边形CDFO是矩形，

∴OC=FD，OF=CD，

∵CD=2AD，设AD=x，则OF=CD=2x，

∵DF=OC=10，

∴AF=10﹣x，

在Rt△AOF中，AF2+OF2=OA2，

∴（10﹣x）2+（2x）2=102，

解得x=4或0（舍弃），

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∴AD=4，AF=6，AC=4∵OF⊥AB，

∴AB=2AF=12．

，

【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质、垂径定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0）．点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AO运动；同时，点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动．

（1）求运动时间t的取值范围；

（2）t为何值时，△POQ的面积最大？最大值是多少？

（3）t为何值时，以点P、0、Q为顶点的三角形与Rt△AOB相似？

【考点】一次函数综合题．

【分析】（1）由点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动，可得：2t=8，解得：t=4，进而可得：0≤t≤4；

（2）先根据三角形的面积公式，用含有t的式子表示△POQ的面积=﹣t2+6t，然后根据二次函数的最值公式解答即可；

（3）分两种情况讨论：①Rt△POQ∽Rt△AOB；②Rt△QOP∽Rt△AOB，然后根据相似三角形对应边成比例，即可求出相应的t的值．

【解答】解：（1）∵点A（0，6），B（8，0），

∴OA=6，OB=8，

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∵点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动，

∴2t=8，

解得：t=4，

∴0≤t≤4；

（2）根据题意得：经过t秒后，AP=t，OQ=2t，

∴OP=OA﹣AP=6﹣t，

∵△POQ的面积=•OP•OQ，

即△POQ的面积=∵a=﹣1＜0，

∴△POQ的面积有最大值，

当t=﹣=3时，△POQ的面积的最大值==9，

（6﹣t）×2t=﹣t2+6t．

即当t=3时，△POQ的面积最大，最大值是9．

（3）①若Rt△POQ∽Rt△AOB时，

∵Rt△POQ∽Rt△AOB，

∴即=，

，

； 解得：t=②若Rt△QOP∽Rt△AOB时，

∵Rt△QOP∽Rt△AOB，

∴即解得：t=所以当t为，

，

．

或时，以点P、0、Q为顶点的三角形与Rt△AOB相似．

【点评】此题是一次函数的综合题型，主要考查了三角形的面积，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质，第（3）问的解题的关键是：分两种情况讨论：①Rt△POQ∽Rt△AOB；②Rt△QOP∽Rt△AOB．

五、（本大题共10分）

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23．每年淘宝网都会举办“双十一”购物活动，许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售一件A商品成本为50元，网上标价80元．

（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件A商品的利润率为10%？（≈0.83）

（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天，先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出60件A商品．在“双十一”购物活动这天，乙网店先将网上标价提高a%，再推出五折销售的促销活动，吸引了大量网购者，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量也比原来一周卖出的A商品数量增加了a%，这样“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3600元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为多少？

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】（1）设平均降价率为x，根据“这件A商品的利润率为10%”列出方程求解即可；

（2）首先列出方程求得增长率，然后求得标价即可．

【解答】解：（1）设平均降价率为x，

根据题意得：80（1﹣x）2=50（1+10%），

解得：x=17%，

答：平均每次降价率为17%；

（2）依题意得：[80（1+a%）×50%﹣50]×60（1+a%）=3600，

解得：a=100，

标价80（1+100%）=160元，

答：乙网店在双十一购物活动这天的网上标价为160元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是从题目中整理出等量关系，难度不大．

六、（本大题12分）

24．课题学习：我们知道二次函数的图象是抛物线，它也可以这样定义：如果一个动点M（x，y）到定点A（0，m）（m＞0）的距离与它到定直线y=﹣m的距离相等，那么动点M形成的图形就是抛物线y=ax2（a＞0）的图象，如图所示．

（1）探究：当x≠0时，a与m有何数量关系？

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（2）应用：已知动点M（x，y）到定点A（0，4）的距离与到定直线y=﹣4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．

（3）拓展：根据抛物线的平移变换，抛物线y=（x﹣1）2+2的图象可以看作到定点A（ 1 ， 3 ）的距离与它到定直线y= 1 的距离相等的动点M（x，y）所形成的图形．

（4）若点D的坐标是（1，8），在（2）中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA+PD最短？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据定义，MA=MB，列出等式，即可解决问题．

（2）利用（1）的结论，直接写出结果．

（3）根据定义，利用（1）的结论可以解决问题．

（4）如图所示，过点D作直线y=﹣4的垂线垂足为M，与抛物线的交点就是的点P，此时PA+PD=PD+PM最短，求出点P坐标即可．

【解答】解：（1）由定义可知，MA=MB，

∴x2+（y﹣m）2=（y+m）2，

∵y=ax2，

∴x2=，

∴=4my，

∴a=

（2）由（1）可知，a=∴抛物线的解析式为y=

（3）∵抛物线顶点坐标（1，2），a=1，

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，

x2．

．

∴抛物线y=（x﹣1）2+2的图象可以看作到定点A（1，3）的距离与它到定直线y=1的距离相等的动点M（x，y）所形成的图形．

故答案为1，3，1．

（4）如图所示，过点D作直线y=﹣4的垂线垂足为M，与抛物线的交点就是的点P，此时PA+PD=PD+PM最短（垂线段最短），

此时点P坐标（1，）．

【点评】本题考查二次函数的综合题、解题的关键是理解题意，学会利用新的结论解决问题，属于中考创新题目．

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