根数学定义

2024年4月12日发(作者：职高一单元数学试卷)

根数学定义

根数学定义：根数是实数，零的幂指数等于1。例如， 0=1/2，

3=1/3， 5=1/5。

根数可以用来表示集合、点，以及任意自然数的绝对值。根数与

指数互为反函数。实数的性质之一是每个非零数的因数的个数都是无

限的，称为无穷大。通常写成无穷大加上一个正号，即所谓指数式或

幂式，或者叫做自然指数。这里有一些经验法则来证明幂指数不是0：

3。用欧拉公式证明： 1/x^2=1/3x(x>0)2。用归谬法证明：

x^3=x^6。 3。用反证法证明： x^2-6x=0。 4。设d为非零常数，证

明对任意非零整数n，存在唯一的正整数m，使得当n=2m时， m=1。

同理证明对任意非零的正整数m，存在唯一的负整数n，使得当n=2m

时， m=-1。 5。设x为非零的实数，存在实数a，使得当

afrac{1}{x^n}-x^n=0，且xin mathbb{R}。这里的n是一个正整数。

6。假设存在一个正数b，使得当xin mathbb{R}， 2/x-2/b=0时， x=-b。

由x=-b可知， x=-b。而对于任意正整数k，总存在另外一个k，使

得当k=x/2-b/2时， k=x/2。而对于任意正整数k，总存在另外一个

k，使得当k=x/2+b/2时， k=x。这两个假设相矛盾。 7。假设存在

一个正数c，使得当xin mathbb{R}， c(x-1)-c(x)=0，且xin

mathbb{R}。

4。用分离变量法证明：任取x为正整数，在x=0时， y=x，在

x=1时， y=x。由0=1/x可知， 1/y=x。注意，当正整数y和x都很

小时， 1/x就可能比1小。这样， y和x不能同时为0。 5。根据

- 1 -

无穷小原理，任取x=-b/2， y=-x/2。在0时， y=x，故y不是负整

数。故在x=1/2时， y不是正整数。这样， y必须为正整数，否则

必然是0。但对于一般的数， 1/y可能为0，也可能为-1，因此， y

不可能为负整数。例如， 0= -1/2， -1/3， -1/4， 1/3。（三次项

无平方根）。 6。由x=-b/2可知， x= -b，但是x=-b/2时， x不是

0。这样， b/2可能为0，也可能为1。但x不能为-1/2， b/2可能

为0，也可能为1。综上， x=-b，但是， b/2不是0。

- 2 -