2024年4月10日发(作者：2023平湖中考数学试卷和答案)
第
34
卷第
5
期
2020
年
10
月
白城
师范学
院学报
Journal
of
Baicheng
Normal
University
Vol.
34
No.
5
Oct.
2020
定常双时滞奇异摄动离散系统的稳定性分析
王红运
（
吉林师范大学数学学院
，
长春
130000
）
摘要
：
离散系统是实际问题中普遍存在的一类控制系统.为了确保一个系统在控制
上达到准确的精度
，
需要将时滞考虑进去
，
而时滞又是导致离散系统产生震荡的重要因
素.文章通过定义新的
Lyapunov
泛函
，
利用相关引理
、
重要的不等式以及线性矩阵不等
式方法
、
Lyapunov
稳定性理论以及新的差分不等式等交叉项界定技术
，
推出奇异摄动离
散系统在定常双时滞情形下的新的保守性更小的稳定性存在条件.
关键词
：
离散系统
；
线性矩阵不等式
；
稳定性
；
交叉项界定技术
中图分类号
：
S512.6
文献标识码:
A
文章编号
：
1673-31
18
（
2020
）
05-0053-04
0
引言
近年来
，
时滞奇异摄动离散控制系统在不同领域中的广泛应用受到了广大学者的普遍关注.
其中
，
文献
［
4
］
基于自由权矩阵的方法针对多定常时滞离散系统获得了稳定性判据;文献
［
5
］
利用矩阵的
最大奇异值的方法推出在线性情形下的定常时滞离散系统的充分的稳定性存在条件.虽然时滞离散系统
已经获得了大量的研究成果
，
但所得结论往往具有较大的保守性
，
同时相关于定常时滞的情形研究较少
,
需要更进一步的研究.
本文研究具有定常双时滞的奇异摄动离散系统的稳定性问题
，
给出该系统新的充分的稳定性准则,
与现有文献相比具有较少的矩阵变量
，
在计算上显得更加简洁.
1
问题描述和引理
1.1
问题描述
考虑以下定常双时滞奇异摄动离散系统
：
E
（
小
％
（
k
+
1
）
=
Ax
（
仍
+
£
B
誇
（
k
-
dj
,
其中:
％
）
=
I
（
1
）
f
=
1
°
J
；
皿
）
e
R\"
是系统状态向量;佔,叭是已知的适当维数的常数矩阵;
A
渐近
稳定皿
＞
0
（
i
=
1,2
）
是给定的正整数.
1.2
引理
引理
1
对任意适当维数的向量
a,
6
和矩
^X,N,P,R
，
其中
N
和丘是对称的
，
若
［
佇
卩
］
N
0,
则
L
P
T
R
J
-2a^Xb^
inf
［
a
］
T
［
“
b
」
LpT_xT
…
乍
］
R
」
\"
」
引理
2
如果存在对称阵
z,(i
=
1,2,-,5),MZ
!
=
ZjCi
=
1,2,3,4),
则有如下
LMIs
：
收稿日期
：
2020
-
04
-
20
作者简介:王红运
（
1996
—
）
,
女
，
硕士研究生
，研究方向
：
运筹学与控制论.
53
文件使用
\"pdfFactory
Pro\"
试用版本创建
白城师范学院学报
第
34
卷第
5
期
则
E
(
e
)
Z
(
£
)
=
(E(g)Z(g))T
=
Z
T
(ff)
E
(e)
>
0,
V
e
e
(0,g)
,
Z
i
+
g
Z
3
&
Z
厶丫
Z
2
+
Z
4-
其中:
Z
（
£
）
Z
5
2
稳定性分析
定理
给定正数
□
>
0,
系统
（
1
）
对
V&
e
（
0
用
）
是渐近稳定的•若存在对称的正定矩阵
Q
>
0,
适当
维数的矩阵
P,
对称阵
N,2?
以及
；
卜
0,
矩阵
Z,
（
i
=
1,2,3,4,5
）
且
Z
l
=
Zj
（
i
=
1,2,3,4）
,
下列
LMIs
条件可行:
Z
1
>
0
；
Z
i
+
e
Z
3
⑵
FZ
5
t
-
g
Z
2
•
E
Z
5
Z
1
+
e
Z
3
>
0
；
(3)
£
Z5T
S
Z
5
e
Z
2
+
?z
4
-
>
0
A
t
Z
t
(0)
Z
(0)
B
2
■
⑷
A
t
Z
t
(0)
■
Z
(0)
A
P
+
A
t
Z
t
(0)
Z
(0)
B!
T
Z
t
(0)
Z(0)
-
£
t
(0)
Z
t
(0)
z
(0)
E
(0)
+N
+
B!
T
Z
t
(0)
z
(
o
)
b
2
B
2
t
Z
t
(0)
z
(
o
)
b
2
.
A
T
Z
T
(F)
Z(F)
B,
■
*
(5)
*
A
T
Z
T
(F)
Z(F)
A
P
+A
T
Z
T
(F)
Z($)
B]
-
£
t
(F)
Z
t
(F)
Z(F)
£(F)
+N
Z@)
*
其中
\"7
+
BjZ
T
(P
)
Z(F)
B
2
(6)
*
B
2
t
Z
t
(^)
Z(F)
B
2
-
证明
：
定义一个新的
Lyapunov
函数
:V
(k)
=
x
T
(A?)
E
T
(e)
Z
T
(^)
Z
(e)
E
(e)
x
(A).
由引理
2
和线性矩阵不等式
(2)-(4)
,
有
：
E
s
)
Z
s
)
Z(e)
E(
s
)
=
[Er©)
zT@)
Z@)
E@)]T
>
0,
V&
g
(0,
刃,
(7)
则
V
(k)
为正定的
Lyqpunov
函数.
将卩仏)沿系统
(
1)
向前差分
AV(k)
=
V(k
+
1)
-
V(k),
得
AV(k)
=
V(k
+
1)
-
V(k)
=
八仏
+
1)[
矿(£)
zt
@)
Z(e)
E(e)]
%
(A
+
l)
-x
T
(k)_E
T
(
e
)
Z
£
)
Z
(
£
)
E
(
e
)]
x
(A)
=
[Ax
(k)
+B
l
x(k-d
l
)
+B
2
x(k
-d
2
)]
T
Ze)
Z
(
s
)_Ax(k)
+
B
许
(
k
-
dj
+
B
2
x(k-
d
2
)]
-昇仏)[£丁(£)
zt
@
)
z@)
E@)]
%
(耐
=
«
t
(A)[A
t
Z
t
(
£
)
Z
(
£
)
A-E
s
)
ZT
(
£
)
Z
(
£
)
E
(
£
)
]
54
文件使用
\"pdfFactory
Pro\"
试用版本创建
定常双时滞奇异摄动离散系统的稳定性分析
+
x
T
W[A
T
Ze)
Z
(
s
)
B
x
(k
-
+
xk
-
+
x
T
(k)[A
T
Z
T
(
s
)
Z
(e)
B
2
~
x
(k
-
d
2
)
_B
!
T
Z
T
(
6?)
Z
(s\')
B
Y
]
x
(k
-dj
+
x
T
(k
-
(Zj)
[B
l
T
Z
T
(s\')
Z
(s\')
A
]
x
(k~)
+
x
T
(k
-
Z
B
2
~
x
(k
-
d
2
)
+
x
T
(k
-
d
2
)[B2
T
Z
(
s
)
A]
x
(k)
+
x
T
(A
：
-
2
)[B
2
T
Z
T
(
£
)
Z(
e
)
x
(k-dj
+x
T
(k-d
2
\')[B
2
T
Z
T
(
£
\')
Z^g)
Z
(&)
B
2
~
x
(k-d
2
).
存在适当维数的矩阵
P
,
对称阵
N
和
R
，
得
-
(
-
x
t
(A)[A
t
Z
t
(
£
)
Z@)
B
J
%
仏
-
必))
v
丄
r«
(^)
由以上不等式可得
「
[“
P
+
4
吃丫(£)
Z
(g)
B
i]
(耐
i
AV(k)
w
%
t
(
&
)
[
a
T
zt
(
£
)
z
(
£
)
a
-
et
(
£
)
zt
(
£
)
z
(
£
)
e
(
£
)
+N]%(b)
+
xk)[P
+A
t
Z
t
(
s
)
Z
(e)
B
X
(k
-
+
x
T
(k)_A
T
Ze)
Z
(
s
)
B
2
~
X
(k
-
d
2
)
+
x
T
(k-d
1
)[P
T
+
B
1
T
Z
T
(s)
Z(s)A]
x
(耐
+x
T
(k-d
1
)[B
1
T
Z
T
(s)
Z
(s)
B
1
+R]x(k-d
1
)
+
昇仏
_
dj[B]TzT
(
£
)
乙
@)
b
?]
%
(A
：
-
必)+浓仏
-
d2
)
[BrzT
(
£
)
z
(刃
A
]
%
(耐
+
x
T
(k
-
2
)[B
2
T
Z
T
(
£
)
Z(
e
)
民]%
(A
：
-么)
+xk
-
J
2
)[B
2
t
Z
t
(
£
)
Z(
e
)
B
2
]
力仏
-/)
W
“
\"耐
G
(
£
)
“
(％
)
,
其中
：
T
)
(k)
=
[x
(k)
x
(k
-
d
1\')
»(A:-
2
)]
t
,
_
A
t
Z
t
(
£
)
Z
(
£
)
A
g
@
)
=
P
+A
T
Z
e
)
Z(
s
)
B
1
A
t
Z
t
(
£
)
Z(
s
)
B
2\'
Z(
s
)
B
1
+
R
B
-
et
@)
zt
(
£
)
z
@
)
e
(
£
)
+N
£
~
-
的.
「
zt
(
£
)
z@)
叭
•
*
*
B
2
t
Z
s
)
Z(
e
)
B
2
-
因此
，
由式
(5)
与式
(6)
得
6(0)
<0,G
(刁
<0,
于是
G®
<0,
故
VW
<
0,
所以系统
(
1)
是渐近稳定
3
结论
本文基于在定常双时滞情形下的奇异摄动离散系统对其展开稳定性讨论
，
定义崭新的
Lyapunov
函
数
，
采取交叉项界定技术
、
线性矩阵不等式方法
，
推出定常双时滞奇异摄动离散系统在零到奇异摄动上
界的整个区间范围内存在充分的稳定性判据.
参考文献
：
[1]
钟守铭
，
时英定.具有时滞餡不确定离散系统餡鲁棒稳定化
[J].
电子科技大学学报
,1994(5):529
-534.
[2]
蔡晨晓
，
邹云.离散奇异摄动系统稳定性分析
[J].
自动化学报
,2007(5):511
-517.
[3]
张蕾
，
刘贺平
，
廖福成.改进的时变时滞不确定离散系统的鲁棒稳定性分析
[J].
控制工程
,2010(6)
：
755
-758.
[4]
陈国梁.多定帯时滞离散系统的时滞相关稳定性分析
[J].
聊城大学学报
(
自然科学版
)，
2014(4)
：
16-21,
[5]
张剑
，
刘永清
，
沈建京.矩阵奇异值餡智能分解与线性定常离散系统餡稳定性
[J].
华南理工大学学报(
自然科学版
),1997(7)
：
98
-101.
[6]
梅平
，
邹云.时滞的不确定奇异摄动系统鲁棒稳定性研究
[J].
控制与决策
,2008(4):392
-396,402.
[7]
刘丽丽.时滞奇异摄动系统鲁棒稳定性分析
[J].
纺织高校基础科学学报
,2009(4)
：
496
-499.
[8]
俞立
，
梁丰
，
周德泽.不确定离散时滯系统的鲁棒镇定
[J].
浙江工业大学学报
,1996(4)
：
318
-321.
[9
]
刘华平
，
孙富春,何克忠
，
等.奇异摄动控制索统:理论与应用
[
J]
.
控制理论与应用
,2003
(1)
：
1
-7.
55
文件使用
\"pdfFactory
Pro\"
试用版本创建
白城师范学院学报
第
34
卷第
5
期
Stability
Analysis
of
Singularly
Perturbed
Discrete
Systems
with
Steady
Double
Time
Delays
WANG
Hong
-
yun
(
College
of
Mathematics
,
Jilin
Normal
University
,
Changchun
130000,
China)
Abstract
:
Discrete
system
is
a
kind
of
control
system
which
is
widely
used
in
practical
problems.
In
order
to
ensure
the
accuracy
of
a
system
in
control
,
time
-
delay
needs
to
be
taken
into
account
,
and
time
-
delay
is
an
important
factor
that
leads
to
the oscillation
of
discrete
system.
This
paper
designs
a
new
Lyapunov
functional
,
by
using
the
cross
-
term
defin
让
ion
techniques
such
as
correlation
lemma
,
important
inequalities
,
linear
matrix
ine
quality
method
,
Lyapunov
stability
theory
and
new
difference
inequality
,
the
existence
conditions
of
new
less
conservative
stability
for
singularly
perturbed
discrete
systems
with
double
time
delays
are
derived.
Key
Words
:
discrete
system
；
linear
matrix
inequality
；
stability
；
cross
-
term
definition
technique
责任编辑
：
许慧
(上接第
26
页)
The
High
一
order
Harmonic
and
Isolated
Attosecond
Pulse
Generation
of
an
Ar
+
Cluster
in
a
Elliptically
Polarized
Inhomogeneous
Laser
Fields
LIU
Guo-qing,
LUO
Xiang-yi,
WANG
Ye
(
College
of
Physics
and
Electronic
Information
,
Baicheng
Normal
University
,
Baicheng
137000,
China)
Abstract
：
We
theoretically
investigate
the
high
-
order
harmonic
generation
(
HHG)
and
the
generation
of
iso
lated
attosecond
pulses
by
solving
a
two
-
dimensional
time
-
dependent
Schr
dinger
equation
for
a
two
-
dimen
sional
model
of
an
Ar
+
cluster
driven
by
homogeneous
and
inhomogeneous
elliptically
polarized
laser
fields.
In
the
space
homogeneous
laser
fields
,
w
让
h
the
increase
of
the
number
of
ions
in
the
Argon
ion
cluster
,
the
charac
teristics
of
the
high
-
order
harmonic
spectrum
of
the
Argon
ion
cluster
are
changed
,
the
plateau
region
of
the
harmonic
spectrum
is
extended
,
the
conversion
efficiency
of
the
harmonic
spectrum
is
enhanced
,
and
when
the
ellipticity
changes
,
the
larger
the
ellipticity
,
the
smaller
the
cut
-
off
position
of
the
plateau
region
of
the harmon
ic
spectrum.
In
the
inhomogeneous
laser
fields
,
the
larger
the
spatial
inhomogeneous
parameter
,
the
larger
the
platform
area
of
the
high
-
order
harmonic
spectrum
is
extended
,
and
the
higher
the
harmonic
spectrum
efficien
cy
,
so
the
ultra
-
wide
continuous
harmonic
spectrum
and
isolated
attosecond
pulse
can
be
obtained.
In
this
pa
per,
79
as
isolated
attosecond
pulses
are
obtained
by
superimposing
the
harmonic
spectrum
in
the
cutoff
region
of
the
high
-
order
harmonic
spectrum
platform
with
an
ellipticity
of
0.
3
and
a
nonuniform
parameter
of
0.
004.
Through
the
above
calculation
,
we
can
theoretically
study
the
characteristics
of
high
order
harmonic
spectrum
through
the
variation
of
nonuniform
parameters
and
ellipticity.
Key
Words
:
elliptically
polarized
；
inhomogeneous
laser
fields
；
high
-
order
harmonic
generation
；
as
pulses
责任编辑
：
王丽萍
56
文件使用
\"pdfFactory
Pro\"
试用版本创建
更多推荐
时滞,离散系统,稳定性,摄动,矩阵
发布评论