2023年12月30日发(作者：包头一模2023数学试卷)

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中国海洋大学全日制本科课程期末考试试卷

2019年春季学期 考试科目： 线性代数 学院： 数学科学学院 ___

试卷类型： A 卷 命题人: 线性代数课题组 审核人：________ _

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考试说明：本课程为闭卷考试，共___页，除考场规定的必需用品外还可携带的文具有______________。

题号

得分

一

二

三

四

五

六

总分

一、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18分)

0a1. 计算

0c

2. 设Aaij是三阶可逆矩阵，A为其行列式，Aij为元素aij的代数余子式，且满足

Aijaij0(i,j1,2,3)，则A= ．

ab000b .

cd000d111TT3. 设为31矩阵，若111，则 .

111x1x2a1xxa2324. 若线性方程组 有解，则常数a1,a2,a3,a4应满足条件 。

x3x4a3x4x1a4

2225. 设二次型f(x1,x2,x3)x1x2x34x1x24x2x34x1x3, 则二次型f(x1,x2,x3)的

规范型为

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6. 设3阶矩阵A的特征值为2,2,1，BA2AI, 其中I 为3阶单位阵，则行列式

B .

二、选择题(共 8 题，每题 3分，共 24 分)

1. 向量组

1,2,,m线性无关的充要条件是（ ）

(A)1,2,,m均不为零向量

(B)1,2,,m中任意两个向量的分量不成比例

(C)

1,2,,m中任意向量不能由其余m1向量线性表示

(D)

1,2,,m有一部分向量线性无关.

2. 设A(1,2,3,4)是4阶方阵，若(1,0,1,0)是齐次线性方程组Ax0的一个基础解系，则Ax0的基础解系可为（ ）

(A)1,2 (B)1,3 (C)1,2,3 (D)2,3,4

3. 设A是3阶方阵, 将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQC的可逆矩阵Q为（ ）

T010010（A）100. （B）101.

101001010011 （C）100. （D）100.

011001

4. 设A为mn矩阵，则线性方程组为Axb有解的充分条件是（ ）

(A)

A的秩小于A的行数 (B)

A是列满秩的

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(C)

A是行满秩的

(D)

A的秩小于A的列数

5. 设1,2是方阵A的两个不同的特征值，,是A的分别属于1,2的特征向量，则（ ）

（A）对任意k10,k20，k1k2都是A的特征向量

（B）存在常数k10,k20，使得k1k2是A的特征向量

（C）当k10,k20时，k1k2不可能是A的特征向量

（D）存在唯一的一组常数k10,k20，使得k1k2是A的特征向量

2226. 设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换xPy 下的标准型为2y1y2y3，其中

P(e1,e2,e3), 若Q(e1,e3,e2),则f(x1,x2,x3)在正交变换xQy 下的标准型

为

222222 (A)

2y1y2y3 (B)

2y1y2y3

222222 (C)

2y1y2y3 (D)

2y1y2y3

下列两题为多选题

7.

线性方程组AXb 的系数矩阵是45 矩阵，且A 的行向量组线性无关，则下列正确的是( )

(A) 齐次线性方程组AX0 只有零解；

(B) 齐次线性方程组AAX0 必有非零解；

(C) 任意b ，线性方程组AXb 必有无穷多解；

(D) 任意b ，线性方程组AXb 必有唯一解；

(E) 线性方程组AXb有解，且有无穷多解.

8.

设A 和B 是可逆矩阵，且A

与

B相似，则下列正确的是（ ）

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(A)

AT 与

BT相似 (B)

A1 与

B1相似

(C)

A2 与

B2相似 (D)

AAT 与

BBT相似

(E)

AA1 与

BB1相似

:

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三、计算题(共 4题，共 24 分)

a1 

1.(6分) 设|Dn|, 其中对角线上元素都是a

未写出的元素都是0 计算Dn1a

2.(4分) 设方阵A满足AA2I0 证明A2I可逆 并求(A2I) .

TTT3.(6分)求向量组1(1,0,1,0),2(2,1,3,7),3(4,1,1,7),

214(3,1,0,3)T,5(4,1,3,1)T的秩及其一个极大线性无关组，并用它们表示其余向量。

4.(8分) 已知R的两组基为3TTT1(1，1，1),2(0，1，1)，3(0,0,1);1(1,0，1),2(0，1，-1)，3(1,2,0)TTT

求基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵；若在基1,2,3下的坐标为

(1,2,1)，求在基1,2,3下的坐标.

T四、证明题(共 1题，共 8 分)

设1,2,,p是齐次线性方程组Ax0的一个基础解系，向量满足A0，证明：向量组,p线性无关。

,1,2,

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五、解方程组（共1题，14分）

4x13x25x3x41已知方程组x1x2x3x41其系数矩阵的秩为2，

ax1x23x3bx41求：

(1)

a,b 的值；

(2) 这个方程组的一个基础解系及其一般解。

六、化二次型为标准型（共1题，12分）

已知实二次型f(x2221,x2,x3)(1a)x1(1a)x22x32(1a)x1x2的秩为2.

(1).求实数a的值；(2).利用正交变换法将二次型变成标准型，并写出相应的正交矩阵.

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矩阵,向量,线性,解系,无关,写出