2024年3月10日发(作者：2020广东廉江中考数学试卷)
初三数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)附详细答案
一、锐角三角函数
1
．如图，山坡上有一棵树
AB
，树底部
B
点到山脚
C
点的距离
BC
为
63
米，山坡的坡角
为
30°
．小宁在山脚的平地
F
处测量这棵树的高，点
C
到测角仪
EF
的水平距离
CF=1
米，
从
E
处测得树顶部
A
的仰角为
45°
，树底部
B
的仰角为
20°
，求树
AB
的高度．（参考数
值：
sin20°≈0.34
，
cos20°≈0.94
，
tan20°≈0.36
）
【答案】
6.4
米
【解析】
解：
∵
底部
B
点到山脚
C
点的距离
BC
为
6 3
米，山坡的坡角为
30°
．
∴DC=BC•cos30°=
63
∵CF=1
米，
∴DC=9+1=10
米，
∴GE=10
米，
∵∠AEG=45°
，
∴AG=EG=10
米，
在直角三角形
BGF
中，
BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6
米，
∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4
米，
答：树高约为
6.4
米
首先在直角三角形
BDC
中求得
DC
的长，然后求得
DF
的长，进而求得
GF
的长，然后在直
角三角形
BGF
中即可求得
BG
的长，从而求得树高
3
9
米，
2
2
．如图，在
△ABC
中，
AB=7.5
，
AC=9
，
S
△ABC
=
81
．动点
P
从
A
点出发，沿
AB
方向以每秒
4
5
个单位长度的速度向
B
点匀速运动，动点
Q
从
C
点同时出发，以相同的速度沿
CA
方向
向
A
点匀速运动，当点
P
运动到
B
点时，
P
、
Q
两点同时停止运动，以
PQ
为边作正
△PQM
（
P
、
Q
、
M
按逆时针排序），以
QC
为边在
AC
上方作正
△QCN
，设点
P
运动时间为
t
秒．
（
1
）求
cosA
的值；
（
2
）当
△PQM
与
△QCN
的面积满足
S
△PQM
=
9
S
△QCN
时，求
t
的值；
5
（
3
）当
t
为何值时，
△PQM
的某个顶点（
Q
点除外）落在
△QCN
的边上．
【答案】（
1
）
coaA=
439
；（
2
）当
t=
时，满足
S
△PQM
=
S
△QCN
；（
3
）当
t=
2733
s
或
26
555
2733
s
时，
△PQM
的某个顶点（
Q
点除外）落在
△QCN
的边上．
26
【解析】
分析：（
1
）如图
1
中，作
BE⊥AC
于
E
．利用三角形的面积公式求出
BE
，利用勾股定理求
出
AE
即可解决问题；
（
2
）如图
2
中，作
PH⊥AC
于
H
．利用
S
△PQM
=
9
S
△QCN
构建方程即可解决问题；
5
（
3
）分两种情形
①
如图
3
中，当点
M
落在
QN
上时，作
PH⊥AC
于
H
．
②
如图
4
中，当
点
M
在
CQ
上时，作
PH⊥AC
于
H
．分别构建方程求解即可；
详解：（
1
）如图
1
中，作
BE⊥AC
于
E
．
∵S
△ABC
=
∴BE=
1
81
•AC•BE=
，
4
2
9
，
2
AB
2
BE
2
=6
，
在
Rt△ABE
中，
AE=
∴coaA=
AE64
．
AB7.55
（
2
）如图
2
中，作
PH⊥AC
于
H
．
∵PA=5t
，
PH=3t
，
AH=4t
，
HQ=AC-AH-CQ=9-9t
，
∴PQ
2
=PH
2
+HQ
2
=9t
2
+
（
9-9t
）
2
，
∵S
△PQM
=
∴
9
S
△QCN
，
5
3
93
•PQ
2
=
•CQ
2
，
4
54
9
×
（
5t
）
2
，
5
整理得：
5t
2
-18t+9=0
，
∴9t
2
+
（
9-9t
）
2
=
解得
t=3
（舍弃）或
∴
当
t=
3
．
5
39
时，满足
S
△PQM
=
S
△QCN
．
55
（
3
）
①
如图
3
中，当点
M
落在
QN
上时，作
PH⊥AC
于
H
．
易知：
PM∥AC
，
∴∠MPQ=∠PQH=60°
，
∴PH=
3
HQ
，
∴3t=
3
（
9-9t
），
∴t=
2733
．
26
②
如图
4
中，当点
M
在
CQ
上时，作
PH⊥AC
于
H
．
同法可得
PH=
3
QH
，
∴3t=
3
（
9t-9
），
∴t=
27+33
，
26
26
27+33
s
时，
△PQM
的某个顶点（
Q
点除外）落在
△QCN
综上所述，当
t=
2733
s
或
26
的边上．
点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角
形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，
属于中考常考题型．
3
．已知：如图，在
Rt△ABC
中，
∠ACB=90°
，点
M
是斜边
AB
的中点，
MD∥BC
，且
MD=CM
，
DE⊥AB
于点
E
，连结
AD
、
CD
．
（
1
）求证：
△MED∽△BCA
；
（
2
）求证：
△AMD≌△CMD
；
（
3
）设
△MDE
的面积为
S
1
，四边形
BCMD
的面积为
S
2
，当
S
2
=
值．
17
S
1
时，求
cos∠ABC
的
5
【答案】（
1
）证明见解析；（
2
）证明见解析；（
3
）
cos∠ABC=
【解析】
【分析】
5
.
7
（
1
）易证
∠DME=∠CBA
，
∠ACB=∠MED=90°
，从而可证明
△MED∽△BCA
；
（
2
）由
∠ACB=90°
，点
M
是斜边
AB
的中点，可知
MB=MC=AM
，从而可证明
∠AMD=∠CMD
，从而可利用全等三角形的判定证明
△AMD≌△CMD
；
（
3
）易证
MD=2AB
，由（
1
）可知：
△MED∽△BCA
，所以
S
1
S
V
ACB
MD
1
，所以
AB
4
2
S
1
ME
12
S
△MCB
=
S
△ACB
=2S
1
，从而可求出
S
△EBD
=S
2
﹣
S
△MCB
﹣
S
1
=S
1
，由于，从而可
S
V
EBD
EB
25
ME57
，设
ME=5x
，
EB=2x
，从而可求出
AB=14x
，
BC=
，最后根据锐角三角函数的
EB22
定义即可求出答案．
【详解】
（
1
）
∵MD∥BC
，
∴∠DME=∠CBA
，
∵∠ACB=∠MED=90°
，
∴△MED∽△BCA
；
（
2
）
∵∠ACB=90°
，点
M
是斜边
AB
的中点，
∴MB=MC=AM
，
∴∠MCB=∠MBC
，
∵∠DMB=∠MBC
，
∴∠MCB=∠DMB=∠MBC
，
∵∠AMD=180°
﹣
∠DMB
，
∠CMD=180°
﹣
∠MCB
﹣
∠MBC+∠DMB=180°
﹣
∠MBC
，
∴∠AMD=∠CMD
，
在
△AMD
与
△CMD
中，
知
MDMD
AMDCMD
，
AMCM
∴△AMD≌△CMD
（
SAS
）；
（
3
）
∵MD=CM
，
∴AM=MC=MD=MB
，
∴MD=2AB
，
由（
1
）可知：
△MED∽△BCA
，
∴
2
S
1
S
V
ACB
MD
1
，
AB
4
∴S
△ACB
=4S
1
，
∵CM
是
△ACB
的中线，
∴S
△MCB
=
1
S
△ACB
=2S
1
，
2
2
S
1
，
5
∴S
△EBD
=S
2
﹣
S
△MCB
﹣
S
1
=
∵
S
1
S
V
EBD
ME
，
EB
S
1
ME
∴
2
，
S
1
EB
5
∴
ME5
，
EB2
设
ME=5x
，
EB=2x
，
∴MB=7x
，
∴AB=2MB=14x
，
MDME1
，
ABBC2
∴BC=10x
，
∵
∴cos∠ABC=
【点睛】
本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与
判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综
合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键
.
BC10x5
.
AB14x7
4
．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图
.
已知
BC=4 m,AB=6 m,
中间平台宽度
DE=1
m,EN,DM,CB
为三根垂直于
AB
的支柱
,
垂足分别为
N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC
于点
F,∠CDF=45°,
求
DM
和
BC
的水平距离
BM
的长度
.(
结果精确到
0.1 m.
参考数据
:sin
31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)
【答案】
2.5m.
【解析】
试题分析：设
DF=x
，在
Rt△DFC
中，可得
CF=DF=x
，则
BF=4-x
，根据线段的和差可得
AN=5-x
，
EN=DM=BF=4
－，在
Rt△ANE
中，
∠EAB=
值．
试题解析：解：设
DF=
，在
Rt△DFC
中，
∠CDF=
∴CF=tan
又
∵CB=4
，
∴BF=4
－，
∵AB=6
，
DE=1
，
BM= DF=
，
∴AN=5
－，
EN=DM=BF=4
－，
·DF=
，
，
，利用
∠EAB
的正切值解得
x
的
在
Rt△ANE
中，
∠EAB=
tan=
，
EN=4
－，
AN=5
－，
=0
．
60
，
解得
=2
．
5
，
答：
DM
和
BC
的水平距离
BM
为
2
．
5
米．
考点：解直角三角形．
5
．如图
13
，矩形
为．
的对角线，相交于点，关于的对称图形
（
1
）求证：四边形
（
2
）连接
①
求
②
若点
，若
的值；
为线段
的速度沿线段
，到达点
长和点
是菱形；
，．
上一动点（不与点
匀速运动到点
重合），连接
，再以
，一动点从点出发，以
的速度沿线段匀速运动到点
的后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求
走完全程所需的时间．
②
和走完全程所需时间为【答案】（
1
）详见解析；（
2
）
①
【解析】
试题分析：（
1
）利用四边相等的四边形是菱形；（
2
）
①
构造直角三角形求
②
先确定点
与
沿上述路线运动到点
四边形
交于点
O,
且
所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间
.
是矩形
.
关于对称
；
试题解析：解：（
1
）证明：
四边形
（
2
）
①
连接
关于
是菱形
.
,
直线分别交于点
,
交于点
的对称图形为
在矩形中，为的中点，且
O
为
AC
的中点
为的中位线
同理可得：为的中点，
②
过点
P
作
由运动到
交于点
所需的时间为
3s
由
①
可得，
点
O
以
即：
的速度从
P
到
A
所需的时间等于以从
M
运动到
A
由
O
运动到
P
所需的时间就是
OP+MA
和最小
.
如下图，当
P
运动到
,
即时，所用时间最短
.
在中，设
解得：
和
走完全程所需时间为
考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置
6
．如图，湿地景区岸边有三个观景台
位于
(1)
求
点的南偏西
的面积；
的中点
米
)
，
，，
，，，
处修建一个湖心亭，并修建观景栈道
.
试求、间的
方向，
、、
.
已知米，
方向
.
米，点
点位于点的南偏东
(2)
景区规划在线段
距离
.(
结果精确到
(
参考数据：
)
【答案】（
1
）
560000
（
2
）
565.6
【解析】
试题分析：（
1
）过点
（
2
）连接，过点
作
作
作
交
交的延长线于点
点，则
，
，，然后根据直角三角形的内角
.
然后根据中点的性质和余
和求出
∠CAE
，再根据正弦的性质求出
CE
的长，从而得到
△ABC
的面积；
，垂足为
弦值求出
BE
、
AE
的长，再根据勾股定理求解即可
.
试题解析：
(1)
过点
在
所以
所以
(2)
连接
因为
所以
是
，过点作，垂足为
中，
米
.
(
平方米
).
点，则
.
的延长线于点
，
中点，
米，且
米，
为中点，
所以
所以
米
.
米，由勾股定理得，
米
.
答：、间的距离为米
.
考点：解直角三角形
7
．（本题满分
14
分，第（
1
）小题满分
4
分，第（
2
）小题满分
5
分，第（
3
）小题满分
5
分）
已知：如图，
AB
是半圆
O
的直径，弦
CD//AB
，动点
P
、
Q
分别在线段
OC
、
CD
上，且
DQOP
，
AP
的延长线与射线
OQ
相交于点
E
、与弦
CD
相交于点
F
（点
F
与
点
C
、
D
不重合），
AB20
，
cosAOC
4
．设
OPx
，
CPF
的面积为
y
．
5
（
1
）求证：
APOQ
；
（
2
）求
y
关于
x
的函数关系式，并写出它的定义域；
（
3
）当
OPE
是直角三角形时，求线段
OP
的长．
3x
2
60x30050
【答案】（
1
）证明见解析；（
2
）
y(x10)
；（
3
）
OP8
x13
【解析】
【分析】
（
1
）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，
OPDQ
，联结
OD
后还有
OADO
，再结合要证明的结论
APOQ
，则可肯定需证明三角形全等，寻
找已知对应边的夹角，即
POAQDO
即可；
（
2
）根据
PFC
∽
PAO
，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（
3
）分
成三种情况讨论，充分利用已知条件
cosAOC
意要对不符合（
2
）中定义域的答案舍去．
【详解】
（
1
）联结
OD
，
∵
OCOD
，
4
、以及（
1
）（
2
）中已证的结论，注
5
∴
OCDODC
，
∵
CD//AB
，
∴
OCDCOA
，
∴
POAQDO
．
在
AOP
和
ODQ
中，
OPDQ
{POAQDO
，
OADO
∴
AOP
≌
ODQ
，
∴
APOQ
；
（
2
）作
PHOA
，交
OA
于
H
，
∵
cosAOC
∴
OH
4
，
5
443
OPx
，
PHx
，
555
1
AOPH3x
．
2
∴
S
AOP
∵
CD//AB
，
∴
PFC
∽
PAO
，
∴
y
S
AOP
(
CP
2
10x
2
)()
，
OPx
3x
2
60x300
∴
y
，当
F
与点
D
重合时，
x
∵
CD2OCcosOCD210
∴
4
16
，
5
x1050
，解得
x
，
10x1613
3x
2
60x300
50
(x10)
；
∴
y
13
x
（
3
）
①
当
OPE90
o
时，
OPA90
o
，
∴
OPOAcosAOC10
4
8
；
5
②
当
POE90
o
时，
CQ
OC101025
cosQCOcosAOC
4
2
，
5
25257
16
，
222
∴
OPDQCDCQCD
∵
50
OP10
，
13
7
（舍去）；
2
∴
OP
③
当
PEO90
o
时，
∵
CD//AB
，
∴
AOQDQO
，
∵
AOP
≌
ODQ
，
∴
DQOAPO
，
∴
AOQAPO
，
∴
AEOAOP90
o
，此时弦
CD
不存在，故这种情况不符合题意，舍去；
综上，线段
OP
的长为
8
．
8
．如图，矩形
OABC
中，
A(6
，
0)
、
C(0
，
2
3
)
、
D(0
，
3
3
)
，射线
l
过点
D
且与
x
轴平
行，点
P
、
Q
分别是
l
和
x
轴的正半轴上的动点，满足
∠PQO
＝
60º
．
(1)
点
B
的坐标是
，
∠CAO
＝
º
，当点
Q
与点
A
重合时，点
P
的坐标
为
；
(2)
设点
P
的横坐标为
x
，
△OPQ
与矩形
OABC
重叠部分的面积为
S
，试求
S
与
x
的函数关系
式和相应的自变量
x
的取值范围．
【答案】（
1
）（
6
，
2
3
）．
30
．（
3
，
3
3
）（
2
）
43
x43
0x3
3
3
2
1333
xx
3x5
232
S{
23
x123
5x9
3
543
x9
x
【解析】
解：（
1
）（
6
，
2
3
）．
30
．（
3
，
3
3
）．
（
2
）当
0≤x≤3
时，
如图
1
，
OI=x
，
IQ=PI•tan60°=3
，
OQ=OI+IQ=3+x
；
由题意可知直线
l∥BC∥OA
，
可得
1
EFPEDC31
==
，
∴EF=
（
3+x
），
OQPODO
33
3
3
此时重叠部分是梯形，其面积为：
14343
SS
梯形EFQO
（EFOQ）OC（3x）x43
233
当
3
＜
x≤5
时，如图
2
，
1
SS
梯形EFQO
S
HAQ
S
梯形EFQO
AHAQ
2
43331333
2
x43x。
x3
=x
2
32232
当
5
＜
x≤9
时，如图
3
，
12
S（BEOA）OC（312x）
23
23
=x123。
3
当
x
＞
9
时，如图
4
，
S
11183543
．
OAAH6=
22xx
综上所述，
S
与
x
的函数关系式为：
43
x43
0x3
3
3
2
1333
xx
3x5
232
S{
．
23
x123
5x9
3
543
x9
x
（
1
）
①
由四边形
OABC
是矩形，根据矩形的性质，即可求得点
B
的坐标：
∵
四边形
OABC
是矩形，
∴AB=OC
，
OA=BC
，
∵A
（
6
，
0
）、
C
（
0
，
2
3
），
∴
点
B
的坐标为：（
6
，
2
3
）．
②
由正切函数，即可求得
∠CAO
的度数：
∵
tanCAO
OC233
，
∴∠CAO=30°
．
==
OA63
③
由三角函数的性质，即可求得点
P
的坐标；如图：当点
Q
与点
A
重合时，过点
P
作
PE⊥OA
于
E
，
∵∠PQO=60°
，
D
（
0
，
3
3
），
∴PE=3
3
．
∴
AE
PE
tan60
0
3
．
∴OE=OA
﹣
AE=6
﹣
3=3
，
∴
点
P
的坐标为（
3
，
3
3
）．
（
2
）分别从当
0≤x≤3
时，当
3
＜
x≤5
时，当
5
＜
x≤9
时，当
x
＞
9
时去分析求解即可求得答
案．
9
．我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的
A
处与
E
处之间悬挂了一副宣传
条幅，在乙楼顶部
C
点测得条幅顶端
A
点的仰角为
45°
，条幅底端
E
点的俯角为
30°
，若
甲、乙两楼之间的水平距离
BD
为
12
米，求条幅
AE
的长度．
(
结果保留根号
)
【答案】
AE
的长为
(1243)
【解析】
【分析】
在
RtVACF
中求
AF
的长
,
在
RtVCEF
中求
EF
的长
,
即可求解
.
【详解】
过点
C
作
CFAB
于点
F
由题知：四边形
CDBF
为矩形
CFDB12
在
RtVACF
中，
ACF45
tanACF
AF
1
CF
AF12
在
RtVCEF
中，
ECF30
tanECF
EF3
123
EF
CF
EF43
AEAFEF1243
求得
AE
的长为
1243
【点睛】
本题考查了三角函数的实际应用
,
中等难度
,
作辅助线构造直角三角形是解题关键
.
10
．某条道路上通行车辆限速
60
千米
/
时，道路的
AB
段为监测区，监测点
P
到
AB
的距离
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