2024年3月10日发(作者：慈利县一模数学试卷)
初三数学一元二次方程组的专项培优 易错 难题练习题(含答案)
一、一元二次方程
1
．已知关于
x
的方程
x
2
﹣（
2k+1
）
x+k
2
+1
＝
0
．
（
1
）若方程有两个不相等的实数根，求
k
的取值范围；
（
2
）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且
k
＝
2
，求该矩形的对角线
L
的长．
【答案】（
1
）
k
＞
【解析】
【分析】
（
1
）根据关于
x
的方程
x
2
－
(2k
＋
1)x
＋
k
2
＋
1
＝
0
有两个不相等的实数根，得出
△
＞
0
，再
解不等式即可；
（
2
）当
k=2
时，原方程
x
2
-5x+5=0
，设方程的两根是
m
、
n
，则矩形两邻边的长是
m
、
n
，
利用根与系数的关系得出
m+n=5
，
mn=5
，则矩形的对角线长为
m
2
n
2
，利用完全平方
公式进行变形即可求得答案
.
【详解】
（
1
）
∵
方程
x
2
－
(2k
＋
1)x
＋
k
2
＋
1
＝
0
有两个不相等的实数根，
∴Δ
＝
[
－
(2k
＋
1)]
2
－
4×1×(k
2
＋
1)
＝
4k
－
3
＞
0
，
∴k
＞
3
；（
2
）
15
.
4
3
；
4
(2)
当
k
＝
2
时，原方程为
x
2
－
5x
＋
5
＝
0
，
设方程的两个根为
m
，
n
，
∴m
＋
n
＝
5
，
mn
＝
5
，
∴
矩形的对角线长为：
m
2
n
2
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别
式
△
的关系：（
1
）
△
＞
0
时，方程有两个不相等的实数根；（
2
）
△=0
时，方程有两个相
等的实数根；（
3
）
△
＜
0
时，方程没有实数根．
mn
2mn15
.
2
2
．
∵1.7×35=59.5
，
1.7×80=136
＜
151
∴
这家酒店四月份用水量不超过
m
吨（或水费是按
y=1.7x
来计算的），
五月份用水量超过
m
吨（或水费是按
则有
151=1.7×80+
（
80
－
m
）
×
即
m
2
－
80m+1500=0
解得
m
1
=30
，
m
2
=50
．
又
∵
四月份用水量为
35
吨，
m
1
=30
＜
35
，
∴m
1
=30
舍去．
∴m=50
来计算的）
【解析】
3
．解下列方程：
(1)2x
2
－
4x
－
1
＝
0(
配方法
)
；
(2)(x
＋
1)
2
＝
6x
＋
6.
【答案】
(1)x
1
＝
1
＋
【解析】
试题分析：（
1
）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平
方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；
（
2
）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为
ab=0
的形式，然后求解即可
.
试题解析：
(1)
由题可得，
x
2
－
2x
＝
∴(x
－
1)
2
＝
∴x
－
1
＝
±
∴x
1
＝
1
＋
66
(2) x
1
＝－
1
，
x
2
＝
5.
，
x
2
＝
1
－
22
1
3
，
∴x
2
－
2x
＋
1
＝
.
2
2
3
.
2
3
6
.
＝
±
2
2
66
.
，
x
2
＝
1
－
22
(2)
由题可得，
(x
＋
1)
2
－
6(x
＋
1)
＝
0
，
∴(x
＋
1)(x
＋
1
－
6)
＝
0.
∴x
＋
1
＝
0
或
x
＋
1
－
6
＝
0.
∴x
1
＝－
1
，
x
2
＝
5.
4
．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有
36
人患了流感．
（
1
）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（
2
）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【答案】（
1
）
5
；（
2
）
180
【解析】
【分析】
（
1
）设平均一人传染了
x
人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有
36
人患了流
感，列方程求解即可；
（
2
）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即
可．
【详解】
（
1
）设每轮传染中平均一个人传染了
x
个人，根据题意得：
x+1+
（
x+1
）
x
＝
36
，
解得：
x
＝
5
或
x
＝﹣
7
（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了
5
个人；
（
2
）根据题意得：
5×36
＝
180
（个），
答：第三轮将又有
180
人被传染．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程
.
5
．已知关于
x
的一元二次方程
x
2
+
（
2m+3
）
x+m
2
=0
有两根
α
，
β
．
（
1
）求
m
的取值范围；
（
2
）若
1
1
1
，则
m
的值为多少？
1
；（
2
）
m
的值为
3
．
4
【答案】（
1
）
m
【解析】
【分析】
（
1
）根据
△≥0
即可求解
,
（
2
）化简
【详解】
解：（
1
）由题意知，（
2m+3
）
2
﹣
4×1×m
2
≥0
，
解得：
m≥-
1
1
,
利用韦达定理求出
α+β
，
αβ,
代入解方程即可
.
3
；
4
（
2
）由根与系数的关系得：
α+β=
﹣（
2m+3
），
αβ=m
2
，
∵
∴
1
1
1，
即
=-1,
﹣（2m3）
=-1,
整理得
m
2
﹣
2m
﹣
3=0
m2
解得：
m
1
=
﹣
1
，
m
1
=3
，
3
，
4
∴m
1
=
﹣
1
应舍去，
∴m
的值为
3
．
【点睛】
由（
1
）知
m≥-
本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键
.
6
．某社区决定把一块长
50m
，宽
30m
的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴
影区域为绿化区
(
四块绿化区为大小形状都相同的矩形
)
，空白区域为活动区，且四周的
4
个出口宽度相同，当绿化区较长边
x
为何值时，活动区的面积达到
1344m
2
?
【答案】当
x13m
时，活动区的面积达到
1344m
2
【解析】
【分析】
根据
“
活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积
”
列出方程，可解答
.
【详解】
解
:
设绿化区宽为
y
，则由题意得
502x302y
.
即
yx10
列方程
:
50304x(x10)1344
解得
x
1
3
(
舍
)
，
x
2
13
.
∴
当
x13m
时，活动区的面积达到
1344m
2
【点睛】
本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．
7
．如图，在
RtVABC
中，
∠B90
o
，
AC10cm
，
BC6cm
，现有两点
P
、
Q
的分
别从点
A
和点
B
同时出发，沿边
AB
，
BC
向终点
C
移动．已知点
P
，
Q
的速度分别为
2cm/s
，
1cm/s
，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设
P
，
Q
两点移
动时间为
xs
．问是否存在这样的
x
，使得四边形
APQC
的面积等于
16cm
2
？若存在，请
求出此时
x
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】假设不成立，四边形
APQC
面积的面积不能等于
16cm
2
，理由见解析
【解析】
【分析】
根据题意，列出
BQ
、
PB
的表达式，再列出方程，判断根的情况
.
【详解】
解：
∵
B90
o
，
AC10
，
BC6
，
∴
AB8
．
∴
BQx
，
PB82x
；
假设存在
x
的值，使得四边形
APQC
的面积等于
16cm
2
，
则
11
68x
82x
16
，
22
整理得：
x
2
4x80
，
∵
V1632160
，
∴
假设不成立，四边形
APQC
面积的面积不能等于
16cm
2
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的
解题关键
.
8
．解方程：
(x
＋
1)(x
－
1)
＝
2
2
x.
【答案】
x
1
＝
2
＋
3
，
x
2
＝
2
－
3
.
【解析】
试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可
.
试题解析：
(x
＋
1)(x
－
1)
＝
2
2
x
x
2
-2
2
x-1=0
∵a=1
，
b=-
22
，
c=-1
∴△=b
2
-4ac=8+4=12
＞
0
2
bb4ac
=
∴x=
2
±
3
2a
∴x
1
＝
2
＋
3
，
x
2
＝
2
－
3
.
9
．已知关于
x
的一元二次方程
x
m1
x
2
1
2
m20
．
4
1
若此方程有两个实数根，求
m
的最小整数值；
2
若此方程的两个实数根为
x
1
，
x
2
，且满足
x
1
2
x
2
2
x
1
x
2
18
1
m
2
，求
m
的值．
4
【答案】（
1
）
m
的最小整数值为
4
；（
2
）
m3
【解析】
【分析】
（
1
）根据方程有两个实数根得
0
,
列式即可求解
,
（
2
）利用韦达定理即可解题
.
【详解】
（
1
）解：
m1
41
2
1
2
m2
4
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