数学实验 课程设计

2024年3月12日发(作者：四川中考2022数学试卷)

安徽工业大学

大学数学实验课程设计

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数学实验 课程设计

问题提出：

某容器盛满水后，低端直径为

d

0

的小孔开启（图）。根据水力学知识，当水面

高度h时，水冲小孔中流出的速度

v0.6gh

(g为重力加速度，0.6为孔口的收

缩系数)。

⑴若容器为倒圆锥形（如图1），现测得容器高和上底面直径均为1.2m，小孔直

径为3cm，问水从小孔中流完需要多长时间；2min水面高度是多少。

⑵若容器为倒葫芦形（如图2），现测得容器高为1.2m，小孔直径为3cm，有低

端（记作x=0）向上每隔0.1m测出容器的直径D（m）如表所示，问水从小孔中

流完需要多少时间；2min时水面的高度是多少。

图1 ： 图2：

表：

x/m 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

D/m 0.03 0.05 0.08 0.14 0.19 0.33 0.45 0.68 0.98 0.10 1.20 1.13 1.00

问题分析：

（1） 倒圆锥形容器流水问题中随时间t液面高度h也在变化，同时水的流速也

在变化，再写变化难以用普通的方程进行模拟求解，考虑建立常微分方程

竟而代入数值求解。水面的直径等于液面的高度。可以建立容器中水流失

的液面高度对时间t的变化率。

假设t时，液面的高度h，此时水的流速流量Q为：

0.6(



/4)d

0

2

gh

； 则



42

h

2

dh

；

d

0

)

2

dt

在

t

时间内液面下降高度为

h

，可得到关系式：

0.6gh



(