2023年12月7日发(作者：高等数学试卷人民大学出版)

大学数学习题及答案

一 填空题:

1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.

2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y1(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.

3 方程y\'\'2y\'y0的基本解组是_________.

4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.

5 方程dy1y2的常数解是________.

dx6 方程x\'\'p(t)x\'q(t)x0 一个非零解为 x1(t) ,经过变换_______

7 若4(t)是线性方程组X\'A(t)X的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________.

8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________.

9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.

10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________.

11 一阶线性方程y\'p(x)yq(x)有积分因子( ).

12 求解方程dyx/y的解是( ).

dx13已知(axy23x2y)dx(xy)x2dy0为恰当方程,则a=____________.

14

dy22xy,R:x1,y1由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).

dxy(0)02dydy15方程56y0的通解是( ).

dxdxdy3516方程yxy的阶数为_______________.

dx17若向量函数1(x);2(x);3(x)n(x)在区间D上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w

(x)=____________.

18若P(X)是方程组4dyA(x)的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________.

dx22x(y1)dxy(x1)dy0所有常数解是____________________． 19．方程 20．方程y4y0的基本解组是____________________．

dydx21．方程22．函数组y1满足解的存在唯一性定理条件的区域是____________________．

1(x),2(x),,n(x)在区间I上线性无关的____________________条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零．

23．若y1(x),y2(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们____________________共同零点．

二 单项选择:

dy1 方程x3y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ).

dx1(A)上半平面 (B)xoy平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面

2 方程dydxy1( ) 奇解.

(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个

3 在下列函数中是微分方程y\'\'y0的解的函数是( ).

(A)

y1 (B)yx (C)

ysinx (D)yex

4 方程y\'\'yexx的一个特解y*形如( ).

(A)aeb (B)axebx (C)aebxc (D)axebxc

5

f(y)连续可微是保证方程xxxxdyf(y)解存在且唯一的( )条件．

dx （A）必要 （B）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分

6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).

(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间

(C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间

dy7 方程3y3过点(0,0)有( ).

dx (A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解

8 初值问题x\'

2011x , 在区间,t上的解是( ).

x(0)101tete (A)

u(t)t (B)

u(t)t (C)

u(t)e (D)

u(t)e

9 方程dyx2ycosx0是( ).

dx (A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程

（C)超越方程 (D)二阶线性方程

dydy10 方程30的通解是( ).

dxdx (A)C1C2e (B)

C1xC2e3x3x2 (C)C1C2e3x (D)C2e3x dydy11 方程44y0的一个基本解组是( ).

dxdx (A)

x,e2x (B)1,e2x (C)x2,e2x (D)e2x,xe2x

2dydy12 若y1和y2是方程p(x)q(x)y0的两个解,则ye1y1e2y2 （e1,e2为任意常数）

2dxdx(A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解

(C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解

13 方程dydx1y2过点(0,0)的解为ysinx,此解存在( ).

(A)(,) (B)

(,0] (C)[0,) (D)[2,2]

14 方程y\'3x2yex是( ) .

(A) 可分离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程

15 微分方程dydx1xy0的通解是( ).

(A)

ycx (B)

ycx (C)y1xc (D)yxc

16 在下列函数中是微分方程y\'\'y0的解的函数是( ).

(A)y1 (B)yx (C)ysinx (D)yex

17 方程y\'\'yexx的一个数解yx形如( ).

(A)

aexb (B)axexbx (C)aexbxc (D)axexbxc

18 初值问题x\'01

10x;x(0)11 在区间t上的解是( ).

(A)utettet(t)t (B)u(t)t (C)u(t)et (D)

u(t)et

dyy 19．方程dx的奇解是（ ）．

（A）yx （B）y1 （C）y1

dy1y2(,1) 20. 方程dx过点2共有（ ）个解．

（A）一 （B）无数 （C）两

21．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个．

（D）y0

D）三

（ （A）n （B）n-1 （C）n+1 （D）n+2

22．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．

（A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解

（C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解

f(x,y)dyf(x,y)xoyf(x,y)y23．如果，都在平面上连续，那么方程dx的任一解的存在区间（ ）．

（A）必为(,) （B）必为(0,) （C）必为(,0) （D）将因解而定

三 求下列方程的解:

1 求下列方程的通解或通积分:

dyydydyyy1ny (2)yxy5 (4)2xydx(x2y2)dy0

1 (3) (1)dxdxdxxx(5)yxy\'2(y\')3

2 求方程的解

x3 解方程:(5)21x(4)0

tdyy2cosx并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解

dxdyyytg 4 求方程:

dxxxdyy6xy2的通解 5求方程:

dxx6 求(3x26xy2)dx(6x2y4y3)dy0的通解.

d4xd2x22x0 7 求解方程:

4dtdtd5x1d4x0的解 8 求方程:

54tdtdt9 求方程y\'\'5y\'5x的通解

21dxydtsint10 求下列方程组的通解

dyxdty\'xy11求初值问题

R:x11

y1的解的存在区间并求出第二次近似解

y(1)012 求方程的通解

(1)

dyyydyytan (2) (3)

(y3x2)dx(4yx)dy0(三种方法)

2dxxxdxxy42dydy(4)54y0

dxdx13 计算方程

y\'\'4y3sin2x的通解

d2xdx44xcost 14计算方程

dtdt15 求下列常系数线性微分方程:

y\'\'2y\'10yxe2x

16 试求x

x的基解矩阵

21022117 试求矩阵A

的特征值和对应的特征向量.

1418 试求矩阵A3

55的特征值和特征向量

32

2y1y

2y\'1319 解方程组1

y\'220．求下列方程组的通解

dxx2ydtdy3x4y

dt．

四 名词解释

1微分方程 2常微分方程、偏微分方程 3变量分离方程

4伯努利方程 5Lipschitz条件 6 线性相关

五 证明题

1在方程y\'\'p(x)y\'q(x)y0中已知p(x);q(x)在(;)上连续

求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.

2 设x1(t)、x2(t)分别是非齐次性线方程 dnxdn1x

G1(t)n1Gn(t)xf1(t)

ndtdtdnxdn1xG1(t)n1Gn(t)xf2(t)

dtndtdnxdn1x证明：x1(t)+x2(t)是方程nG1(t)n1Gn(t)xf1(t)f2(t)的解。

dtdt3设f (x)在[0；+]上连续且limf (x)=0求证：方程xdyyf(x)的一切解y(x)；

dx均有limy (x)=0

x4 在方程y\'\'p(x)y\'q(x)y0中p(x)、q(x)在（,）上连续；求证：若p(x)恒不为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w（x）是（,）上的严格单调函数。

dnxdn1xt5证明：x1(t)+x2(t)是方程nc1(t)n1an(x)f2(t)的解。

dedt6证明：函数组e1x,e2xenx（其中当ij时ij）在任意区间（a ,b）上线性无关。

dyf(y)(y)x7．在方程dx中，已知f(y)，(x)在(,)上连续，且(1)0．求证：对任意0和y01，满足初值条件y(x0)y0的解y(x)的存在区间必为(,)．

8．在方程yp(x)yq(x)y0中，已知p(x)，q(x)在(,)上连续．求证：该方程的任一非零解在

xoy平面上不能与x轴相切．

练习题答案

一 填空题:

1、 2

2、 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）

3、 ex

; xex

4、 开

5、

y1

6、

xx1ydt

7、

(t)c,c为常数列向量 8、 y=x2+c

9、 初始

10、常微分方程

11、ep(x)dx

12、x2+y2=c ; c为任意正常数

13、/

14、12;12

15、x5pc666

y56p16p216、4

17、0

18、(x)c；其中c是确定的n维常数列向量

19．y1,x1

20．sin2x,cos2x

21．D{(x,y)R2y0}，（或不含x 轴的上半平面）

22．充分

23．没有

二 单项选择

1、D 2、C 3、C 4、D 5、B 6、C 7、A 8、D

11、D 12、B 13、D 14、D 15、B 16、C 17、D 18、D

22.C 23．D

三 求下列方程的解

1 (1）解：当y0,y1时，分离变量取不定积分，得

dyy1nydxC

通积分为 1ny= Cex

（2）解：令y= xu , 则dydxuxdudx,代入原方程，得

xdudx1u2

分离变量，取不定积分，得

du1u2dxx1nC （C0）

9、A 10、C

19．D 20．B 21．A

通积分为：arcsiny1nCx

x（3） 解： 方程两端同乘以

y-5,得

dyy4x

dxdz-5dy,代入上式，得 令y

-4= z ，则-4ydxdx1dzzx

4dx

y5 通解为

zCe4xx 原方程通解为

y41

41

4Ce4xx（4） 解： 因为MN ， 所以原方程是全微分方程。

2xyxxy 取（x0,y0）=（0，0）原方程的通积分为

202xydxy2dyC

0 即

xy13yC

3（5） 解：原方程是克莱洛方程，通解为： y = cx+2c3

2 解：设ydxdx1dxy0 ，积分后得y = ct 即ct 则方程化为dtdttdt 于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5

其中 c1

, c2

, c3

, c4

, c5为任意常数

dnx(t)dn1x(t)dnx(t)dn1x(t)[G1(t)Gn(t)x1(t)][G1(t)=

dtndtn1dtndtn1

Gn(t)x2(t)]= f1(t) + f2(t)

dnx(t)dn1x(t)G1(t)Gnx(t)=f1(t)+f2 (t)的解。

故x1(t)+x2(t)为方程nn1dtdt 3 解： 将变量分离，得到

dycosxdx

y2 两边积分，即得

 因而，通解为

1sinxc

y1

sinxc

y 这里c是任意常数。以x=0 , y=1代入通解中以决定任意常数c，得到

c = -1

因而，所求特解为

1

1sinxydydyxu 代入，则原方程变为

u 及 4 解：以

dxdxxduuutgu

xdx

y 即

将上式分离变量,即有

ctgudu 两边积分,得到

nsinunxc

这里c\'是任意函数,整理后,得到

dutgu

dxxdx

xsinuec\'x

令ee\'c,得到 sinu = cx

5 解: 令z = y-1得

代入原方程得到

dzdyy2

dxdxdz6zx

dxx 这是线性方程,求得它的通解为

cx2

z6

8x 代回原来的变量y , 得到

1cx2

yx68 这就是原方程的通解。此外，方程还有解 y=0 。

6 解： 这里M =3x2+6xy2 .N = 6x2y+4y3 ，这时

MN12xy.12xy

yxu3x26xy2

x 因此方程是恰当方程。现在求u ，使它同时满足如下两个方程

u6x2y4y3

y

由（1）对x 积分，得到

ux33x2y2(y)

为了确定(y)，将（3）对y求导数，并使它满足（2），即得

ud(y)6x2y6x2y4y3

ydy 于是

积分后可得

(y)=y4

将(y)代入（3），得到

u = x3

+ 3x2y2

+ y4

因此，方程的通解为

x3

+ 3x2y2

+ y4=c

这里c是任意常数

42 7 解： 特征方程210即特征根i是重根，因此方程有四个实值解cost、tcost 、sint 、d(y)= 4y4

dytsint

故通解为x = (c1+c2t)cost + (c3+c4t)sin 其中c1

; c2

; c3

; c4为任意常数

dy1d4xy0 8 解： 令4y 则方程化为：dttdtd4x 积分后得y=ct 即4ct于是 x=c1t5

+ c2t3

+ c3t2

+ c4t1

+ c5

dt

其中c1 ; c2 … c5

为任意常数 ，这就是原方程的通解。

9 解 对应齐次方程的特征方程为50，

特征根为10,25

齐次方程的通解为 y=C1+C2e5x

因为a=0 是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

y1(x)=x（Ax2

+ Bx + C）

代入原方程，比较系数确定出

2 A=112， B= ，C=

35255x 原方程的通解为

yC1C2e10 解： 先解出齐次方程的通解

13122xxx

3525xcostsint

=C1

+C2sintcost

y

令非齐次方程特解为

x~costsint

~=C1(t)+C(t)

2ysintcost

C\'1(t),C\'2(t)满足

cost

sint 解得C\'1(t)sintcost1C\'1(t)C\'(t)=sint

20cost,C\'2(t)1

sint 积分，得

C1(t)1nsint,C2(t)t

通解为

xcostsintcost1nsinttsintC2

C1

ysintcostsint1nsinttcostb11) 故解的存在区间为x1

M44gxx1x 2) q0(x)=0 q1(x)=0(g20)dg|

333g231gg2g1xx2g] q2(x)=0+[gg]dg[999363369xxxx11 =

39186042 11 解： M=maxf(x,y)=4

hmin(a, 12 求方程的通解:

1)

dyy

dxxy2dyxy21 解: 变形xy(1),将y看作自变量, x为未知函数

dxyy 解齐线性方程dx1x, 通解为x = cy

dyy 令x = c (y)y….. (2)微分得,dxd(c(y)y)dc(y)yc(y)

dydydy 由(1)(2)知xdc(y)c(y)yyyc(y)y

ydyy

dc(y)~是任意常数)

~故x(yc~)y(c1,积分得c(y)ycdydyyytan

dxxxydyduxu 解: 令u则yux, 于是dxdxxduuutanu 则原方程变为xdxdutanu 即

dxxdx 将上式分离变量有cotudu

x~为任意常数。

~,c 积分得1nsinu1nxc 2)

整理sinuex

~c~c0得sinucx(c0) 令ec 方程还有解tanu=0 即 sinu=0, 故通解为 sinu = cx (c为任意常数)

3）(y3x2)dx(4yx)dy0(三种方法)

解：法一，这里M=y-3x2 , N= - (4y-x )= 4-4y

MN1,1,因此此方程是恰当方程

yxuuy3x2（1）x4y （2） ，xy 现求 u使 对（1）中x积分得uyxx3(y) （3）

对（3）中y求导ud(y)x4y

ydy232 积分得(y)2y，代入（3）得

uyxx2y

故通解为yxx2yc，c为任意常数

法二，重新组合得

ydx3xdx4ydyxdy0，即ydxdx2dyxdy0

23232

d(xyx32y20)

于是通解为xyx32y2c其中c是任意常数。

dy4dy)5()24y0

dxdxdy521442 解： 令p则p5p4y0,ypp

dx445dpdp5dp5p3(pp3),(pp3)dppdx0 对x求导得

Pp2dxdx2dx2 4）

(52p4pc52p451c44)pxc,xpp3 积分得(p44p44p513cxpp44p 于是方程通解为 （p=0）

y5p21p44413 方程y\'\'4y3sin2x的通解

解： 齐次方程是y\'\'4y0,40,1,22i

yc1cos2tc2sin2t

由于2i是特征方程单根

故所求特解应具形式

y1x(Acos2xbsin2x)

代入原方程

4A3,B0A

y1 故通解为y23,B0

43xcos2x

43xcos2xc1cos2tc2sin2t，其中c1c2为任意常数

4d2x4dx4xcost 14

dtdt 解：特征方程440有重根122

因此对应齐线性方程的通解为x2(c1c2t)e2t，其中c1,c2为任意常数。

xAcostBsint的特征解， 因为i不是特征根，现求形如~ (4A3B)sint  cost 代入原方程化简

(3A-4B)cost 33A4B125 于是 故

44A3B0B25A2t 故通解为x(c1c2t)e34costsint其中c1,c2为任意常数

25252 15 求下列常系数线性微分方程

对应的齐次方程为y\'\'2y\'10y0 特征方程为2100

特征根为

a13i a不是特征根，

故原方程有形如y*=(ax+b) e

2x的特解代入原方程得a 故原方程通解为ye(c1costc2sin3t)(x11,b

105011x)e2x，（c1,c2为任意常数）

1050 16 解：因为A

 =

 +

而且后面的两个矩阵是可交换的

2102200201002 得到expAtexp

020texp2010

0t =

e2t101 {E +

t +

2t0e0001t2}但是，

002!010

=

0001t0020

0 所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是

expAte2t

17 解： 特征方程为

det(EA)21

12690

4 因此，3是A的二重特征值.为了寻求对应于3的特征向量,考虑方程组

(3EA)c

因此, 向量

11c1

0

11c21

ca

1 是对应于特征值3的特征向量,其中a0是任意常数.

18 解A特征方程为det(AE)35

26360

53 特征根为1,2u35i 对应于1=3+5i的特征向量u满足

u5i5

0 解得u = a

a0为任意常数

55i

(A1E)u

u1 对应于235i特征向量v满足

ui

(A2E)v0 解得v



为任意常数

0

1viv3 19 解:A1232的特征方程为det(EA)

(1)(4)0

212a

1=1,

2=4为特征根,(A4E)u0u1a为方程组解a为任意常数.



(A4E)u0u2为方程组解.

2 这样y\'1a2为方程的解

y\'2a20．解 方程组的特征方程为

12

AE0

34即

320

特征根为

211，22

11对应的解为

x1a1te

y1b1

其中a1,b1是11对应的特征向量的分量，满足

112a10

b0

3411可解得a11,b11．

同样可算出22对应的特征向量分量为

a22,b13． 所以，原方程组的通解为

et2e2tx

C1tC2

2tye3e 四 名词解释

1 联系着自变量、未知函数及它的导数的关系式，称之为微分方程。

2 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，称这种微分方程的个数为两个或两个以上

的微分方程称为偏微分方程。

3 形如

dyf(x)(y)

dx 的方程，称为变量分离方程，这里f(x)(y)分别是x , y的连续函数。

4 形如

dyP(x)yQ(x)yn

dx 的方程，称为伯努利方程，这里P(x),Q(x)为x的连续函数，n0,1是常数

5 函数f (x , y)称为在R上关于y满足Lipschitz条件，如果存在常数L>0,使得

不等式f(x.y1)f(x.y2)Ly1y2

对于所有(x,y1),(x,y2)R都成立, L称为Lipschitz常数.

6 定义在区间atb上的函数x1(t),x2(t),xk(t), 如果存在不全为零的常数c1

, c2

,

…. ck 使得恒等式c1x1(t)c2x2(t)ckxk(t)0对于所有ta,b都成立,称这些函数是线性相关的.

五 1在方程y\'\'p(x)y\'q(x)y0中,已知p (x),q (x)在(,)上连续,

求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.

证明：方程y\'\'p(x)y\'q(x)y0，设y(x)是它的任一非零解。

若p (x),q (x)在(,)上连续，假设y(x)在xoy平面上与轴相切。

则y\'(x)0,y\'\'0与方程有非零解y(x)矛盾。

故y(x)与x轴不相切。

dnxdn1x 2 由已知得nG1(t)n1Gn(t)x1f1(t)

dtdtdnxdn1xG1(t)n1Gn(t)x2f2(t)

dtndtdnxdn1x把x1(t)+x2(t)代入方程nG1(t)n1Gnx(t)f1(t)f2(t)由左端得

dtdtdn(x(t)x(t))dn1(x(t)x(t))G1(t)Gn(t)(x1(t)x2(t))=

dtndtn1dnx(t)dnx(t)dn1x(t)dn1x(t)G1(t)Gn(t)Gn(t)x1(t)Gn(t)x2(t) 3 证明

nnn1n1dtdtdtdt设y = y(x)是方程任一解，满足y (x

0) = y0

，该解的表达式为

y(x)y0exx0y0xx0f(s)e(sx0)dsexx0x

取极限

limy(x)xlimxx0xe

limxx0f(s)e(sx0)dsexx0

0若f(s)e(sx)dsxxx)00f(x)e(

(sx)lim0x若f(s)edsxx0ex0000 4 证明 设y1(x),y2(x)是方程的基本解组,则对任意x(,),它们朗斯基行列式在(,)上有定义,且W(x)0.又由刘维尔公式

xxp(s)ds0

W(x)W(x0)eW(x)W(x0)e,x0(,)

xxp(s)ds0p(x)

由于

W(x0)0,p(x)0,于是对一切x(,),

有W\'(x)0或W\'(x)0

故W(x)是(,)上的严格单调函数

5答案略

6证明:已知函数组的wronshi行列式为

e1x,e2xenxW(x) =1ex,2exne12nx

n1x1n1e1x,2n1e2xxnenx =e(12nx)11

1

11n1n2n1xnn1

xn 上述最后的行列式为范德蒙受行列式 它等于(ij)由题设知ij(ij) 由此行列式不为零.从而W(x)0由性质知.已知的函数组在上线性无关证毕.

7．证明 由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．

显然y1 是方程的两个常数解．

任取初值(x0,y0)，其中x0(,),y01．记过该点的解为yy(x)，由上面分析可知，一方面yy(x)可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过y1，下方不能穿过y1，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为(,)． （10分）

8．证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是(,)．

显然，该方程有零解y(x)0．

(x0)= 0，那么由解 假设该方程的任一非零解y1(x)在x轴上某点x0处与x轴相切，即有y1(x0)y1的惟一性及该方程有零解y(x)0可知y1(x)0,x(,)，这是因为零解也满足初值条件(x0)= 0，于是由解的惟一性，有y1(x)y(x)0,x(,

)．这与y1(x)是非零解矛y1(x0)y1盾．


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