考研数学一(二次型)模拟试卷7(题后含答案及解析)

2024年3月11日发(作者：大连高一数学试卷2021)

考研数学一（二次型）模拟试卷7

(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y21+y22-y23，

其中P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，-e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy

下的标准形为( )

A．2y21-y22+y23

B．2y21+y22-y23

C．2y21-y22-y23

D．2y21+y22+y23

正确答案：A

解析：本题考查正交变换化二次型为标准形的有关理论，所涉及的知识点是：

任给一个二次型f(x1，x2，x3)=xTAx，总存在一个正交变换x=Py将二次型f(x1，

x2，x3)=xTAx化为标准形，其标准形的系数是A的特征值；标准形的系数即A

的特征值的顺序与正交矩阵P中对应的列的顺序即A的特征值的所对应的特征

向量的顺序一致．设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵为A，正交矩阵P=(e1，

e2，e3)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为2y21+y22-y23，即 若

Q=(e1，-e3，e2)，则 所以f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为

2y21-y22+y23．故应选A． 知识模块：二次型

2． 设，则A与B( )

A．合同且相似

B．合同但不相似

C．不合同但相似

D．不合同且不相似

正确答案：A

解析：显然A是实对称矩阵，且特征值为4，0，0，0．故存在正交矩阵Q，

使得Q-1AQ=QTAQ=

B．因此选A． 知识模块：二次型

填空题

3． 设二次型f(x1，x2，x3)=x21+2x1x2+2x2x3，则f的正惯性指数为

_________________．

正确答案：2

解析：用配方法把f(x1，x2，x3)化成标准形，或求出特征值，正特征值个

数即为正惯性指数．利用配方法化二次型为标准

形．f=x21+2x1x2+2x2x3=x21+2x1x2+x22-(x22-2x2x3)

=(x1+x2)2-(x2-x3)2+x23=y21-y22+y23，其中y1=x1+x2，y2=x2-x3，y3=x3，即 由

于这个线性变换是可逆的，故由惯性定理知，二次型f的正惯性指数为2． 知识

模块：二次型

4． 若二次型f(x1，x2，x3)=2x21+x22+x23+2x1x2+tx2x3正定，则t的取值

范围是_______________．

正确答案：

解析：由于二次型f(x1，x2，x3)=2x21+x22+x23+2x1x2+tx2x3的矩阵 所

以，有 知识模块：二次型

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

已知二次型 f(x1，x2，x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3．

5． 写出二次型f的矩阵表达式；

正确答案：二次型f的矩阵表达式为 其中

解析：本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法，矩阵特征值、特

征向量的求法．先求出二次型f的矩阵A及A的特征值与特征向量，再将特征

向量正交单位化，求出正交矩阵，即可把f化为标准形． 知识模块：二次型

6． 用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

正确答案：矩阵A的特征多项式为 由此得矩阵A的特征值为λ1=1，λ

2=6，λ3=-6．于是，二次型f可通过正交变换x=Qy化为标准形

f=y21+6y22-6y23．对于特征值λ1=1，由于 故对应于特征值λ1=1的特征向

量可取为ξ1=(2，0，-1)T．类似地，对应于特征值λ2=6，λ3=-6的特征向量可

分别取为ξ2=(1，5，2)T，ξ3=(1，-1，2)T．因为A是实对称矩阵，且λ1，λ

2，λ3互异，故x1，x2，x3构成正交向量组，将其单位化得 于是，所求的

正交矩阵为 故对二次型f作正交变换 则可将f化为标准形

f=y21+6y22-6y23． 涉及知识点：二次型

7． 设二次型 f=x21+x22+x23+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3经正交变换x=Py

化成f=y22+2y23，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，

P是3阶正交矩阵．试求常数α，β．

正确答案：二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为 因为P为正交矩阵，所以 即

A与B相似，故A与B有相同的特征值λ1=0，λ2=1，λ3=2，这些特征值满

足｜λE—A｜=0．当λ1=0，则 当λ2=1，则 由式(1)和(2)，可求得α=β=0．注：

本题可用特征值的性质和特征方程求得α，β如用｜A｜=0×1×2=0．｜E-A｜

=0．

解析：本题主要考查二次型在正交变换下的不变量．令二次型f(x1，x2，x3)

的矩阵为A，由标准形为f=y22+2y23，知A的特征值为0，1，2，代入A的特

征方程，求得α，β． 知识模块：二次型

设二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx=ax21+2x22-2x23+2bx1x3(b＞0)，其中二

次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．

8． 求a，b的值；

正确答案：二次型f的矩阵为 设A的特征值为λi=(i=1，2，3)．由题设，

有 λ1+λ2+λ3=a+2+(-2)=1， 解得a=1，b=2．

解析：本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法，特征值与特征向

量的计算与性质．首先写出二次型f的矩阵A，利用特征值与行列式、迹之间的

关系，求出a，b的值．此时该题成为一道常规题了． 知识模块：二次型

9． 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的

正交矩阵．

正确答案：由矩阵A的特征多项式 得A的特征值λ1=λ2=2，λ3=-3．对

于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E-A)x=0，得其基础解系 ξ1=(2，0，1)T，

ξ2=(0，1，0)T．对于λ3=-3，解齐次线性方程组(-3E-A)x=0，得基础解系 ξ

3=(1，0，-2)T．由于ξ1，ξ2，ξ3已是正交向量组，为得到规范正交向量组，

只需将ξ1，ξ2，ξ3单位化，由此得 令矩阵 则Q为正交矩阵，在正交变

换x=Qy，有 且二次型的标准形为 f=2y21+2y22-3y23． 涉及知识

点：二次型

设矩阵

10． 已知A的一个特征值为3．试求y；

正确答案：由拉普拉斯展开定理，得 把λ=3代入，解得y=2．

解析：本题主要考查特征值、特征向量的概念与求法，用正交变换把实对称

矩阵化为对角矩阵的方法．行列式的计算．将λ=3代入方程｜λE-A｜=0，求出

y的值，然后求出ATA，利用常规方法求正交矩阵P，使PT(ATA)P为对角矩阵． 知

识模块：二次型

11． 求矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．

正确答案：注意到(AP)T(AP)=PTA2P，其中 矩阵A2的特征方程为 ｜

λE-A2｜=(1-λ)3(9-λ)=0，解得A2的特征值为λ1=λ2=λ3=1，λ4=9．再分

别求出对应于它们的特征向量： 这4个特征向量已经互相正交，再单位化，

得 令，则有 涉及知识点：二次型

已知实二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵A满足tr(A)=-6．AB=C，其中

12． 用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；

正确答案：由题设AB=C，得 由此知λ1=0，λ2=-12是A的特征值，α

1=(1，2，1)T，α2=(1，-1，1)T分别是对应的特征向量．设A的第3个特征值

为λ3，由λ1+λ2+λ3=tr(A)=-6，得λ3=6，再设A的对应于λ3=6的特征向量

为α3=(x1，x2，x3)T，则由λ1，λ2，λ3互异，有 解得α3=(-1，0，1)T．将

α1，α2，α3单位化得 令P=(p1，p2，p3)，则x=Py为所求的正交变换，将

f=-12y22+623

解析：本题考查抽象二次型化标准形，由矩阵的运算关系和A的迹求出A

的特征值与特征向量，写出二次 型的标准形，由此确定二次曲面．再由方阵对

角化的逆问题求出矩阵A，从而求出原二次型． 知识模块：二次型

13． 指出方程f(x1，x2，x3)=1表示何种曲面；

正确答案：由第一问知， f(x1，x2，x3)=1的标准方程为 -12y22+623=1

故f(x1，x2，x3)=1表示双曲柱面． 涉及知识点：二次型

14． 求出该二次型f(x1，x2，x3)．

正确答案：由第一问可得 由此推得 故原二次型为 f(x1，x2，

x3)=xTAx=-x21-4x22-x23+8x1x2-14x1x3+8x2x3． 涉及知识点：二次型

已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y21+y22，

且Q的第3列为

15． 求矩阵A；

正确答案：由题设知A的特征值为1，1，0．且α=(1，0，1)T是属于A的

特征值0对应的一个特征向量．设x=(x1，x2，x3)T为A的属于特征值1的特征

向量，由于A的不同的特征值所对应的特征向量正交，所以有(x，α)=0，即

x1+x3=0，解该方程组的基础解系ξ1=(1，0，-1)T，ξ2=(0，1，0)T，将其单位

化，并将其取为A的属于特征值1对应的正交单位的特征向量， 令 从而，

解析：本题考查抽象二次型化标准形的逆问题，由正交变换下的标准形与二

次型对应的矩阵A的特征值的关系，求A．再由正定矩阵的定义判定A+E的正

定性． 知识模块：二次型

16． 证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

正确答案：由第一问知A的特征值为1，1，0，于是A+E的特征值为2，2，

1，又A+E为实对称矩阵，故A+E为正定矩阵． 涉及知识点：二次型

已知A是3阶实对称矩阵，α1=(1，-1，-1)T，α2=(-2，1，0)T是齐次线

性方程组Ax=0的解，又(A-6E)α=0，α≠0．

17． 求α和二次型xTAx的表达式；

正确答案：由Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2，知λ1=λ2=0是矩阵A的特征

值，α1，α2是矩阵A的属于特征值0的线性无关的特征向量．由已知Aα=6

α，且α≠0，所以λ3=6是A的特征值，设α=(x1，x2，x3)T，由于实对称矩

阵不同的特征值对应的特征向量正交，于是 解得λ3=6的一个特征向量为α

=(1，2，-1)T．由A(α1，α2，α)=(0，0，6α)，得 故

f=xTAx=x21+4x22+x23+4x1x2-2x1x3-4x2x3．

解析：本题考查用正交变换化二次型为标准形的逆问题． 知识模块：二次

型

18． 用正交变换x=Py化二次型xTAx为标准形，并写出所用的正交变换；

正确答案：取α1=(1，-1，-1)T，α2=(-2，1，0)T，α=(1，2，-1)T．显然

α1，α2与α正交，而α1，α2是线性无关的(可用施密特标准正交化)，也可

取ξ1=α1=(1，-1，-1)T，ξ2=α1+α2=(1，-1，-1)T+(-2，1，0)T=(-1，0，-1)T，

ξ3=α=(1，2，-1)T．则ξ1，ξ2，ξ3两两正交，单位化，得 令，则P为正

交矩阵，x=Py为正交变换，该变换将二次型xTAx化为标准形为

f=6y23． 涉及知识点：二次型

19． 求(A-3E)6．

正确答案：因为于是 涉及知识点：二次型

设实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩为2，且α1=(1，0，0)T是(A-2E)x=0

的解，α2=(0，-1，1)T是(A-6E)x=0的解．

20． 用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的

标准形；

正确答案：由α1=(1，0，0)T是(A-2E)x=0的解，α2=(0，-1，1)T是(A-6E)x=0

的解，得Aα1=2α1，Aα2=6α2，于是得A的两个特征值为λ1=2，λ2=6，

其对应的特征向量依次为α1=(1，0，0)T，α2=(0，-1，1)T．又由于实二次型f(x1，

x2，x3)的秩为2，所以A的另一个特征值为λ3=0，设其对应的特征向量为 α

3=(x1，x2，x3)T，则有解得特征向量为 令，则P为正交矩阵，故x=Py为正

交变换，该变换将二次型化成标准形为f(x1，x2，x3)=221+622．

解析：本题考查由正交变换化二次型为标准形的逆问题，由二次型的秩和方

程组的解确定二次型的矩阵A的特征值与特征向量．从而求解． 知识模块：二

次型

21． 写出该二次型；

正确答案：由于 故所求的二次型为f(x1，x2，

x3)=2x21+3x22+3x23-6x2x3． 涉及知识点：二次型

22． 求方程组f(x1，x2，x3)=0的解．

正确答案：由于

二次型

f(x1，x2，x3)=2x21+3(x2-x3)2=0，得 涉及知识点：