2024年3月15日发(作者：安徽地区高三数学试卷真题)
排列组合C和A计算公式例题
排列组合是数学中比较重要的概念，尤其在概率论和统计学中
具有重要地位。初学者需要掌握一些基本的排列组合知识，如
排列组合的定义、公式和性质等。本文将针对排列组合中的C
和A计算公式例题进行详细介绍，旨在帮助读者深入了解这
一课题。
一、排列组合基本概念
排列：假设有n个不同的物品，从中选取m个排成一列，在
不同情况下可分为两种类型：
1. 无放回排列：在每次取出物品后，不再放回原来的位置；
2. 有放回排列：在每次取出物品后，将物品放回原来的位
置，继续进行下一步操作。
组合：假设有n个不同的物品，从中选取m个，不考虑其排
列顺序，在不同情况下可分为两种类型：
1. 无放回组合：在每次取出物品后，不再放回原来的位置；
2. 有放回组合：在每次取出物品后，将物品放回原来的位
置，继续进行下一步操作。
二、C和A计算公式
1. C的计算公式
组合数C的定义是从n个元素中取m个元素的方案数，公式
为：
C(n,m) = n!/((n-m)!m!)
其中“!”表示阶乘，即一个数的阶乘是这个数与比它小的正整
数的乘积。例如，4!=4*3*2*1=24。
如果m>n，则C(n,m)=0，因为不可能从n个元素中选取m个
元素。
举例说明：
有10个人，从中选取3个人，有多少种选法？
根据公式，C(10,3) = 10!/((10-3)!3!) = 120 。因此，有10个人
中选取3个人的选法有120种。
2. A的计算公式
排列数A的定义是从n个元素中取m个元素的排列方案数，
公式为：
A(n,m) = n!/(n-m)!
其中“!”表示阶乘，即一个数的阶乘是这个数与比它小的正整
数的乘积。例如，4!=4*3*2*1=24。
如果m>n，则A(n,m)=0，因为不可能从n个元素中选取m个
元素排列。
举例说明：
有10个人，从中选取3个人，排成一列有多少种排列方式？
根据公式，A(10,3) = 10!/(10-3)! = 720 。因此，有10个人中选
取3个人排成一列的排列方式有720种。
三、例题
1. 有5个球分别标有1、2、3、4、5，从中任选3个球，求这
3个球相加的和为6的方案数。
根据题意，如果选取了1和2，则必须再选取3或者4或者5。
因此，方案数为C(3,2) = 3。如果选取了3，则必须再选取1
或者2；如果选取了4，则必须再选取1或者2；如果选取了5，
则必须再选取1。因此，方案数为C(2,1)+C(2,1)+C(1,1) = 5。
根据加法原理，总方案数为3+5=8。
2. 有7个学生，分别排成一列，其中Tom和Gina必须排在一
起，Abby和Bob不能相邻，求排列方案数。
根据排列的定义，可以先将Tom和Gina看成一个整体，即有
6个元素排列，根据乘法原理，有：
A(6,6) = 6! = 720
种排列方式，然后可以考虑将Abby和Bob分别放在Tom和
Gina左右两侧的位置，即先考虑Abby和Bob在奇数位置上的
排列方式，再乘以在偶数位置上的排列方式。如果Abby和
Bob在奇数位置上，有4个位置可供选择，其中2个必须选定，
这样Abby和Bob就不能相邻，剩下的2个位置可以随意排列，
根据乘法原理，有：
C(4,2) * A(2,2) * A(3,3) = 6 * 2 * 6 = 72
种排列方式，如果Abby和Bob在偶数位置上，有3个位置可
供选择，其中2个必须选定，这样Abby和Bob就不能相邻，
剩下的2个位置可以随意排列，根据乘法原理，有：
C(3,2) * A(2,2) * A(4,4) = 3 * 2 * 24 = 144
种排列方式。
因此，所求排列方案数为720 * (72+144) = 172800。
四、总结
本文主要介绍了排列组合中的C和A计算公式，C指的是组
合数，A指的是排列数，这是初学者学习排列组合的基础知识。
在实际应用中，排列组合的知识经常被用来解决各种问题，尤
其在概率论和统计学中具有广泛的应用。因此，初学者需要掌
握排列组合的定义、公式和性质等，不断提高自己的技能和能
力水平。
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