第2章第6节《正态分布》-江苏省南京市苏教版高中数学选修2-3讲义

2023年12月22日发(作者：全程数学试卷难吗)

第2章第6节《正态分布》-江苏省南京市苏教版高中数学选修2-3讲义

苏教版选修2-3第2章第6节《正态分布》

一、内容解析

我们在《必修3》中曾经研究过离散型随机变量的频率分布直方图和频率分布折线图．我们知道，如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，离散型随机变量就趋向于连续型随机变量，相应的频率分布折线图将趋于一条光滑曲线，这条光滑曲线实际上就是总体分布的密度曲线．离散型随机变量最多可以取可列个不同值，典型的有二项分布、超几何分布等．连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，虽然如此，但它取该区间上任何一个实数是几乎不可能发生的，我们一般只研究它取某个子区间的概率．高中阶段主要介绍服从正态分布的随机变量，它是最典型的连续型随机变量之一，生活中也随处可见．我们说，如果一个连续型随机变量是众多互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布（normal

distribution）．正态分布密度函数的推导是十分困难的，我们可以先根据一些实例理解正态分布的实际含义，通过画出其频率分布直方图近似逼近正态分布曲线，在此基础上引导学生接受并初步理解正态分布密度函数，认识正态分布密度曲线的特点及其所表示的意义．

根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》内容要求，我们应充分了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例、借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征；了解正态分布的均值、方差及其含义．

1．服从正态分布的随机变量

生活中有大量随机变量是若干个独立的随机变量作用下的总和，例如，长度测量的误差，同一年龄段人的身高、体重，一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量，某校学生某一次测验的成绩，某地每年春季的平均气温、湿度、降雨量等．可以看到，这些变量的取值都是某一区间内的所有实数，是连续型随机变量．同时可以看到，

它们的分布都具有诸如“关于某个值对称分布，且中间多，两头少”等特点，且广泛存在于自然现象，生产和生活实际中，具有重要的地位．我们称这样的随机变量服从正态分布．

2．借助具体实例理解正态分布密度曲线

在《必修3》中，我们曾经选取同年龄段的学生，测量其身高，作出频率分布直方图．其步骤

为对数据分组，列出频数（或频率）分布表，并作出频率分布直方图．选例如下：

从某中学男生中随机抽取84名，测量身高，数据如下（单位：cm ）

通过频率分布直方图来分析数据：首先确定组数，组距． 区间号

[来

源学科网ZXXK]

区间

频数 频率 累积频率 频率／组距

1 153.5~157.5 5 0.0595 0.0595 0.015

2 157.5~161.5 8 0.0952 0.1547 0.024

3 161.5~165.5 10 0.1190 0.2738 0.030

4 165.5~169.

5 15 0.178

6 0.4534 0.045 5 169.5~173.5 18 0.2143 0.666

7 0.054 6 173.5~1775 1

8 0.1786 0.8452 0.045 7 177.5~181.5 8 0.0952 0.9405 0.024

8

181.5~185.5

5

0.0595

1

0.015

频率分布直方图：

164 175 170 163 168 161 177 173 165 181 155 178 164 161

174 177 175 168 170 169 174 164 176 181 181 167 178 168 169

159 174 167 171 176 172 174 159 180 154 173 170 171 174 172

171 185 164 172 163 167 168 170 174 172 169 182 167 165 172

171 185 157 174 164 168 173 166 172 161 178 162 172179 161

160 175 169 169 175 161 155 156 182 182