2023年12月22日发(作者：金陵数学试卷)
安徽省“江南十校”2023年5月高二年级联考
数学模拟试题
考试范围：选择性必修第一册，第二册，第三册
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（σ＞0），若P(1<ξ<2)=0.3，则P(ξ<0)=
1．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ）（
）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
22．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y−4=0与直线l2：x+(a+1)y+2=0平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数
为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ）
A.
7.6
B.
7.8
C.8
D.
8.2
4．已知等比数列{an}的公比为q（q>0且q≠1），若a6+8a1=a4+8a3，则q的值为（ ）
A．1
4 B．1
2 C．2 D．4
x2y25．若双曲线C：2−2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆x2+(y−2)2=2所截得的弦长为2，则
ab 双曲线C的离心率为（ ）
A．3 B．2 C．5 D．25
6．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A，B，C三个小区可供选择，每个志
愿者只能选其中一个小区．则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区的概率为（
）
A．19310052
B．
C．
D．
324392431+5=Fn+1+Fn(n∈N*)，现求得{Fn}的通项公式为Fn=A⋅2+
n=F=1，Fn+27．数列{Fn}满足F12n1+581−5，A，B∈R，若[x]表示不超过x的最大整数，则的值为（
）
B⋅22 A．43
B．44
C．45
D．46
8．若任意两个不等正实数x1，x2∈(m,+∞)，满足x1lnx2−x2lnx1<2，则m的最小值为（ ）
x2−x1
A．1
e2
B．1
C．e D．1
e二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a1+a2+a3=21，S5=25，下列说法正确的是（ ）
A．a2n+3
=n B．Sn=−n2+10n
D． C．{Sn}的最大值为S5
110的前10项和为
−99anan+110．已知函数f(x)（x∈R）是奇函数，f(x+2)=f(−x)且f(1)=2，f′(x)是f(x)的导函数，则
（
）
A．f(2023)=2 B．f′(x)的一个周期是4
C．f′(x)是偶函数
D．f′(1)=1
11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为22的直线交抛物线C于A，B两点，
其中点A在第一象限，若|AF|=3，则下列说法正确的是（ ）
A．p=1
B．BF=3
C．OA⋅OB=3
D．以AF为直径的圆与y轴相切
212．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M为棱D1C1的中点，N为棱CC1上的点，且CN＝a（0
＜a＜2），则（ ）
A．当a=2时，AM∥平面BDN
3 B．当a=1时，点C到平面BDN的距离为6
3 C．当a=1时，三棱锥A－BCN外接球的表面积为9π
D．对任意a∈(0,2)，直线AM与BN都是异面直线
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡上的相应位置．
（－2，1，m），（1，－1，2），（－1，2，，若a，则m+t= ．
13．已知空间向量a＝b＝t）b，c＝c共面，14．某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已知甲不安排在第一天，乙
不安排在最后一天，则不同的安排种数为______．
x2y2π15．已知双曲线−=1的左，右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且倾斜角为直线l与该双曲线交
424R△NF1F2的内切圆半径为R2，则1
于M，N两点（点M位于第一象限），△MF1F2的内切圆半径为R1，R2为___________.
16．进入秋冬季以来某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为10%，且每人是否感染这种病毒相互独立.为确
保校园安全，某校组织该校的3000名学生做病毒检测，如果对每一名同学逐一检测，就需要检测3000
次，但实际上在检测时都是随机地按k(1 测.如果混合样本呈阴性，说明这k个人全部阴性，如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈 阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次.当检测次数最少时k的值为__________. 参考数据：0.92=0.810,0.93=0.729,0.94≈0.656,0.95≈0.590,0.96≈0.531,0.97≈0.478， 0.98≈0.430,0.99≈0.387,0.910≈0.349． 四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 2n17．已知(2x−1)的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求x−x （1）所有二项式系数之和． （2）系数绝对值最大的项． 18．在①2S=nn+3的展开式中： (n+1)an，②(n−1)Sn=(n+1)Sn−1(n≥2)这两个条件中任选一个，补充在下面问题中， 并作答．问题：设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1，且__________． （1）求{an}的通项公式； =bn （2）若ann+1+，求数列{bn}的前n项和Tn． n+1an 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均为正三角形， AC＝4，BE＝3． （1）在线段AC上是否存在点F，使得BF∥平面ADE?说明理由； （2）求平面CDE与平面ABC所成的锐二面角的正切值． A 20．地球上生命体内都存在生物钟.研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体 征状况,控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER．PER分为PERI（导致早起倾向）和PERo （导 致晚睡倾向）．某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验. 以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERI突变的Sd指标： 实验鼠编号 Sd指标 实验鼠编号 Sd指标 1 9.95 9 10.26 2 9.99 10 9.91 3 9.96 11 10.13 4 9.96 12 10.02 5 10.01 13 9.22 6 9.92 14 10.04 7 9.98 15 10.05 8 10.04 16 9.95 C 长期试验发现，若实验鼠Sd指标超过10.00，则认定其体征状况严重． （1）从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望； （2）若编号1～8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9～16的为非GRPE蛋白干预对照组,，试 依据小概率值α=0.1的独立性检验，分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关? 附:x=2n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)α 0.1 （其中n=a+b+c+d）． 0.05 0.01 xa 2.706 3.841 6.635 21y2x2,1PAPA=−21．已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的上、下顶点分别为A1,A2，点P. C在上，且1222ab（1）求椭圆C的标准方程； （2）设坐标原点为O，若不经过点P的直线与C相交于M,N两点，直线PM与PN的斜率互为相反数，当△MON的面积最大时，求直线MN的方程． 22．已知函数f(x)=ex−12． x−ax−1（a∈R）2x （1）若不等式f(x)≥0在x∈[0,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围； （2）若x＞0，求证：(e−12x+1)ln(x+1)>2x． 2 安徽省“江南十校”2023年5月高二年级联考 数学模拟试题 考试范围：选择性必修第一册，第二册，第三册 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （σ＞0），若P(1<ξ<2)=0.3，则P(ξ<0)= 1．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ）（ ） A．0.1 【答案】B． 【详解】P(ξ<0)=P(ξ>2)=0.5−P(1<ξ<2)=0.5−0.3=0.2． 2．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y−4=0与直线l2：x+(a+1)y+2=0平行”的（ ） A．充分不必要条件 【答案】C． 【详解】当a=1时，l1：x+2y−4=0，l2：x+2y+2=0，因为= B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2112−4，可得两直线平行；若l1≠22与l2平行，则a(a+1)=1×2，且2×2≠−4×(a+1)，解得a=1，故为充要条件，故选：C． 3．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数 为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ） A. 7.6 【答案】B． 【详解】依题意这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9， 又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6、7、8、9、9， 所以平均数为 B. 7.8 C.8 D. 8.2 6+7+8+9+9=7.8，故选B． 5，若a6+8a1=a4+8a3，则q的值为（ ） 4．已知等比数列{an}的公比为q（q>0且q≠1） A．1 4 B．1 2 C．2 D．4 【答案】C 【详解】由a6+8a1=a4+8a3得，a1q5+8a1=a1q3+8a1q2，因为a1≠0，所以q5+8=q3+8q2，即 (q3−8)(q2−1)=0，又q>0且q≠1，所以q3−8=0，q=2，故选C． x2y2225．若双曲线C：2−2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆x+(y−2)=2所截得的弦长为2，则 ab 双曲线C的离心率为（ ） A．3 B．2 C．5 D．25 【答案】B x2y2bb【详解】解：双曲线C:2−2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x，由对称性，不妨取y=x，即abaa圆x2+(y−2)2=半径为2，则圆心到准线的距离2的圆心坐标为(0,2)，=dbx−ay=0．∴=(2)2−121， |−2a|b2+a2==1，解得ec=2．故选B． a6．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A，B，C三个小区可供选择，每个志 愿者只能选其中一个小区．则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区的概率为（ ） A．19310052 B． C． D． 39243243【答案】B 【详解】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有35=243种情况， 再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3，1，1或2，2，1， 23C15×C4×A3=90； 1时，60；当5人被分为2,2,1时，情况数为当5人被分为3，1，情况数为C×A=2A23533所以共有60+90=150． 由于所求甲不去A，情况数较多，反向思考，求甲去A的情况数，最后用总数减即可， 2×A12 8，甲若为3，则C2当5人被分为3，1，1时，且甲去A，甲若为1，则C4×A2=42=32共计8+12=20种， 2C42126，甲若为2，则C124，共当5人被分为2，2，1时，且甲去A，甲若为1，则2×A2=4×C3×A2=A2计6+24=30种， 150−(20+30)100，故选B． 所以甲不在A小区的概率为=243243n+15=F=1，Fn+2=Fn+1+Fn(n∈N*)，现求得{Fn}的通项公式为Fn=A⋅7．数列{Fn}满足F122+ n1+581−5，A，B∈R，若[x]表示不超过x的最大整数，则的值为（ ） B⋅22 A．43 【答案】D B．44 C．45 D．46 1+51−5⋅+⋅=1AB122，两式相减得A+B=0，于是解得A=，【详解】由F1＝F2＝1，得5A⋅3+5+B⋅3−5=122nn2n2n111+51−511+51−52−2+．由递推−，(Fn)=，所以Fn=B=−5225522公式Fn+2881−511+52=9，所以 −2+=Fn+1+Fn，得F3＝2，F4＝3，所以(F4)=25288881+581+51−51−51+5又0<=46，所以所以2=47−2，2<1，2∈(46,47)，2故选D． 8．若任意两个不等正实数x1，x2∈(m,+∞)，满足 A．1 2e B．1 x1lnx2−x2lnx1<2，则m的最小值为（ ） x2−x11 D． C．e ex1lnx2−x2lnx1<2， x2−x1【答案】D 【详解】因为对任意两个不等正实数x1，x2∈(m,+∞)，满足不妨令x1 lnx2+2lnx1+2<， x2x1lnx+2lnx+2，则f(x2) 令f(x)=xx11−1−lnx\'()0fx>x>0 由f′(x)=2eex11所以f(x)在0,上单调递增，在,+∞上单调递减， ee11所以m≥，即m的最小值为．故选D． ee即x1(lnx2+2)<(lnx1+2)x2，所以二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a1+a2+a3=21，S5=25，下列说法正确的是（ ） A．a=2n+3 n B．Sn=−n2+10n C．{Sn}的最大值为S5 【答案】BCD D．110的前10项和为 −99anan+1【详解】等差数列{an}的公差为d，则由a1+a2+a3=21，S5=25，得a2=7，a3=5，所以d=−2． 所以an=a2+(n−2)d=7−2(n−2)=−2n+11，a1=9，Sn=2n(a1+an)n(9−2n+11) ==−n2+10n，22所以A不正确，B正确；又Sn=−(n−5)+25，当n=5时，Sn最大，故C正确；对于D，11111111111111=−−+++=−−+−++−，所以 2anan+1a1a2a2a3a10a11a10a112a1a2a2a3anan−111111110，D正确，故选BCD． =−=−+=−−2a1a1129119910．已知函数f(x)（x∈R）是奇函数，f(x+2)=f(−x)且f(1)=2，f′(x)是f(x)的导函数，则 （ ） A．f(2023)=2 【答案】BC B．f′(x)的一个周期是4 C．f′(x)是偶函数 D．f′(1)=1 f(−x)=−f(x)， 【详解】因为函数f(x)是奇函数，f(x+2)=f(−x)，所以f(x+2)=−f(x+2)=f(x)，即：f(x+4)=f(x)，故f(x)的周期为4， 所以f(x+4)=f′(x)，故f′(x)的一个周期为4，故B项正确； 所以f′(x+4)=f(2023)=f(4×505+3)=f(3)=f(−1)=−f(1)=−2，故A项错误； −f(x)， 因为函数f(x)是奇函数，所以f(−x)=−f′(x)，即：f′(−x)=f′(x)，所以f′(x)为偶函数，故C项正确； 所以−f′(−x)=−f′(−x)， 因为f(x+2)=f(−x)，所以f′(x+2)=令x=−1，可得f′(1)=−f′(1)，解得：f′(1)=0，故D项错误．故选BC. 11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为22的直线交抛物线C于A，B两点， 其中点A在第一象限，若|AF|=3，则下列说法正确的是（ ） A．p=1 B．BF=【答案】BD 【详解】数形结合作出抛物线图象，由过焦点直线斜率及抛物线定义可得p=2， 故A错误；由图知∠AOB为钝角知C错误，故选：BD. 3 C．OA⋅OB=3 D．以AF为直径的圆与y轴相切 2 12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M为棱D1C1的中点，N为棱CC1上的点，且CN＝a（0 ＜a＜2），则（ ） A．当a=2时，AM∥平面BDN 3 B．当a=1时，点C到平面BDN的距离为6 3 C．当a=1时，三棱锥A－BCN外接球的表面积为9π D．对任意a∈(0,2)，直线AM与BN都是异面直线 【答案】BCD 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 对于A，B(2,2,0),N(0,2,),A(2,0,0),M(0,1,2)， 2则DB(2,2,0),DN(0,2,),AM(−2,1,2)， 3设平面BDN的法向量为n=(x,y,z)， 23n⋅DB=2x+2y=0则，令x=1，则n=(1,−1,3)， 2⋅=+=nDNyz203所以AM⋅n=−2−1+6≠0，所以AM与n不垂直，所以AM与平面BDN不平行，所以A错误， 对于B，N(0,=2,1),DN(0,=2,1),DB(2,2,0)，设平面BDN的法向量为m=(x1,y1,z1)，则 m⋅DB=2x1+2y1=0，令x1=1，则m=(1,−1,2)， 20m⋅DNy+z11CN⋅m26d===，所以B正确， 所以点C到平面BDN的距离为36m过O作平面ABC的垂线，则外接球球心O′在此垂线上，设三棱锥A−BCN对于C，连接AC交BD于O，外接球的半径为R， 191，所以三棱锥A−BCN外接球的表面积为则R=OC+OO′=OC+CN=2+=44294πR2=4π×=9π，所以C正确， 422222 对于D，对任意a∈(0,2)，因为A,B,M在平面ABC1D1内，点N在平面ABC1D1外，且直线BN与平面ABC1D1交于点B，直线AM不经过点B， 所以直线AM与BN都是异面直线，所以D正确，故选BCD． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡上的相应位置． （－2，1，m），（1，－1，2），（－1，2，，若a，则m+t= ． 13．已知空间向量a＝b＝c＝t）b，c共面，【答案】－6 【详解】若a，b，c共面，则存在实数x，y，使c=xa+yb， 即（－1，2，t）＝x（－2，1，m）＋y（1，－1，2）＝（−2x+y，x−y，mx+2y）， −2x+y=−1，解得x=−1，y=−3，t=−m−6．所以m+t=−6． 所以x−y=2mx+2y=t14．某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已知甲不安排在第一天，乙 不安排在最后一天，则不同的安排种数为______． 【答案】14 【详解】①若甲安排在最后一天，则不同的安排数为A3=6；②若甲不安排在最后一天，则不同的安排数为A2A2A2=8．综上，不同的安排种数为14． 1123x2y2π15．已知双曲线−=1的左，右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且倾斜角为直线l与该双曲线交 424R△NF1F2的内切圆半径为R2，则1 于M，N两点（点M位于第一象限），△MF1F2的内切圆半径为R1，R2为___________. 【答案】3+22 【详解】设△MF1F2的内切圆为圆O1，与三边的切点分别为A,B,C，如图所示， MA设=CFt，设△NF1F2的内切圆为圆O2， =BF=n，BF==MC=m，AF11222a(m+n)−(m+t)=，得n=a+c， 2cn+t=由双曲线的定义可得由此可知，在△MF1F2中，O1B⊥x轴于点B，同理可得O2B⊥x轴于点B，所以O1O2⊥x轴， 过圆心O2作CO1的垂线，垂足为D， ∠CF2x==180°,∠BF2C+∠CF2=x180°，所以∠O2O1D=因为∠O2O1D+∠BF2C∴O1O2=π4， =2O1D，即R1+R22(R1−R2)，∴(2−1R1=)(2+1R2，即)R1=3+22． R2故答案为：3+22. 16．进入秋冬季以来某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为10%，且每人是否感染这种病毒相互独立.为确 保校园安全，某校组织该校的3000名学生做病毒检测，如果对每一名同学逐一检测，就需要检测3000 次，但实际上在检测时都是随机地按k(1 测.如果混合样本呈阴性，说明这k个人全部阴性，如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈 阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次.当检测次数最少时k的值为__________. 参考数据：0.92=0.810,0.93=0.729,0.94≈0.656,0.95≈0.590,0.96≈0.531,0.97≈0.478， 0.98≈0.430,0.99≈0.387,0.910≈0.349． 【答案】4 【详解】设每个人检测总人数为X，若混合为阴性，则X=11；若混合为阳性，则X=+1． kk则P=X=11k，PX=0.9=+1=1−0.9k， kkE(X)=11111⋅PX=++1⋅PX=+1=+1−0.9k， kkkkk故当E(X)最小时，检测次数最少． 当k=2时，E(X)=0.69；当k=3时，E(X)=0.604；当k=4时，E(X)=0.594；当k=5时， E(X)=0.61；当k=6时，E(X)=0.636；当k=7时，E(X)=0.665；当k=8时，E(X)=0.695；当k=9时，E(X)=0.724，当k=10时，E(X)=0.751．故当当k=4时，E(X)=0.594最小． 四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 217．已知(2x−1)的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求x−xnn+3的展开式中： （1）所有二项式系数之和． （2）系数绝对值最大的项． 【答案】（1）1024 （2）−15360 4x【详解】（1）因为(2x−1)n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等， 所以Cn=Cn且n≥5，解得n=7， 252所以x−xn+32=x−展开式的二项式系数之和为210=1024； xr1022rr10−rr10−2r（2）x−展开式的通项为Tr+1=C10， x⋅−=(−2)C10xxx10设展开式第r+1项的系数的绝对值最大， rr−12rC10≥2r−1C101922≤≤r则rr，解得，又因r∈N，所以r=7， r+1r+1≥2C2C33101015360=−4． x18．在①2S=(n+1)an，②(n−1)Sn=(n+1)Sn−1(n≥2)这两个条件中任选一个，补充在下面问题中， n所以展开式中，系数绝对值最大的项为(−2)C10x7710−14 并作答．问题：设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1，且__________． （1）求{an}的通项公式； =bn （2）若ann+1+，求数列{bn}的前n项和Tn． n+1an 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． n+2n n+1=2Sn−1nan−1(n≥2)， 【详解】（1）选①，因为2S=(n+1)an，所以n【答案】（1）an=n （2）=所以2an=，所以an(n+1)an−nan−1(n≥2)nan−1(n≥2)， n−1nn−12⋅⋅⋅⋅a1=n(n≥2). n−1n−21因为a1=1满足上式，所以an=n. =则an=，所以Sn选②，因为(n−1)Sn=(n+1)Sn−1(n≥2)n(n+1)n+1n3××××S=(n≥2). 1n−1n−212n(n+1)a=1因为S=满足上式，所以， S=11n2所以S=n n+1Sn−1(n≥2)， n−1 Sn−Sn−1=n(n≥2)，因为a1=1满足上式，所以an=n. 则an=（2）由（1）可得bn=1nn+11+=−+2，则n+1nnn+111111111Tn=1−+2+−+2++−+2=1−+− 223nn1+2231n1++−2n=+2n +n+1nn+119．如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均为正三角形， AC＝4，BE＝3． （1）在线段AC上是否存在点F，使得BF∥平面ADE?说明理由； （2）求平面CDE与平面ABC所成的锐二面角的正切值． 【答案】（1）存在，理由见解析 （2）A C 13 2【解析】（1）记AC中点为M，连结DM，△ACD为正三角形，AC＝4, 则DM⊥AC，且DM=23. 因为平面ACD⊥平面ABC ，平面ACD平面ABC=AC， DM⊂平面ACD, 所以DM⊥平面ABC，又因为BE⊥平面ABC， 所以DM∥BE. 延长MB,DE交于点G，则AG为平面ADE与平面ABC的交线， 因为BE=3，故DM=2BE，所以B为MG的中点， 取AM中点F，连结BF，则BF∥AG，因为AG⊂平面ADE ，BF⊄平面ADE， 所以BF∥平面ADE. 1即线段AC上存在点F，当AF=AC时，BF∥平面ADE. 4（2）连结CG，则CG为平面CDE与平面ABC的交线， 在平面ABC内，过点B作CG的垂线，垂足为H，连结EH， 因为BE⊥平面ABC，CG⊂平面ABC，故BE⊥CG, =BEBHB,BE,BH⊂平面BEH，故CG⊥平面BEH， EH⊂平面BEH，故CG⊥EH, 则∠BHE为平面CDE与平面ABC所成的二面角的平面角. △ABC为正三角形，AC=4，故BM=23，则BG=BM=23, 且∠MBC=30,∴∠GBC=150, 故在△GBC中，GC2=BG2+BC2−2BG⋅BCcos∠GBC=12+16−2×23×4×(−3)=52， 21BC×BG×sin150=23， 212SBGC23,又因为=BE=DM3， 故BH==2CG13故CG213，而SBGC=所以tan∠BHE=BE13， =BH2即平面CDE与平面ABC所成的锐二面角的正切值为13. 220．地球上生命体内都存在生物钟.研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体 征状况,控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER．PER分为PERI（导致早起倾向）和PERo （导 致晚睡倾向）．某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验. 以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERI突变的Sd指标： 实验鼠编号 1 2 3 4 5 6 7 8 Sd指标 9.95 9.99 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 实验鼠编号 9 10 11 12 13 14 15 16 Sd指标 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 长期试验发现，若实验鼠Sd指标超过10.00，则认定其体征状况严重． （1）从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望； （2）若编号1～8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9～16的为非GRPE蛋白干预对照组,，试 依据小概率值α=0.1的独立性检验，分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关? 附:x=2n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n=a+b+c+d）． α 0.1 0.05 0.01 xa 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）X的分布列为 E(X)=X P 0 1 2 3 3 209 2027 801 1621； 16（2）GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况无关． 【详解】（1）由题意得，X的可能取值有0，1，2，3，所以 33112C7C9C92C7C9C727391，P(X=1)=，，， P(X=0)=3==P(X=2)==PX===(3)333C1016C1020C1020C1080所以X的分布率为 X P 0 1 2 3 3 209 2027 801 16所以X的数学期望E(X)=0×3927121+1×+2×+3×=． 2020801616（2）由题意得，根据所给数据，得到2×2列联表： 体征状况严重 体征状况不严重 合计 GRPE蛋白干预 2 6 8 非GRPE蛋白干预 5 3 8 合计 7 9 16 零假设为：H0：实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预没有关系． 16×(2×3−5×6)216利用列联表中的数据得，χ==≈2.286<2.706=x0.1， 8×8×7×972根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可认为H0成立，即认为实验 鼠体征状况与GRPE蛋白干预没无关． 21y2x2,1=−PAPA21．已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的上、下顶点分别为A1,A2，点P. C在上，且1222ab （1）求椭圆C的标准方程； （2）设坐标原点为O，若不经过点P的直线与C相交于M,N两点，直线PM与PN的斜率互为相反数，当△MON的面积最大时，求直线MN的方程. y2（2）y=2x±2． 【答案】（1）+x2=1；2y2x2【详解】（1）由题意椭圆C:2+2=1(a>b>0)的上、下顶点分别为A1,A2， ab211,11， +=C故A1(0,a),A2(0,−a)，点P在上，故222a2b1221PAPA又1，即(−,a−1)⋅(−,−a−1)=−， 2=−222211y22212221可得b=1，故椭圆C的标准方程为+x2=即(−1. )−(a−1)=−，解得a=2，结合2+2=a2b222（2）由题意知直线PM斜率存在，故设为k， y22则直线PM的方程为y=k(x−1， )+1，联立+x2=22可得(2+k2)x2+2k(1−222k)x+(1−k)−2=0， 222，设M(x1,y1)， 212(k2−2k−1)， 22+k2由题意知该方程有一根为则2=x12则(1−22k)−22=,∴x12+k2y112(k2−2k−1)−2k(2+k)， 22=−+k[]12+k222+k2因为直线PM与PN的斜率互为相反数，设N(x2,y2)，故以−k代换k, 12(k2+2k−1)2k(2−k)可得，y2=， 22x2=+k222+k由题意可得k≠0，故x1≠x2， 2k(2−k)−2k(2+k)−2+k22+k242k==12122(k+2k−1)2(k−2k−1)4k22−2+k22+k2y21， 2x+m，联立+x2=2y2−y1==k所以直线MN的斜率为MNx−x212， 即直线MN的斜率为2，则设其方程为=y=∆8m2−16(m2−2)>0,∴m2<4， 可得4x2+22mx+m2−2=0，需满足2mm2−2 ，故|MN|=则x1+x2=−,x1x2=24 1+2⋅(x1+x2)−4x1x2=2m23⋅−(m2−2)=2m2, 3⋅2−2 原点O到直线MN的距离为d=|m|， 3m2|m|1m41112故△MON的面积为S=⋅3⋅2−=−(m2−2)2+2， ⋅=2m−2222232当m2=2，即m=±2时，△MON的面积取到最大值，此时直线MN的方程=y22．已知函数f(x)=e−x2x±2. 12． x−ax−1（a∈R）2 （1）若不等式f(x)≥0在x∈[0,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围； （2）若x＞0，求证：(e−x12x+1)ln(x+1)>2x． 2；（2）证明见解析． 【答案】（1）（−∞，1］【详解】（1）由题意知f\'(x)=ex−x−a，x∈[0,+∞)， 令u(x)=e−x−a，则u\'(x)=e−1≥0，所以u(x)在［0，+∞）上单调递增， 即f\'(x)在［0，+∞）上单调递增． 当a≤1时，f\'(x)≥f\'(0)=1−a≥0，所以f(x)在［0，+∞）上单调递增， 所以f(x)≥f(0)=0，符合题意． 当a>1时，f\'(0)=1−a<0． 令h(x)=ex−2x，则h\'(x)=ex−2，当x∈(0,ln2)时，h\'(x)<0，当x∈(ln2,+∞)时，h\'(x)>0， 所以h(x)在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增，所以h(x)≥h(ln2)=2−2ln2>0． 所以f\'(a)=e−a−a=e−2a>0，又f\'(x)在［0，+∞）上单调递增， 所以∃x0∈(0,a)，使得f\'(x0)=0， 所以f(x)在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增， 所以f(x0) 综上所述，实数a的取值范围是（−∞，1］． aaxxx2x2x，即e−（2）证明：由（1）得，当a=1时，x>0时，e>1+x++1>x+2． 22x要证明不等式(e−x1212x， x+1)ln(x+1)>2x，只需证ex−x2+1>22ln(x+1)只需证x+2>2x2x，即证ln(x+1)>， ln(x+1)x+114x22x设F(x)=ln(x+1)−（x>0），则F\'(x)=， −=22x+1x+1(x+2)(x+1)(x+2) 当x>0时，F\'(x)>0，F(x)在（0，+∞）上单调递增， 又F(0)=0，所以F(x)>0恒成立，所以原不等式成立．
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