2023年12月22日发(作者：985高校入学数学试卷)

如何利用向量的几何表示三角形的各种心

向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：[来源:学科网Z|X|X|K]

①PG1(PAPBPC)G为ABC的重心，

3特别地PAPBPC0P为ABC的重心；

(ABAC),[0,)是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心；

AD1ABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线.

2②PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；

(ABAC)[0,)是△ABC边BC的高AD上的任意向量，过垂心.

|AB|cosB|AC|cosC③

|AB|PC|BC|PA|C|APB0

ABCP的内心；

向量(ABAC)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线).

|AB||AC|④(OAOB)AB(OBOC)BC(OCOA)CA0

OAOBOCOA2OB2OC2O为ABC的外心.

4.向量与平行四边形相关的结论

向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形ABCD中，设ABa,ACb，则有以下的结论：

①ABACabAD,通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若ABDC,可判断四边形为平行四边形；

②abAD,abCB,若ababab0对角线相等或邻边垂直，则平行四边形为矩形；(ab)(ab)0ab对角线垂直.则平行四边形为菱形；

③abab2a2b说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；

2222 b同向或有0 ④||a||b|||ab||a||b|，特别地，当a、

b反向或有

|ab||a||b|||a||b|||ab|；当a、0|ab||a||b|||a||b|||ab|；

当a、 b不共线||a||b|||ab||a||b|(这些和实数比较类似).

5.解析几何与向量综合时可能出现的结论

（1） 给出直线的方向向量u1,k或um,n；

（2）给出OAOB与AB相交,等于已知OAOB过AB的中点;

（3）给出PMPN0,等于已知P是MN的中点;

（4）给出APAQBPBQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①AB//AC；

②存在实数,使ABAC；

③若存在实数,,且1,使OCOAOB,

等于已知A,B,C三点共线.

（6） 给出OPOAOB，等于已知P是AB的定比分点，

1为定比，即APPB

（7） 给出MAMB0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出

MAMBm0,等于已知AMB是钝角, 给出MAMBm0,

等于已知AMB是锐角,

MAMB（8）给出MP,等于已知MP是AMB的平分线/MAMB（9）在平行四边形ABCD中，给出(ABAD)(ABAD)0，

等于已知ABCD是菱形;

（10） 在平行四边形ABCD中，给出|ABAD||ABAD|，

等于已知ABCD是矩形;

（11）在ABC中，给出OAOBOC，

222[来源:学科网ZXXK]

等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12） 在ABC中，给出OAOBOC0，

等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在ABC中，给出OAOBOBOCOCOA，

等于已知O是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（14）在ABC中，给出OPOA(ABAC)(R)

|AB||AC|等于已知AP通过ABC的内心；

（15）在ABC中，给出aOAbOBcOC0,

等于已知O是ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

（16在ABC中，给出AD1ABAC,

2等于已知AD是ABC中BC边的中线;


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