全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案(高二年级)

2024年4月14日发(作者：小学生数学试卷批改方法)

全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

（高二年级）

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小

题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档

次给分，不要增加其他中间档次．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷

时可参考本评分标准适当划分档次评分．

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

*

1．数列

{a

n

}

满足：

a

1

1,a

2

3

，且

a

n2

|a

n1

|a

n

(nN)

．记

{a

n

}

前

n

项的

和为

S

n

，则

S

100



89 ．

2．在△

ABC

中，已知

B

的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，

BK

32

，则

2

△

ABC

的面积为

157

16

．

n

3．设

n100

，则使得

(ab)

的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数

n

为 98 ．

4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同

的取法种数为 327 ．

(z1)

2

5．若

x,y,z

均为正实数，且

xyz1

，则

S

的最小值为

2xyz

222

322

．

x

2

y

2

1

的左、右焦点分别为

F

1

,F

2

，

M

为椭圆上异于长轴端点的一6．设椭圆

4

点，

F

1

MF

2

2



，△

MF

1

F

2

的内心为I，则

|MI|cos





23

．

7．对于一切

x[2,]

，不等式

axxx10

恒成立，则实数

a

的取值范围

为

1

2

32

10a1

．

8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小

于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 26 ．

1 / 4

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题

20分）

1

9．已知数列

{a

n

}

中，

a

1

1,a

2



，且

4

a

n1



(n1)a

n

na

n

(n



2,3,4,



)

．

（1）求数列

{a

n

}

的通项公式；

（2）求证：对一切

nN

，有

*



a

k

2



k1

n

7

．

6

解 （1）由已知，对

n2

有

1

a

n1



na

n

n1



，

(n1)a

n

(n1)a

n

n1

两边同除以n，得

111



，

na

n1

(n1)a

n

n(n1)

即

1111

()

， ……………………4分

na

n1

(n1)a

n

n1n

n1n1



1



11



1



1

于是，





(1)

，







(k1)a

k



k



n1

k2



ka

k1

k2



k1

即

111

(1),n2

，

(n1)a

n

a

2

n1

1113n2

1

(1)

，

a

n

,n2

．

(n1)a

n

a

2

n1n1

3n2

所以

又

n1

时也成立，故

a

n



（2）当

k2

，有

2

a

k



1

,nN

*

． ……………………8分

3n2

11111

()

，………………12分

2

(3k4)(3k1)33k43k1

(3k2)

所以

n2

时，有

1



111111



2

a1a1()()



()





k



325583n43n1



k1k2

2

k

nn

1



11



17

1







1.

3



23n1



66

2 / 4