2024年4月14日发(作者：海口市中考二模数学试卷)

2019-2020年高二数学竞赛试卷含答案(word版可编辑修改)

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2019—2020年高二数学竞赛试卷含答案

题

号

得

分

评卷

员

A． B． C． D．

2. C.考虑对立事件：a与b,c与d，e与f为正方体的对面，

ab有种填法，cd有种填法，ef有2种填法,而整体填法

共有种填法,所以符合题意的概率为:

.

3．定义两种运算：，，则函数为( ）

(A）奇函数 （B）偶函数

（C）奇函数且为偶函数 (D）非奇函数且非偶函数

2

2

x

2

2

2

x

2

3．A．

f(x)



(x

[

2,2])

。

2

|2

x|

2x

(2

x)

2

2

2

x

2

一二

（11)

三

（12）（13）(14）（15)

合 计

4．圆周上按顺时针方向标有1,2，3，4，5五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点

跳到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一

个点．该青蛙从5这点开始起跳，经xx次跳动，最终停在的点为 （ ▲ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

4．D．

二、填空题:本大题共6小题,每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．

5.已知方程

x

2

+（4+i）

x

+4+

a

i=0(

a

R)有实根

b

,且

z

=

a

+

b

i，则复数

z= 。

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5.2-2i。由题意知

b

2

+(4+i）

b

+4+

a

i=0（

a

，

b

R），即

b

2

+4

b

+4+(

a

+

b

)i=0。由复数相等可得：

即z=2—2i.

6．在直角坐标系中，若方程

m

(

x

2

+

y

2

+2

y

+1）=（

x

-2

y

+3)

2

表示的曲线是双曲线，则

m

的取

值范围为

。

6．（0，5）。方程

m

(

x

2

+

y

2

+2

y

+1）=(

x

-2

y

+3)

2

可以变形为

m

=,即得,

∴

5

m

x

2

(y

1)

2

|x

2y

3|

5

其表示双曲线上一点(

x

，

y

)到定点（0,—1）与定直线

x

—2

y

+3=0之比为常

数

e

=,又由

e

>1,可得0〈

m

<5.

7．直线

ax

+

by

—1=0（

a

，

b

不全为0),与圆

x

2

+

y

2

=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均

为整数，那么这样的直线有

条

.

7。 72.如图所示，在第一象限内，圆

x

2

+

y

2

=50上的

整点有（1，7）、（5，5）、（7,1)，则在各个象限内圆

上的整点的个数共有12个，此12个点任意两点相连可

得C=66条直线，过12个点的切线也有12条，又直线

ax

+

by

-1=0(

a

，

b

不全为0）不过坐标原点,

故其中有6条过原点的直线不合要求，符合条件的直线共有66+12-6=72条.

17．如图的三角形数阵中,满足：（1）第1行的数为1；(2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，

其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n行(n≥2）中第2个数是____▲____（用n表

示）.

1

2

3

4

5

616

11

25

7

14

25

4

7

11

16

2

3

4

5

6

17。

8．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为

a

的正三角形，这样的两个

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多面体的内切球的半径之比是一个最简分数，那么积

m

·

n

是

.

8。 6.解：设六面体与八面体的内切球半径分别为

r

1

与

r

2

，再设六面体中的正三棱锥

A-

BCD

的高为

h

1

,八面体中的正四棱锥

M—NPQR

的高为

h

2

,如图所示，则

h

1

=

a

,

h

2

=

a

.

∵

V

正六面体

=2·

h

1

·

S

△BCD

=6·

r

1

·

S

△ABC

，∴

r

1

=

h

1

=

a

。

又∵

V

正八面体

=2·

h

2

·

S

正方形NPQR

=8·

r

2

·

S

△MNP

，∴

a

3

=2

r

2

a

2

,

r

2

=

a

,

6

a

r

1

22

9

,

于是

r

2

33

6

a

6

是最简分数，即

m

=2，

n

=3，∴

m

·

n

=6。

9．若的两条中线的长度分别为6，7,则面积的最大值为

。

9。28.如图，D，E，F是各边的中点，延长BE至G，使得BE=BG，延长BC至H,使得DC=CH，

连接AG,EH,则CH=EF=AG=DH，且AG｜|DH,则四边形

A

G

EFCH和ADHG是平行四边形。

FE

故CF=EH,AD=EH.

故△EGH的三边EH、EG、EH分别是△ABC的三边的中

线AD、BE、CF，即、、.

B

H

D

C

由共边定理知，

S

ABC

2S

BCE

.

10．已知是定义（-3，3）在上的偶函数，当0

所示,那么不等式的解集是

。

10．

.

由已知在(0，3)图像我们可以得到在（－3，3）上的整体图

加上正弦函数的图像性质由数形结合思想可得到其解集是.

三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．

11．（本小题满分15分)

已知函数,是的导函数．

像，

如图

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（Ⅰ)求函数

F

x

f

x

f\'

x

f

2

x

的最大值和最小正周期；

(Ⅱ)若，求的值.

11．（Ⅰ）∵ 2分

∴

F

x

f

x

f\'

x

f

2

x

1cos2

x

sin2

x

12sin(2

x

)

6分

4



∴当

2

x

2

k



x

k

k

Z

时，

428

最小正周期为 8分

(Ⅱ）∵

f

x

2f\'

x

sinxcosx2cosx2sinx

1

∴

cosx3sinxtanx

11分

3

1

sin

2

x2sin

2

x

cos

2

x

∴

2

cosx

sinxcosxcos

2

x

sinxcosx

11

2

2tanx

1

9

11



15分

2

1

tanx6

3

12．（本小题满分15分)

如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，．它的正视图、俯视图、

从左向右的侧视图的面积分别为，，．

（Ⅰ)求直线与平面所成角的正弦；

（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面．若存在,确定点的位置;若不存在，说明理由．

解：(1)设BABCBDa,BB

1

b.

cos

2

xsin

2

x12sinxcosx

1

2

ab

a

22

1



a

2

2

由条件

（

.3

分）

b

2

1

a

2

1

2

以点B为原点，分别以BC、BB

1

、BA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则

A(0,0,2),C(2,0,0),D(0,2,0),B

1

(0,2,0),C

1

(2,2,0),A

1

(0,2,2)(5分）

ACD

的重心

G



2

a

BG

=

3

,

222

,

,.

333

22

,

为平面

ACD

的法向量.(7分）

33

22



6

3

CA

1

(

2,2,2),

则

cosa,CA

1



(9

分）

6

6

22

3

6

所求角的正弦值为

.(10

分）

6



(2)

令

AP

mAC

1

2m,2m,

2m

（

11

分）



B

1

P

B

1

A

AP

2m,2m

2,2

2m

a.





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2

2m

3

2

2m

2



无解（

14

分）

3

2

2

2m

3

不存在满足条件的点P

． （15分）

13．（本小题满分20分）

已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点，离心率，为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、两点（不

同于点）．

（Ⅰ）求椭圆的方程;

（Ⅱ）当时，求直线

PQ

的方程；

（Ⅲ）判断能否成为等边三角形,并说明理由．

13．解：（Ⅰ）设椭圆方程为 （

a

>

b

〉0) ，

由已知

∴ ---—-———---——----———-———--—--—---——-—-—--

2分

∴ 椭圆方程为． —--——-—---—-——-—-——--—-—-----—-———

——-———-—————-—-4分

（Ⅱ)解法一

椭圆右焦点．

设直线方程为（∈R）． --—--——-—---—-——-—-——--—-——————

——-5分

x

my

1,

由

x

2

y

2

得

3m

2

4y

2

6my90

．① --———-—--—-6分

1,

43



显然，方程①的．

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设，则有

y

1

y

2



PQ

6m9

,yy



． ———-8分

12

3m

2

43m

2

4

2

m

2

1

y

1

y

2

2

2



36m

2

36

m

1

2

2

3m

2

4

3m

4



2



12

m

3m

1

4

2

2

m

2

1

．

12

2

3m

4

∵,∴ ．解得．

∴直线

PQ

方程为，即或． -——-—---——12分

解法二： 椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，,不合题意．

设直线方程为， ——-——-——--———--—-———---—--——-———

—--—--5分

由 得

34k

2

x

2

8k

2

x4k

2

120

． ① ——--6分

显然，方程①的．

8k

2

4k

2

12

设，则

x

1

x

2

． --———--8分

,x

1

x

2

3

4k

2

3

4k

2

PQ

1k

xx

2

12

2

4x

1

x

2

8k

2

2

4k

2

12

2

1

k

3

4k

2

4

3

4k

2



=

12

k

1

4k

3

2

2

2

2

k

2

1

．

12

2

4k

3

∵，∴,解得．

∴直线的方程为，即或． —-—--———12分

（Ⅲ）不可能是等边三角形． —-———-—----—---—-———-—-—-——-—----

——--———-----—-—13分

如果是等边三角形,必有，

2

∴

x

1

2

2

y

1

2

x

2

2

2

y

2

,∴

x

1

x

2

4



x

1

x

2

y

1

y

2



y

1

y

2

0

,

∴

m

y

1

y

2

6

m

y

1

y

2

y

1

y

2



y

1

y

2

0

，-—----—--—--————--—-——-——

-—--—16分

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∵，∴，∴,

∴,或（无解）．

而当时，

PQ3,APAQ

35

，不能构成等边三角形．

2

∴不可能是等边三角形．--—-——--——-——————---————-—---—-———-

------—-——-—--—-—-—————-—20分

14．设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且

与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程。

(2)证明∠PFA=∠PFB。

14．解：（1)设切点A、B坐标分别为，

∴切线AP的方程为:

切线BP的方程为：

解得P点的坐标为：

所以△APB的重心G的坐标为 ，

2

2

y

0

y

1

y

P

x

0

x

1

2

x

0

x

1

(x

0

x

1

)

2

x

0

x

1

4x

P

y

p

y

G



,

3333

所以,由点P在直线

l

上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

1

x

(

3

y

4

x

2

)

2

0,

即y

(4

x

2

x

2).

3



x

x

1



1



1

2

01

,x

0

x

1

),FB

(x

1

,x

1

2

).

（2)方法1：因为

FA

(x

0

,x

0

),FP

(

4244

由于P点在抛物线外，则

x

0

x

1

111



x

0

(x

0

x

1

)(x

0

2

)x

0

x

1

FP

FA

44



2

4

,

∴

cos

AFP





|FP||FA||FP|

1

|FP|x

0

2

(x

0

2

)

2

4

x

0

x

1

111



x

1

(x

0

x

1

)(x

1

2

)x

0

x

1

FP

FB

44



2

4

,

同理有

cos

BFP





|FP||FB||FP|

1

|FP|x

1

2

(x

1

2

)

2

4

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当

x

1

x

0

0时,由于x

1

x

0

,不妨设x

0

0,则y

0

0,

所以P点坐标为，则P点到直线AF

1

x

1

2

|x|

1

4

x

,

的距离为：

d

1

1

;

而直线

BF

的方程

:y



24x

1

11

即

(

x

1

2

)

xx

1

yx

1

0.

44

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|(x

2

1

xx

1

|x|

所以P点到直线BF的距离为：

d

1

)

1

1

|(x

2

1

2

424

4

)

1

2

|x

1

|

(x

2

1

2

2

1

2

4

)

(x

2

11

)

x

1

4

所以d

1

=d

2

,即得∠AFP=∠PFB.

x

2

1

②当时，直线AF的方程：

y

1

0

4

4x

0

(x

0),

即

(x

2

0

1

4

)x

x

0

y

1

4

x

0

0,

0

直线BF的方程：

x

2

1

y

1

1

4

4

x

(x

0),

即

(x

2

1

1

)x

x

1

y

1

x

1

0,

1

044

所以P点到直线AF的距离为：

|(x

2

1

)(

x

0

x

1

)

x

2

1

x

x

2

1

d

0

42

0

x

1

4

x

0

||

01

2

)(x

0

4

)

|x

0

x

1

|

1



(x

2

1

22

2

1

2

0

4

)

x

0

x

0

4

同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d

1

=d

2

,可得到∠AFP=∠PFB．

14．（本小题满分20分）

设x=l是函数的一个极值点（，为自然对数的底）．

(1)求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

（2）若在闭区间上的最小值为0，最大值为， 且。，试求与的值．

14．（1）的定义域为，

f

x

ax

2

ab

a

x

ab

b

1

x

1

2

e

ax

由已知得，, ……4分

a

x

1

2a

3

从而

f

´

x

x



2a

1

ax

x

1

2

e

，

令 得： ……8分

当变化时的变化情况如下表:

从上表可知:在区间和上是减函数;

在和上是增函数． ……10分

（2)①当时在闭区间上是减函数．

又时

x

1

2

f

x

x

b

e

ax

2a

1

x

1

x

e

ax

0

，其最小值不可能为0，

1

故此时的a,m也不存在 ……14

②当时，在上是减函数，

则最大值为

f

1

1

b

e

a

2

1

2

e

a

得：．

又最小值为， ……18分.

分


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