2024年3月29日发(作者：2016上海文数学试卷)

考向

04

基本不等式及应用

x

2

y

2

（2021·全国高考真题）已知

F

1

，

F

2

是椭圆

C

：

1

的两个焦点，点

M

在

C

上，则

MF

1

MF

2

94

的最大值为（ ）

A．13

【答案】C

【分析】

B．12 C．9 D．6

MF

1

MF

2

MF2a6

本题通过利用椭圆定义得到

MF

，借助基本不等式

MFMF

12



即可

12

2



得到答案．

【详解】

由题，

a9,b4

，则

22

2

MF

1

MF

2

2a6

，

2

所以

MF

1

MF

2

故选：C．

【点睛】

MF

1

MF

2

．

9

（当且仅当

MF

1

MF

2

3

时，等号成立）

2



椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住

定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.

1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）

② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始

范围.

注意：形如

yx

单调性求解．

2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面

的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．

3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满

足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加

上一个数，“1”的代换法等．

a

(a0)

的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的

x

1．重要不等式

当

a

、

b

是任意实数时，有

a

＋

b

≥2

ab

，当且仅当a=b时，等号成立．

2．基本不等式

当

a

>0，

b

>0时有

22

ab

ab

，当且仅当a=b时，等号成立．

2

3．基本不等式与最值

已知

x

、

y

都是正数．

(1)若

x

＋

y

＝

s

(和为定值)，则当

x

＝

y

时，积

xy

取得最大值．

(2)若

xy

＝

p

(积为定值)，则当

x

＝

y

时，和

x

＋

y

取得最小值．

【知识拓展】

常用推论：

a

2

b

2

（1）

ab

（

a,bR

）

2


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