2021年湖南益阳中考数学试题及答案

2024年4月5日发(作者：北师大版中考数学试卷推荐)

2021年湖南益阳中考数学试题及答案

一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1．﹣2021的相反数等于（ ）

A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣

2．已知

a

≠0，下列运算正确的是（ ）

A．3

a

﹣2

a

＝1

3．将

A．

B．3

a

•2

a

＝6

a

C．

a

÷

a

＝

a

32

D．（2

a

）＝6

a

33

化为最简二次根式，其结果是（ ）

B． C． D．

4．解方程组

A．﹣2

y

＝﹣1

时，若将①﹣②可得（ ）

B．﹣2

y

＝1 C．4

y

＝1 D．4

y

＝﹣1

5．正比例函数

y

＝2

x

与反比例函数

y

＝的图象或性质的共有特征之一是（ ）

A．函数值

y

随

x

的增大而增大

B．图象在第一、三象限都有分布

C．图象与坐标轴有交点

D．图象经过点（2，1）

6．以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

7．如图，

AB

∥

CD

，△

ACE

为等边三角形，∠

DCE

＝40°，则∠

EAB

等于（ ）

A．40° B．30° C．20° D．15°

8．如图，在△

ABC

中，

AC

＞

BC

，分别以点

A

，

B

为圆心，以大于

AB

的长为半径画弧，两弧

交于

D

，

E

，经过

D

，

E

作直线分别交

AB

，

AC

于点

M

，

N

，连接

BN

，下列结论正确的是（ ）

A．

AN

＝

NC

B．

AN

＝

BN

C．

MN

＝

BC

D．

BN

平分∠

ABC

9．小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不

能正常上班（如下雨）的工资为80元/天，如果某月（30天）正常上班的天数占80%，

则当月小刘的日平均工资为（ ）

A．140元 B．160元 C．176元 D．182元

10．如图，已知▱

ABCD

的面积为4，点

P

在

AB

边上从左向右运动（不含端点），设△

APD

的

面积为

x

，△

BPC

的面积为

y

，则

y

关于

x

的函数图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填在答题卡中对应题号的

横线上）

11．若实数

a

的立方等于27，则

a

＝ ．

12．一元二次方程

x

﹣3

x

＝0的解是 ．

13．已知

x

满足不等式组，写出一个符合条件的

x

的值 ．

2

14．小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具，

则他选到锄头的概率是 ．

15．已知

y

是

x

的二次函数，如表给出了

y

与

x

的几对对应值：

x

y

…

…

﹣2

11

﹣1 0

3

1

2

2

3

3

6

4

11

…

…

a

由此判断，表中

a

＝ ．

16．如图，

AB

与

CD

相交于点

O

，

OE

是∠

AOC

的平分线，且

OC

恰好平分∠

EOB

，则∠

AOD

＝

度．

17．如图，已知四边形

ABCD

是平行四边形，从①

AB

＝

AD

，②

AC

＝

BD

，③∠

ABC

＝∠

ADC

中选

择一个作为条件，补充后使四边形

ABCD

成为菱形，则其选择是 （限填序号）．

18．如图，Rt△

ABC

中，∠

BAC

＝90°，tan∠

ABC

＝，将△

ABC

绕

A

点顺时针方向旋转角

α（0°＜α＜90°）得到△

AB

′

C

′，连接

BB

′，

CC

′，则△

CAC

′与△

BAB

′的面积之

比等于 ．

三、解答题（本题共8个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19先化简，再求值：，其中

a

＝2．

20如图，在矩形

ABCD

中，已知

AB

＝6，∠

DBC

＝30°，求

AC

的长．

21如图，已知点

A

是一次函数

y

＝2

x

﹣4的图象与

x

轴的交点，将点

A

向上平移2个单位后

所得点

B

在某反比例函数图象上．

（1）求点

A

的坐标；

（2）确定该反比例函数的表达式．

22为了促进全民健身活动的开展，某镇准备兴建一座休闲公园．为了解群众的运动需求，

对周边爱好运动的居民的运动偏好进行了随机调查（每人限填一项），绘制成待完善的统

计图表（综合类含舞蹈、太极拳等其他项目）．

（1）本次被调查的居民人数是多少？

（2）补全条形统计图；

（3）若该休闲公园辐射周边居民约1万人，爱好运动者占80%，请由此估计周边爱好运

动的居民中偏好器械锻炼的人数．

23.“2021湖南红色文化旅游节﹣﹣重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29

日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余

对该宝塔的高度进行了测量．如图所示，在山坡上的

A

点测得塔底

B

的仰角∠

BAC

＝13°，

塔顶

D

的仰角∠

DAC

＝38°，斜坡

AB

＝50米，求宝塔

BD

的高（精确到1米）．

（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin38°≈0.62，cos38°

≈0.79，tan38°≈0.78）

24为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）﹣益（阳）﹣常（德）高铁，其中

长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40

千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开

通后的高铁的．

（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？

（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的

长度比为7：9，计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确

保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？

25如图，在等腰锐角三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，过点

B

作

BD

⊥

AC

于

D

，延长

BD

交△

ABC

的外

接圆于点

E

，过点

A

作

AF

⊥

CE

于

F

，

AE

，

BC

的延长线交于点

G

．

（1）判断

EA

是否平分∠

DEF

，并说明理由；

（2）求证：①

BD

＝

CF

；

②

BD

＝

DE

+

AE

•

EG

．

22

26已知函数

y

＝的图象如图所示，点

A

（

x

1

，

y

1

）在第一象限内的函数图象上．

（1）若点

B

（

x

2

，

y

2

）也在上述函数图象上，满足

x

2

＜

x

1

．

①当

y

2

＝

y

1

＝4时，求

x

1

，

x

2

的值；

②若|

x

2

|＝|

x

1

|，设

w

＝

y

1

﹣

y

2

，求

w

的最小值；

（2）过

A

点作

y

轴的垂线

AP

，垂足为

P

，点

P

关于

x

轴的对称点为

P

′，过

A

点作

x

轴

的垂线

AQ

，垂足为

Q

，

Q

关于直线

AP

′的对称点为

Q

′，直线

AQ

′是否与

y

轴交于某定

点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．﹣2021的相反数等于（ ）

A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣

【分析】根据相反数的定义即可得出答案．

【解答】解：﹣2021的相反数是2021，

故选：

A

．

2．已知

a

≠0，下列运算正确的是（ ）

A．3

a

﹣2

a

＝1 B．3

a

•2

a

＝6

a

C．

a

÷

a

＝

a

32

D．（2

a

）＝6

a

33

【分析】

A

．直接合并同类项判断结果是否正确；

B

．直接利用单项式乘单项式运算法则判断结果是否正确；

C

．直接利用同底数幂的除法运算法则判断结果是否正确；

D

．直接利用积的乘方运算法则判断结果是否正确．

【解答】解：

A

．3

a

﹣2

a

＝

a

，故此选项不合题意；

B

．3

a

•2

a

＝6

a

2

，故此选项不合题意；

C

．

a

3

÷

a

2

＝

a

，故此选项符合题意；

33

D

．（2

a

）＝8

a

，故此选项不合题意；

故选：

C

．

3．将

A．

化为最简二次根式，其结果是（ ）

B． C． D．

【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．

【解答】解：

故选：

D

．

4．解方程组

A．﹣2

y

＝﹣1

时，若将①﹣②可得（ ）

B．﹣2

y

＝1 C．4

y

＝1 D．4

y

＝﹣1

＝＝，

【分析】①﹣②得出（2

x

+

y

）﹣（2

x

﹣3

y

）＝3﹣4，再去括号，合并同类项即可．

【解答】解：

①﹣②，得4

y

＝﹣1，

故选：

D

．

，

5．正比例函数

y

＝2

x

与反比例函数

y

＝的图象或性质的共有特征之一是（ ）

A．函数值

y

随

x

的增大而增大

B．图象在第一、三象限都有分布

C．图象与坐标轴有交点

D．图象经过点（2，1）

【分析】利用正比例函数

y

＝2

x

与反比例函数

y

＝的性质，对每个选项进行判断后得出

结论．

【解答】解：∵对于正比例函数

y

＝2

x

，2＞0，函数值

y

随

x

的增大而增大，

对于反比例函数

y

＝，2＞0，双曲线在每一象限内函数值

y

随

x

的增大而减小，

∴

A

选项不符合题意；

∵对于正比例函数

y

＝2

x

，2＞0，直线

y

＝2

x

在第一、三象限，

对于反比例函数

y

＝，2＞0，双曲线的两个分支在第一、三象限，

∴

B

选项符合题意；

∵对于正比例函数

y

＝2

x

，它的图象经过原点，

对于反比例函数

y

＝，它的图象与坐标轴没有交点，

∴

C

选项不符合题意；

∵当

x

＝2，

y

＝2×2＝4≠1

∴正比例函数

y

＝2

x

的图象不经过点（2，1）．

∵当

x

＝2时，

y

＝，

∴反比例函数

y

＝的图象经过（2，1），

∴

D

选项不符合题意．

综上，正确选项为：

B

．

故选：

B

．

6．以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的

图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

【解答】解：

A

．不是中心对称图形，符合题意；

B

．是中心对称图形，不符合题意；

C

．是中心对称图形，不符合题意；

D

．是中心对称图形，不符合题意．

故选：

A

．

7．如图，

AB

∥

CD

，△

ACE

为等边三角形，∠

DCE

＝40°，则∠

EAB

等于（ ）

A．40° B．30° C．20° D．15°

【分析】根据平行线的性质可得∠

DCA

+∠

CAB

＝180°，即∠

DCE

+∠

ECA

+∠

EAC

+∠

EAB

＝

180°，由△

ACE

为等边三角形得∠

ECA

＝∠

EAC

＝60°，即可得出∠

EAB

的度数．

【解答】解：∵

AB

∥

CD

，

∴∠

DCA

+∠

CAB

＝180°，即∠

DCE

+∠

ECA

+∠

EAC

+∠

EAB

＝180°，

∵△

ACE

为等边三角形，

∴∠

ECA

＝∠

EAC

＝60°，

∴∠

EAB

＝180°﹣40°﹣60°﹣60°＝20°．

故选：

C

．

8．如图，在△

ABC

中，

AC

＞

BC

，分别以点

A

，

B

为圆心，以大于

AB

的长为半径画弧，两弧

交于

D

，

E

，经过

D

，

E

作直线分别交

AB

，

AC

于点

M

，

N

，连接

BN

，下列结论正确的是（ ）

A．

AN

＝

NC

B．

AN

＝

BN

C．

MN

＝

BC

D．

BN

平分∠

ABC

【分析】直接利用线段垂直平分线的性质求解．

【解答】解：由作法得

DE

垂直平分

AB

，

∴

NA

＝

NB

．

故选：

B

．

9．小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不

能正常上班（如下雨）的工资为80元/天，如果某月（30天）正常上班的天数占80%，

则当月小刘的日平均工资为（ ）

A．140元 B．160元 C．176元 D．182元

【分析】利用加权平均数的计算方法求解即可．

【解答】解：[200×30×80%+80×30×（1﹣80%）]÷30

＝（4800+480）÷30

＝176（元），

故选：

C

．

10．如图，已知▱

ABCD

的面积为4，点

P

在

AB

边上从左向右运动（不含端点），设△

APD

的

面积为

x

，△

BPC

的面积为

y

，则

y

关于

x

的函数图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据平行四边形的性质可知，当点

P

在

A

处时（即

x

＝0），△

BPC

的面积为2，

当点

P

运动到

B

时（即

x

＝2），△

BPC

的面积为0，因为△

BPC

的底边

AP

边上的高不变，

所以

y

是

x

的一次函数，据此判断即可．

【解答】解：∵▱

ABCD

的面积为4，

∴当

x

＝0时，

y

＝2；

x

＝2时，

y

＝0；

∵△

BPC

的底边

AP

边上的高不变，

∴

y

是

x

的一次函数，

故只有选项

B

符合题意．

故选：

B

．

二．填空题（共8小题）

11．若实数

a

的立方等于27，则

a

＝ 3 ．

【分析】根据立方根的定义即可得出答案．

【解答】解：∵

a

＝27，

∴

a

＝＝3，

3

故答案为：3．

12．一元二次方程

x

﹣3

x

＝0的解是

x

1

＝0，

x

2

＝3 ．

【分析】首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．

【解答】解：

x

﹣3

x

＝0，

2

2

x

（

x

﹣3）＝0，

∴

x

1

＝0，

x

2

＝3．

故答案为：

x

1

＝0，

x

2

＝3．

13．已知

x

满足不等式组，写出一个符合条件的

x

的值 0 ．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案．

【解答】解：解不等式

x

﹣2≤0，得：

x

≤2，

又

x

＞﹣1，

∴不等式组的解集为﹣1＜

x

≤2，

∴符合不等式组的

x

的值为0或1或2等，

故答案为：0（答案不唯一）．

14．小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具，

则他选到锄头的概率是 ．

【分析】由小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种

劳动工具，利用概率公式可求他选到锄头的概率．

【解答】解：∵小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用

一种劳动工具，

∴他选到锄头的概率是：．

故答案为：．

15．已知

y

是

x

的二次函数，如表给出了

y

与

x

的几对对应值：

x

y

…

…

﹣2

11

﹣1 0

3

1

2

2

3

3

6

4

11

…

…

a

由此判断，表中

a

＝ 6 ．

【分析】确定二次函数的对称轴，利用二次函数的对称性即可求解．

【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3），

∴对称轴为

x

＝＝1，

∴

x

＝﹣1时的函数值等于

x

＝3时的函数值，

∵当

x

＝3时，

y

＝6，

∴当

x

＝﹣1时，

a

＝6．

故答案为：6．