2022年四川省成都市中考数学真题(含解析)

2024年3月21日发(作者：小学数学试卷全套解析下册)

2022

年四川省成都市中考数学试题及答案数学

A

卷

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（本大题共

8

个小题，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）

3

的相反数是（ ）

7

3

3

A. B.

-

7

7

1.

-

C.

-

7

3

D.

7

3

2. 2022

年

5

月

17

日，工业和信息化部负责人在“

2022

世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已

建成

5G

基站近

160

万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设

5G

网络的国家．将数据

160

万用科学

记数法表示为（

）

A.

1.6´10

2

B.

1.6´10

5

C.

1.6´10

6

D.

1.6´10

7

3.

下列计算正确的是（

）

A

m+m=m

2

B.

D.

2

(

m-n

)

=2m-n

(m+3)(m-3)=m

2

-9

C.

(m+2n)

2

=m

2

+4n

2

4.

如图，在

!ABC

和

!DEF

中，点

A

，

E

，

B

，

D

在同一直线上，

AC!DF

，

AC=DF

，只添加一

个条件，能判定

△ABC≌△DEF

的

是（

）

x

z

.

k

x

A.

BC=DE

m

o

c

B.

AE=DB

C.

ÐA=ÐDEF

D.

ÐABC=ÐD

5.

在中国共产主义青年团成立

100

周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读

服务活动，报名人数分别为：

56

，

60

，

63

，

60

，

60

，

72

，则这组数据的众数是（

）

A. 56 B. 60 C. 63 D. 72

6.

如图，正六边形

ABCDEF

内接于⊙

O

，若⊙

O

的周长等于

6

p

，则正六边形的边长为（

）

A.

3

B.

6

C. 3 D.

23

7.

中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买

苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其

中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有

x

个，甜果有

y

个，则可列方程组为（

）

ì

x

+

y

=

1000

ï

A.

í

4

11

x

+

y

=

999

ï

9

î

7

ì

x

+

y

=

1000

ï

B.

í

7

9

x

+

y

=

909

ï

11

î

4

ì

x

+

y

=

1000

C.

í

7x

+

9y

=

999

î

8.

如图，二次函数

y=ax

2

+bx+c

法正确的是（

）

的

ì

x

+

y

=

1000

D.

í

4x

+

11y

=

999

î

图像与

x

轴相交于

A

(

-1,0

)

，

B

两点，对称轴是直线

x=1

，下列说

x

o

c

.

k

x

z

m

A.

a>0

C.

点

B

的坐标为

(

4,0

)

B.

当

x>-1

时，

y

的值随

x

值的增大而增大

D.

4a+2b+c>0

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共

5

个小题）

9.

计算：

-a

3

()

2

=

______．

10.

关于

x

的反比例函数

y

=

m

-

2

的图像位于第二、四象限，则

m

的取值范围是________．

x

11.

如图，

!ABC

和

!DEF

是以点

O

为位似中心的位似图形．若

OA:AD=2:3

，则

!ABC

与

!DEF

的

周长比是_________．

12.

分式方程

3

-

x1

+=

1

的解是

_________

．

x

-

44

-

x

13.

如图，在

!ABC

中，按以下步骤作图：①分别以点

B

和

C

为圆心，以大于

1

BC

的长为半径作弧，两

2

弧相交于点

M

和

N

；②作直线

MN

交边

AB

于点

E

．若

AC=5

，

BE=4

，

ÐB=45°

，则

AB

的长为

_________．

三、解答题（本大题共

5

个小题）

æ

1

ö

14.

计算：

ç÷

-

9

+

3tan30

°+

3

-

2

．

è

2

ø

-

1

ì

3(x

+

2)

³

2x

+

5

①

ï

（

2

）解不等式组：

í

x

．

x

-

2

②

ï

2

-

1

<

3

î

15. 2022

年

3

月

25

日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（

2022

年版）》，优化了课程设置，将劳

动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体

验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如

下不完整的统计图表．

m

o

c

.

k

x

x

z

等级 时长：（单位：分钟） 人数

4

20

所占百分比

A

B

0£t<2

2£t<4

4£t<6

t³6

x

36%

C

D

16%

根据图表信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生总人数为

_________

，表中

x

的值为

_________

；

（2）该校共有

500

名学生，请你估计等级为

B

z

的

学生人数；

（3）本次调查中，等级为

A

的

4

人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，

请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

16. 2022

年

6

月

6

日是第

27

个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边

缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角

ÐAOB=150°

时，顶部边缘

A

处离

桌面的高度

AC

的长为

10cm

，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄

金比知识，发现当张角

ÐA

¢

OB=108°

时（点

A

¢

是

A

的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘

（结果精确到

1cm

；参考数据：

sin72°»0.95

，

cos72°»0.31

，

A

¢

处离桌面的高度

A

¢

D

的长．

m

o

c

.

k

x

x

tan72°»3.08

）

17.

如图，在

Rt△ABC

中，

ÐACB=90°

，以

BC

为直径作⊙

O

，交

AB

边于点

D

，在

CD

上取一点

E

，使

BE=CD

，连接

DE

，作射线

CE

交

AB

边于点

F

．

（

1

）求证：

ÐA=ÐACF

；

（

2

）若

AC=8

，

cosÐACF=

4

，求

BF

及

DE

的长．

5

18.

如图，在平面直角坐标系

xOy

中，一次函数

y=-2x+6

的图象与反比例函数

y

=

k

的图象相交于

x

A

(

a,4

)

，

B

两点．

k

x

o

c

.

x

z

（1）求反比例函数的表达式及点

B

的坐标；

（2）过点

A

作直线

AC

，交反比例函数图象于另一点

C

，连接

BC

，当线段

AC

被

y

轴分成长度比为

1:2

的两部分时，求

BC

的长；

（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为

“

完美筝形

”

．设

P

是

第三象限内的反比例函数图象上一点，

Q

是平面内一点，当四边形

ABPQ

是完美筝形时，求

P

，

Q

两点

的坐标．

m

B

卷

一、填空题（本大题共

5

个小题）

19.

已知

2a

2

-7=2a

，则代数式

ç

a

-

æ

è

2a

-

1

ö

a

-

1

÷

÷

2

的值为_________．

a

ø

a

20.

若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程

x

2

-6x+4=0

的两个实数根，则这个直角三

角形斜边的长是_________．

21.

如图，已知⊙

O

是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点

取在阴影部分的概率是_________．

22.

距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度

h

（米）与物体运动的时间

t

（秒）之间满足函数关系

h=-5t

2

+mt+n

，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面

20

米，物体从

发射到落地的运动时间为

3

秒．设

w

表示

0

秒到

t

秒时

h

的值的

“

极差

”

（即

0

秒到

t

秒时

h

的最大值与最小

值的差），则当

0£t£1

时，

w

的取值范围是

_________

；当

2£t£3

时，

w

的取值范围是

_________

．

23.

如图，在菱形

ABCD

中，过点

D

作

DE^CD

交对角线

AC

于点

E

，连接

BE

，点

P

是线段

BE

上一

动点，作

P

关于直线

DE

的对称点

P

¢

，点

Q

是

AC

上一动点，连接

P

¢

Q

，

DQ

．若

AE=14

，

CE=18

，则

DQ-P

¢

Q

的最大值为

_________

．

二、解答题

24.

随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道

骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是

m

o

c

.

k

x

x

z

18km/h

，乙骑行的路程

s

(

km

)

与骑行的时间

t

(

h

)

之间的关系如图所示．

（

1

）直接写出当

0£t£0.2

和

t>0.2

时，

s

与

t

之间的函数表达式；

（

2

）何时乙骑行在甲的前面？

25.

如图，在平面直角坐标系

xOy

中，直线

y=kx-3

(

k¹0

)

与抛物线

在点

B

的

y=-x

2

相交于

A

，

B

两点（点

A

左侧），点

B

关于

y

轴的对称点为

B

¢

．

（2）连接

OA

，

OB

，

AB

¢

，

BB

¢

，若

VB

¢

AB

的面积与

!OAB

的面积相等，求

k

的值；

（3）试探究直线

AB\'

是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

26.

如图，在矩形

ABCD

中，

AD=nAB

，连

(

n>1

)

，点

E

是

AD

边上一动点（点

E

不与

A

，

D

重合）

接

BE

，以

BE

为边在直线

BE

的右侧作矩形

EBFG

，使得矩形

EBFG∽

矩形

ABCD

，

EG

交直线

CD

于

点

H

．

m

（1）当

k=2

时，求

A

，

B

两点的坐标；

o

c

.

k

x

x

z

（1）【尝试初探】在点

E

的运动过程中，

△ABE

与

△DEH

始终保持相似关系，请说明理由．

（2）【深入探究】若

n=2

，随着

E

点位置的变化，

H

点的位置随之发生变化，当

H

是线段

CD

中点时，

求

tanÐABE

的值．

（3）【拓展延伸】连接

BH

，

FH

，当

△BFH

是以

FH

为腰的等腰三角形时，求

tanÐABE

的值（用含

n

的代数式表示）．

2022

年四川省成都市中考数学试题及答案数学

A

卷

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（本大题共

8

个小题，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题

目要求）

1.

-

A.

3

的相反数是（ ）

7

B.

-

3

7

3

7

C.

-

7

3

D.

7

3

【答案】

A

【解析】

【分析】直接根据相反数的求法求解即可．

【详解】解：任意一个实数

a

的相反数为

-a

由

−

33

的相反数是

；

77

故选

A

．

【点睛】本题主要考查相反数，熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键．

2. 2022

年

5

月

17

日，工业和信息化部负责人在“

2022

世界电信和信息社会日”大会上宣

布，我国目前已建成

5G

基站近

160

万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设

5G

网

络的国家．将数据

160

万用科学记数法表示为（

）

A.

1.6´10

2

B.

1.6´10

5

C.

1.6´10

6

D.

1.6´10

7

【答案】

C

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为

a×10

n

的形式，其中

1≤|a|

＜

10

，

n

为整数．确定

n

的值

时，要看把原数变成

a

时，小数点移动了多少位，

n

的绝对值与小数点移动的位数相

同．当原数绝对值

≥10

时，

n

是非负数；当原数的绝对值＜

1

时，

n

是负数．

【详解】解答：解：

160

万

=1600000=

1.6´10

6

，

故选：

C

．

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为

a×10

n

的形式，其中

1≤|a|

＜

10

，

n

为整数，表示时关键要正确确定

a

的值以及

n

的值．

3.

下列计算正确的是（

）

A.

m+m=m

2

B.

2

(

m-n

)

=2m-n

C.

(m+2n)

2

=m

2

+4n

2

【答案】

D

【解析】

D.

(m+3)(m-3)=m

2

-9

【分析】根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行

运算，即可一一判定．

【详解】解：

A.

m+m=2m

，故该选项错误，不符合题意；

B.

2

(

m-n

)

=2m-2n

，故该选项错误，不符合题意；

C.

(m+2n)

2

=m

2

+4mn+4n

2

，故该选项错误，不符合题意；

D.

(m+3)(m-3)=m

2

-9

，故该选项正确，符合题意；

故选：

D

．

【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公

式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．

4.

如图，在

!ABC

和

!DEF

中，点

A

，

E

，

B

，

D

在同一直线上，

AC!DF

，

AC=DF

，只添加一个条件，能判定

△ABC≌△DEF

的是（

）

A.

BC=DE

B.

AE=DB

m

o

c

.

k

x

x

z

C.

ÐA=ÐDEF

D.

ÐABC=ÐD

【答案】

B

【解析】

【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可．

【详解】

A

、

BC=DE

，不能判断

△ABC≌△DEF

，选项不符合题意；

B

、

AE=DB

，利用

SAS

定理可以判断

△ABC≌△DEF

，选项符合题意；

C

、

ÐA=ÐDEF

，不能判断

△ABC≌△DEF

，选项不符合题意；

D

、

ÐABC=ÐD

，不能判断

△ABC≌△DEF

，选项不符合题意；

故选：

B

．

【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据

SSS

、

SAS

、

ASA

、

AAS

判断三角形全等，找出

三角形全等的条件是解答本题的关键．

5.

在中国共产主义青年团成立

100

周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香

成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：

56

，

60

，

63

，

60

，

60

，

72

，则这组数据众

的

数是（

）

A.

56

【答案】

B

【解析】

【分析】结合题意，根据众数的性质分析即可得到答案．

【详解】根据题意，

56

，

60

，

63

，

60

，

60

，

72

这组数据的众数是：

60

故选：

B

．

【点睛】本题考查了众数的知识；解题的关键是熟练掌握众数的定义：

众数是指在统计分

布上具有明显集中趋势点的数值，也就是一组数据中出现次数最多的数值．

6.

如图，正六边形

ABCDEF

内接于⊙

O

，若⊙

O

的周长等于

6

p

，则正六边形的边长为

（

）

B.

60

C.

63

D.

72

A.

3

【答案】

C

【解析】

B.

6

C.

3

D.

23

【分析】连接

OB

，

OC

，由⊙

O

的周长等于

6π

，可得⊙

O

的半径，又由圆的内接多边形的

性质，即可求得答案．

【详解】解：连接

OB

，

OC

，

m

o

c

.

∵⊙

O

的周长等于

6π

，

∴⊙

O

的半径为：

3

，

∵∠

BOC

=

1

´

360

°＝

60

°，

6

k

x

x

z

∵

OB

＝

OC

，

∴△

OBC

是等边三角形，

∴

BC

＝

OB

＝

3

，

∴它的内接正六边形

ABCDEF

的边长为

3

，

故选：

C

．

【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应

用．

7.

中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买

一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文

钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九

个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有

x

个，甜果有

y

个，则可列方程组为（

）

ì

x

+

y

=

1000

ï

A.

í

4

11

x

+

y

=

999

ï

9

î

7

ì

x

+

y

=

1000

ï

B.

í

79

x

+

y

=

909

ï

11

î

4

ì

x

+

y

=

1000

C.

í

7x

+

9y

=

999

î

【答案】

A

【解析】

ì

x

+

y

=

1000

D.

í

4x

+

11y

=

999

î

【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．

【详解】解：设苦果有

x

个，甜果有

y

个，由题意可得，

ì

x

+

y

=

1000

ï

11

í

4

x

+

y

=

999

ï

9

î

7

故选：

A

．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的有关知识，正确找到相等关系是

解决本题的关键．

8.

如图，二次函数

y=ax

2

+bx+c

的图像与

x

轴相交于

A

(

-1,0

)

，

B

两点，对称轴是直

线

x=1

，下列说法正确的是（

）

.

A.

a>0

而增大

C. 点

B

的坐标为

(

4,0

)

【答案】

D

【解析】

B. 当

x>-1

时，

y

的值随

x

值的增大

D.

4a+2b+c>0

【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．

【详解】解：

A

、根据图像可知抛物线开口向下，即

a<0

，故该选项不符合题意；

B

、根据图像开口向下，对称轴为

x=1

，当

x>1

，

y

随

x

的增大而减小；当

x<1

，

y

随

x

的增大而增大，故当

-1

时，

y

随

x

的增大而增大；当

x>1

，

y

随

x

的增大而减

小，故该选项不符合题意；

C

、根据二次函数

y=ax

2

+bx+c

的图像与

x

轴相交于

A

(

-1,0

)

，

B

两点，对称轴是直线

x=1

，可得对称轴

x

=

D

、根据

B

(

3,0

)

可知，当

x=2

时，

y=4a+2b+c>0

，故该选项符合题意；

m

故选：

D

．

【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以

及抛物线与

x

轴交点

A

(

-1,0

)

得到

B

(

3,0

)

是解决问题的关键．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共

5

个小题）

9.

计算：

-a

3

【答案】

a

6

【解析】

【分析】根据幂的乘方可直接进行求解．

【详解】解：

-a

3

()

2

=

______．

()

2

=a

6

；

o

c

.

k

x

x

z

x

B

+

(

-1

)

=

1

，解得

x

B

=3

，即

B

(

3,0

)

，故该选项不符合题意；

2

故答案为

a

6

．

【点睛】本题主要考查幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键．

10.

关于

x

的反比例函数

y

=

________．

【答案】

m<2

【解析】

【分析】根据反比例函数的性质即可确定

m-2

的符号，从而求解．

【详解】根据题意得：

m-2

＜

0

，

解得：

m

＜

2

．

故答案为：

m

＜

2

．

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数

y

＝

m

-

2

的图像位于第二、四象限，则

m

的取值范围是

x

k

（

k≠0

），（

1

）

k

＞

0

，反比

x

例函数图象在一、三象限；（

2

）

k

＜

0

，反比例函数图象在第二、四象限内．

11.

如图，

!ABC

和

!DEF

是以点

O

为位似中心的位似图形．若

OA:AD=2:3

，则

!ABC

与

!DEF

的周长比是_________．

x

c

.

k

x

o

z

【答案】

2:5

【解析】

【分析】根据位似图形的性质，得到

DOCA!DOFD

，根据

OA:AD=2:3

得到相似比为

CAOAOA2

===

，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论．

FDODOA

+

AD5

【详解】解：

!

!ABC

和

!DEF

是以点

O

为位似中心的位似图形，

DOCA!DOFD

，

CAOA

，

=

FDOD

=2:3

，

!

OA:AD

CAOAOA2

===

，

FDODOA

+

AD5

m

根据

!ABC

与

!DEF

的周长比等于相似比可得

故答案为：

2:5

．

C

D

ABC

CA2

==

，

C

D

DEF

FD5

【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性

质是解决问题的关键．

12.

分式方程

3

-

x1

+=

1

的解是_________．

x

-

44

-

x

【答案】

x=3

【解析】

【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利

用去括号法则去括号，移项合并，将

x

的系数化为

1

，求出

x

的值，将求出的

x

的值代入最

简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解．

【详解】解：

3

-

x1

+=

1

x

-

44

-

x

解：化

为

整式方程为：

3

﹣

x

﹣

1

＝

x

﹣

4

，

解得：

x

＝

3

，

经检验

x

＝

3

是原方程的解，

故答案为：

x=3

．

【点睛】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根，熟练掌握分式方程的

解法是关键．

13.

如图，在

!ABC

中，按以下步骤作图：①分别以点

B

和

C

为圆心，以大于

.

1

BC

的长

2

为半径作弧，两弧相交于点

M

和

N

；②作直线

MN

交边

AB

于点

E

．若

AC=5

，

BE=4

，

ÐB=45°

，则

AB

的长为_________．

【答案】

7

【解析】

【分析】连接

EC

，依据垂直平分线的性质得

EB=EC

．由已知易得

ÐBEC＝ÐCEA=90°

，在

Rt

△

AEC

中运用勾股定理求得

AE

，即可求得答案．

【详解】解：由已知作图方法可得，

MN

是线段

BC

的垂直平分线，

连接

EC

，如图，

所以

BE=CE

，

所以

ÐECB=ÐB=45°

，

所以∠

BEC=

∠

CEA=90°

，

因为

AC=5

，

BE=4

，

所以

CE=4

，

在

△AEC

中，

AE=AC

2

-EC

2

=5

2

-4

2

=3

，

所以

AB=AE+BE=3+4=7

，

因此

AB

的长为

7

．

故答案为：

7

．

【点睛】本题主要考查中垂线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是

掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等，由勾股定理求得

AE

即可．

x

三、解答题（本大题共

5

个小题）

x

z

æ

1

ö

14.

计算：

ç÷

-

9

+

3tan30

°+

3

-

2

．

è

2

ø

ì

3(x

+

2)

³

2x

+

5

①

ï

（

2

）解不等式组：

í

x

．

x

-

2

②

ï

2

-

1

<

3

î

【答案】（

1

）

1

；（

2

）

-1£x<2

【解析】

o

c

-

1

.

k

【分析】（

1

）本题涉及负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简

4

个

考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结

果．

（

2

）分别解出两个不等式的解集再求其公共解．

【详解】解：

m

æ

1

ö

（

1

）

ç÷

-

9

+

3tan30

°+

3

-

2

è

2

ø

=

2

-

3

+

3

´

-

1

3

+

2

-

3

3

=

-1+3+2-3

=1

．

ì

3(x

+

2)

³

2x

+

5

①

ï

（

2

）

í

x

x

-

2

-

1

<②

ï

23

î

不等式①的解集是

x≥-1

；

不等式②的解集是

x

＜

2

；

所以原不等式组的解集是

-1≤x

＜

2

．

【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型，解决此

类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式等考点

的运算．求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间

找，大大小小解不了．

15. 2022

年

3

月

25

日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（

2022

年版）》，优化了

课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，

组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个

粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．

等级

A

B

时长：（单位：分钟）

x

z

人数

c

.

所占百分比

0£t<2

2£t<4

4£t<6

t³6

k

x

4

20

x

36%

C

D

m

o

16%

根据图表信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生总人数为

_________

，表中

x

的值为

_________

；

（2）该校共有

500

名学生，请你估计等级为

B

的学生人数；

（3）本次调查中，等级为

A

的

4

人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行

活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

【答案】（

1

）

50

，

8%

（

2

）

200

（

3

）

【解析】

【分析】（

1

）利用概率计算公式先求出总人数，再求出等级为

A

的学生人数；

（

2

）利用概率计算公式先求出等级为

B

的学生所占的百分比，再求出等级为

B

的学生人

数；

（

3

）记两名男生为

a

，

b

，记两名女生为

c

，

d

，通过列出表格列出所有可能的结果，用恰

有一男一女的结果数除以总的结果数，即可得到恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

【小问

1

详解】

解：∵

D

组人数为

8

人，所占百分比为

16%

，

∴总人数为

8÷16%=50

人，

∴

x=4÷50=8%

．

【小问

2

详解】

解：等级为

B

的学生所占的百分比为

20÷50=40%

，

∴等级为

B

的学生人数为

500´40%=200

人．

【

2

3

小问

3

详解】

解：记两名男生为

a

，

b

，记两名女生为

c

，

d

，列出表格如下：

∴一共有

12

种情况，其中恰有一男一女的有

8

种，

∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率

P=

82

=

．

123

【点睛】本题考查了列表法与树状图法，概率计算公式的熟练应用是解答本题的关键．

16. 2022

年

6

月

6

日是第

27

个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张

角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角

ÐAOB=150°

时，顶部边缘

A

处离桌面的高度

AC

的长为

10cm

，此时用眼舒适度不太

理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角

，用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘

A

¢

处离

ÐA

¢

OB=108°

时（点

A

¢

是

A

的对应点）

桌面的高度

A

¢

D

的长．（结果精确到

1cm

；参考数据：

sin72°»0.95

，

cos72°»0.31

，

tan72°»3.08

）

【答案】约为

19cm

【解析】

【分析】在

Rt

△

ACO

中，根据正弦函数可求

OA=20cm

，在

Rt

△

A

¢

DO

中，根据正弦函数

求得

A

¢

D

的值．

【详解】解：在

Rt

△

ACO

中，∠

AOC=180°-

∠

AOB=30°

，

AC=10cm

，

OC10

==

20

∴

OA=

sin30

，

1

2

在

Rt

△

A

¢

DO

中，

AOC180AOB72

，

OA

¢

=OA=20

cm

，

o

c

.

k

x

∴

AD=OA!sin72盎唇200.9519

cm

．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．

17.

如图，在

Rt△ABC

中，

ÐACB=90°

，以

BC

为直径作⊙

O

，交

AB

边于点

D

，在

m

CD

上取一点

E

，使

BE=CD

，连接

DE

，作射线

CE

交

AB

边于点

F

．

x

z

（1）求证：

ÐA=ÐACF

；

（2）若

AC=8

，

cosÐACF=

4

，求

BF

及

DE

的长．

5

【答案】（

1

）见解析

（

2

）

BF=5

，

DE=

【解析】

42

25

【分析】（

1

）根据

Rt△ABC

中，

ÐACB=90°

，得到∠

A+

∠

B=

∠

ACF+

∠

BCF=90°

，根

据

BE=CD

，得到∠

B=

∠

BCF

，推出∠

A=

∠

ACF

；

（

2

）根据∠

B=

∠

BCF

，∠

A=

∠

ACF

，得到

AF=CF

，

BF=CF

，推出

AF=BF=

2

AB

，根据

1

cos

Ð

ACF

=

cosA

=

AC4

=

，

AC=8

，得到

AB=10

，得到

BF=5

，根据

AB5

BC=AB-AC=6

，得到

sinA

=

22

BC3

=

，连接

CD

，根据

BC

是⊙

O

的直径，得到

AB5

BD3

=

，推出

BC5

∠

BDC=90°

，推出∠

B+

∠

BCD=90°

，推出∠

A=

∠

BCD

，得到

sin

Ð

BCD

=

BD=

187

，得到

DF=BF-BD=

，根据∠

FDE=

∠

BCE

，∠

B=

∠

BCE

，得到

55

DEDF42

，得到

DE=

．

=

BCBF25

∠

FDE=

∠

B

，推出

DE

∥

BC

，得到△

FDE

∽△

FBC

，推出

【小问

1

详解】

解：∵

Rt△ABC

中，

ÐACB=90°

，

∴∠

A+

∠

B=

∠

ACF+

∠

BCF=90°

，

∵

BE=CD

，

∴∠

B=

∠

BCF

，

∴∠

A=

∠

ACF

；

【小问

2

详解】

∵∠

B=

∠

BCF

，∠

A=

∠

ACF

∴

AF=CF

，

BF=CF

，

∴

AF=BF=

2

AB

，

∵

cos

Ð

ACF

=

cosA

=

∴

AB=10

，

∴

BF=5

，

∵

BC=

∴

sinA

=

1

x

o

c

.

k

x

z

AC4

=

，

AC=8

，

AB5

AB

2

-AC

2

=6

，

BC3

=

，

AB5

连接

CD

，∵

BC

是⊙

O

的直径，

m