2017年全国高考理科数学试题及答案-全国1卷

2024年4月12日发(作者：贵港市三模试题数学试卷)

绝密★启用

前

2017

年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷 5页，23 小题，满分 150分。考试用时 120分钟。

注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在

答题卡上。

用 2B 铅笔将试卷类型（ B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横

贴在答题 卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔在答题卡上对应题

目选项的答 案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂

其他答案。答案不能 答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题

卡各题目 指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，

然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无

效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项

中，只有

项是符合题目要求的。

3．

已知集合

A x|x

1．

A．

AI B {x|x

C．

AUB {x|x

1

，

B {x|3

x

1}

，则

0}

1}

B．

AUB

D．

AI B

如图，正方形

ABCD

内的图形来自中国古代的太极图

. 正方形内

2．

圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称

. 在正

形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

1

A．

4

C

．

1

2

设有下面四个命题

1

p

1

：若复数

z

满足

R

，则

z R

；

p,z

z

3

：若复数

z

12

满足

z

1

z

2

R

，则

z

1

其中的真命题为

A．

p

1

,p

3

B．

p

1

,

p

4

3．

B．

8

D．

4

p

2

：若复数

z

满足

z

2

R

，则

z

R

；

z

2

；

p

4

：若复数

z

R

，则

z

R

.

C．

p

2

,

D．

p

2

,

p

3

p

4

4．记

S

n

为等差数列

{a

n

}

的前

n

项和．若

a

4

a

5

24

，

S

6

f(x) )f

(1)

48

，则

{a

n

}

的公差

为

D．

8

1

则满足

1

A．B．C．

1 2 4

5．函数 在 单调递减，且为奇函

，

数．若

的 的取值范围

是

C

A． B．

．

6

展开式中

2

的系数为

6．

1

2

C30

A．1B．2

．

5 0

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正

方形和等腰

直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角

三角形

f(x 2) 1

(

x

[ 2,2[ 1,1

]

(1 )(1 x)

x

]

x

[0,4

]

D

[1,3

．

]

D35

．

面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面

积之和为

A

10

．

B

12

．

C

14

．

D

16

．

8．右面程序框图是为了求出满足

nn

的最小

偶 数 ，那么在 和

两个空白框中， 可以分别

填入

A

和

．

B

．

和

C

3 2 1000

n

A

1000

n 1

n

A

1000

n n 2

1000

A n n 1

．

和

D

1000

A

和

n n 2

．

C:y cosx,

9．已知曲

C

2

1

线

面结论正确的

是

A

把

1

上各点的横坐标伸长到原

．

来的

单位长度，得到曲线

2

B

把

1

上各点的横坐标伸长到原

．

来的

:y sin(2x

2

3

)

，则下

C

2 倍，纵坐标不

变，

6

π

12

C

C

2 倍，纵坐标不

再把得到的曲线向左

变， 平移

1

1

倍，纵坐标不

个单位长度，得到曲线

C

2

C

把

C

1

上各点的横坐标缩短到

．

原来的

单位长度，得到曲线

变，

2

再把得到的曲线向右

平移

π

个

6

C

2

1

D．把

C

1

上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

1

2 12

个单位长度，得到曲线

C

2

2

10．已知

F

为抛物线

C:y

2

4x

的焦点，过

F

作两条互相垂直的直线

l

1

,l

2

，直线

l

1

与

C

交 于

A

、

B

两点，直线

l

2

与

C

交于

D

、

E

两点，则 |

AB

|+|

DE

|的最小值为

A．16 B．14

11．设

xyz

为正数，且

3

y

5

z

，则

C

12

．

D．10

B

A．

2x 3y 5z

5z 2x 3y

．

D

3y 2x 5z

C．

3y 5z 2x

．

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的

2

x

兴趣， 他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动 . 这款软件的激活码为下面

数学问题的

答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4， 8，16，⋯，其中

第一项 是

2

0

，接下来的两项是

2

0

,2

1

，再接下来的三项是

2

0

,2

1

,2

2

，依此类推。

求满足如下条 件的最小整数

N:N 100

且该数列的前

N

项和为 2的整数幂。那么

该款软件的激活码是

A．440

B．330 C．220

、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

|

a

|=2 ， |

b

|=1 ，则 |

a

+2

b

|= .

13．已知向量

a

，

b

的夹角为 60°，

D．110

x 2y 1

14．设

x,y

满足约束条件

2x y 1

，则

z 3x 2y

的最小值为

xy0

22

0,b 0）

的右顶点为

A

，以

A

为圆心，

b

为半径做

圆

A

，

15．已知双曲线

C :

x

2

y

2

1(a

a

2

圆

A

与双曲线

C

的一条渐近线交于

2

b

M

、

N

两点。若

MAN 60

o

，则

C

的离心率

为

16．如图，圆形纸片的圆心为

O

，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形

ABC

的中心

为

O

。

D

、

E

、

F

为圆

O

上的点，△

DBC

，△

ECA

，△

FAB

分别是以

BC

，

CA

，

AB

为底边的

等腰三角形。 沿虚线剪开后，分别以

BC

，

CA

，

AB

为折痕折起△

DBC

，△

ECA

，

△

FAB

，使得

D

、

E

、

F

重合，得到三棱锥。当△

ABC

的边长变化时，所得三棱锥

体积（单位： cm

3

）的最大值为

三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为

必考题，

每个试题考生都必须作答。第

、23 题为选考题，考生根据要求作答。 22

一）必考题：共 60 分。

B

，的对边分别为

a

，

b

，

c

，已知△

ABC

的面积为

17．

12 分）△

ABC

的内角

A

，

C

1)求

sinBsinC

;

2)若

6cos BcosC 1,a

18.

12 分）

如图，在四棱锥

a

3sin A

2

3

，求△

ABC

的周长 .

90

o

.

1）证明：平

面

PA

=

PD

=

AB

=

DC

，

APD 90

o

，求二面角

A

-

PB

-

C

的余弦值 .

2）若

19．

12 分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机

16 个

抽取

零件，并测量其尺寸（单位：

2

)

．

N( ,

产的零件的尺寸服从正态分布

cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生

1）假设生产状态正常，

记

X

表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在

（ 3 ,

3 ）

之外的零件数，求

P（X 1）

及

X

的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在

（ 3 , 3 ）

之外的零件，就认为这

条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：

9.95 10.12

9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04

10.26

经计算得

x

1

1

6

16

9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

x

i

9.97

，

s

1

16

(x

i

16

i 1

i

16

i 1

i

x)

2

16

i 1

i

1

(

16

x

i

2

16x

2

)

2

0.212

，

其中

x

i

为抽取的第

i

个零件的尺寸，

i 1,2, ,16

．

用样本平均数

x

作为 的估计值

?

，用样本标准差

s

作为 的估计值

?

，利用估计值

判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除

（ ? 3 ?, ? 3 ?）

之外的数据， 用剩下的

数据 估计 和 （精确到 0.01 ）．

附：若随机变量

Z

服从正态分布

N（ ,

2

）

，则

P（ 3 Z 3 ） 0.997 4

，

0.997 4

16

0.959 2

，

0.008 0.09

．

20. （12 分）

2

已知椭圆

C

：

x

2

2 a

2

y

b

2

=1

（

a

>

b

>0），四点

P

1

（1,1），

P

2

（0,1），

P

3

3

），

P

4

（–1，

）中恰有三点在椭圆

C

上 .

（ 1，

2

2

（ 1）求

C

的方程；

（ 2）设直线

l

不经过

P

2

点且与

C

相交于

A

，

B

两点。若直线

P

2

A

与直线

P

2

B

的斜

率的和为 – 1，证明：

l

过定点 .

21. （12 分）

已知函数

f （x） ae

2x

（a 2）e

x

x

（ 1）讨论

f （x）

的单调性；

（2）若

f （x）

有两个零点，求

a

的取值范围 .

（二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所

做的第 一题计分。

22． ［选修 4―4：坐标系与参数方程 ］ （10分）

在直角坐标系

xOy

中，曲线

C

的参数方程为 （

θ

为参数），直线

l

的参数方 y

sin ,

x 3cos ,

程为 （

为参数） . y 1 t,

x a 4t,

t

（ 1）若

a

=- 1，求

C

与

l

的交点坐标；

（2）若

C

上的点到

l

的距离的最大值为 17 ，求

a

.

23． ［选修 4—5：不等式选讲 ］（10 分）

已知函数

f（x） x

2

ax 4,g（x） | x 1| |x 1|

1）当

a 1

时，求不等式

f

（

x

）≥

g

（

x

）的解集；

2）若不等式

f

（

x

）≥

g

（

x

）的解集包含 [–1，1]，求

a

的取值范围