2024年4月12日发(作者：萧山统考小学数学试卷题型)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 立体几何大题（原卷版）

1

．(

2021

年高考全国甲卷理科)已知直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中,侧面

AA

1

B

1

B

为正方形,

ABBC2

,

E

,

F

分别为

AC

和

CC

1

的

中点,

D

为棱

A

1

B

1

上地点．

BFA

1

B

1

(

1

)证明：

BFDE

。

(

2

)当

B

1

D

为何值时,面

BB

1

C

1

C

与面

DFE

所成地二面角地正弦值最小

?

2

．(

2021

年高考全国乙卷理科)如图,四棱锥

PABCD

地底面是矩形,

PD

底面

ABCD

,

PDDC1

,

M

为

BC

地中点,且

PBAM

．

(

1

)求

BC

。

(

2

)求二面角

APMB

地正弦值．

3

．(

2020

年高考数学课标Ⅰ卷理科)如图,

D

为圆锥地顶点,

O

是圆锥底面地圆心,

AE

为底面直径,

AEAD

．

ABC

是底面地内接正三角形,

P

为

DO

上一点,

PO

6

DO

．

6

(

1

)证明：

PA

平面

PBC

。

(

2

)求二面角

BPCE

地余弦值．

4

．(

2020

年高考数学课标Ⅱ卷理科)如图,已知三棱柱

ABC-A

1

B

1

C

1

地底面是正三角形,侧面

BB

1

C

1

C

是矩

形,

M

,

N

分别为

BC

,

B

1

C

1

地中点,

P

为

AM

上一点,过

B

1

C

1

和

P

地平面交

AB

于

E

,交

AC

于

F

．

(

1

)证明：

AA

1

∥

MN

,且平面

A

1

AMN

⊥

EB

1

C

1

F

。

(

2

)设

O

为△

A

1

B

1

C

1

地中心,若

AO

∥平面

EB

1

C

1

F

,且

AO=AB

,求直线

B

1

E

与平面

A

1

AMN

所成角地正弦

值．

5

．(

2020

年高考数学课标Ⅲ卷理科)如图

,

在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中

,

点

E,F

分别在棱

DD

1

,BB

1

上

,

且

2DEED

1

,

BF2FB

1

．

(

1

)证明：点

C

1

在

平面

AEF

内。

(

2

)若

AB2

,

AD1

,

AA

1

3

,

求二面角

AEFA

1

地正弦值．

6

．(

2019

年高考数学课标Ⅲ卷理科)图

1

是由矩形

ADEB

,

Rt

△

ABC

和菱形

BFGC

组成地一个平面图形,其中

AB=1

,

BE=BF=2

,∠

FBC=60°

,将其沿

AB

,

BC

折起使得

BE

与

BF

重合,连结

DG

,如图

2

．

(

1

)证明：图

2

中地

A

,

C

,

G

,

D

四点共面,且平面

ABC

⊥平面

BCGE

。

(

2

)求图

2

中地二面角

B−CG−A

地大小．

D

E

A

C

B

F

G

A

D

E

(

F

)

C

图2

G

B

图1

7．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)如图,长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

地底面

ABCD

是正方形,点

E

在棱

AA

1

上,

BEEC

1

．

1

证明：

BE

平面

EB

1

C

1

。

2

若

AEA

1

E

,求二面角

BECC

1

地正弦值．

8．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)如图,直四棱柱

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

地底面是菱形,

AA

1

4,AB2,BAD60,E,M,N

分别是

BC

,

BB

1

,

A

1

D

地中点．

(1)证明：

MN//

平面

C

1

DE

。

(2)求二面角

AMA

1

N

地正弦值．

D

1

B

1

C

1

A

1

9．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)(12分)如图,边长为

2

地正方形

ABCD

N

所在平面与半圆弧

CD

平面垂

M

直,

M

是弧

CD

上异于

C,D

地点．

(1)证明：平面

AMD

平面

BMC

。

D

B

E

C

(2)当三棱锥

MABC

体积最大时,求面

MAB

与面

MCD

所成二面角地正弦值．

A

10．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)(12分)

如图,在三棱锥

PABC

中,

ABBC22

,

PAPBPCAC4

,

O

为

AC

地中点．

(1)证明：

PO

平面

ABC

。

(2)若点M在棱

BC

上,且二面角

MPAC

为

30

,求

PC

与平面PAM所成角地正弦值．

11．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)(12分)如图,四边形

ABCD

为正方形,

E,F

分别为

AD,BC

地中点,

以

DF

为折痕把

DCF

折起,使点

C

到达点

P

地位置,且

PFBF

．

(1)证明:平面

PEF

平面

ABFD

。

(2)求

DP

与平面

ABFD

所成角地正弦值．

12．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图,在四棱锥

PABCD

中,

AB//CD

,且

BAPCDP90

．

(1)证明:平面

PAB

平面

PAD

;

(2)若

PAPDABDC

,

APD90

,求二面角

APBC

地余弦值．

13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)如图,四面体

ABCD

中,

ABC

是正三角形,

ACD

是直角三角形,

ABDCBD

,

ABBD

．

(1)证明：平面

ACD

平面

ABC

。

(2)过

AC

地平面交

BD

于点

E

,若平面

AEC

把四面体

ABCD

分成体积相等地两部分,求二面角

DAEC

地余弦值．


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