2023年12月28日发(作者：五年数学试卷答题卡)

离散型概率分布

分布

单点分布

（退化分布）

0-1分布

描述

随机变量取a时，概率为1

一次随机试验中，只可能取两个值，则为0-1分布，如：抛硬币

进行n次0-1分布试验，出现某个事件的次数x服从二项分布，如放回抽样中，抽到某个事件的次数的概率

进行重复试验时，直到某个事件出现了r次时停止试验，此时试验进行次数X服从负二项分布，为二项分布的变体，注意到

最后一次一定是成功的，所以是

而不

是

负二项分布中，r=1时的特殊情况，即第1次试验成功时，试验进行的次数X的分布

利用排列组合公式对不放回抽样的精确计算，事实上，当N很大的时候，可以近超几何分布

似二项分布来计算，

，

约为1，此时，其期望和方差就近似二期分布的期望和方差。

用于描述单位度量的性质，比如说每小时有多少人挂掉，每秒有多少只虫子飞过，每平方米有多少粒子，每YY有X这样的计数型标量值X，就可以使用泊松分布计算

数学标记

参数

分布律或概率密度

数学期望

方差

二项分布

负二项分布

帕斯卡分布

，

几何分布

为整数

泊松分布

连续型概率分布

分布

描述

随机变量的概率密度在[a,b]区间上为常数数学标记 参数 分布律或概率密度

其它数学期望 方差

均匀分布

，则此随机变量服从均匀分布，意为在

某个区间内各取值是等可能的，概率的大小只与长度有关

最最最广泛的分布，没有之一。它表明随机变量具有某种集中性的性质，越向两边可能性越小，像抓一把沙，然后在固定的地方慢慢松开手，它就会在地上堆起一个切面为正态分布的小土堆（如果没风也没坑的话）。

正态分布

(高斯分布)

叫标准化变量，在正态

分布中叫标准正态变量，在后面的推断性统计中非常重要，叫Z分数

若

，则Y服从该分布。

以下来自百度百科：如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。

高斯分布描述的是在布朗运动中某一固定时刻的距离分布，而逆高斯分布描述的是到达固定距离所需时间的分布。

由它的来由可以看出，它一般应用于与时间有关的正态分布，比如某段时间的水流量，某段时间的还债情况，某段时间的寿命这些属于正态分布，就可以使用逆高斯分布来反过来求出达到某个水流量要多久，还债率达到多少要多久，寿命是多少的要多久等。

首先简单认识一下伽玛函数： ，它是阶乘的延拓

，伽玛分布的一个重要应用就是作为共轭分布出现在很多机器学习算法中

为伽玛分布的特殊形式，即当 时的伽玛分布，指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等

若n个相互独立的随机变量X₁、X₂、……、Xn ，均服从标准正态分布，则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布，卡方分布主要用来进行单总体方差检验，优度拟合检验、独立性检验（可以看作优度拟合的反向使用）

即若变量Xn服从 正态分布，则

服

从

分布，其中

对数正态分布

其它

逆高斯分布

其它

分布

(伽玛分布)

其它

指数分布

其它

分布

(卡方分布)

其它

非中心

分布

其它

当X服从指数分布时， 服从韦布尔韦布尔分布

分布，当 时为指数分布， 时为瑞利分布。

指数分布的镜像合体，用X与均值的绝对值来衡量随机变量的离散性，声音辨识和JPEG图像压缩的过程中用到

其它

拉普拉斯分布

瑞利分布

当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布。瑞利分布是最常见的用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统计时变特性的一种分布类型。两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布

是从大量真实世界的现象中发现的幂次定律分布，帕累托因对意大利20%的人口拥有80%的财产的观察而著名，后来被约瑟夫·朱兰和其他人概括为帕累托法则（80/20法则），后来进一步概括为帕累托分布的概念。被认为大致是Parto

Distribution的情况如下：1)在现代工业资本主义创造了大量中产阶级之前，财富在个人之间的分布。2)甚至在现代工业资本主义创造了大量中产阶级之后，财富在个人之间的分布。3)人类居住区的大小4)对维基百科条目的访问5)接近绝对零度时，爱因斯坦凝聚的团簇6)在互联网流量中文件尺寸的分布7)油田的石油储备数量8)龙卷风带来的灾难的数量

若X服从Weibull分布 ，则

服从 分布

其它

帕累托分布

极值分布

为欧拉常数

逻辑斯蒂分布 应用于机器学习方面

分布

(贝塔分布)

它两个形参决定了可以化身其它分布，以期望值为中心，1为参数界限， 参数控制左侧曲线的增减， 控制右侧曲线的减增，小于1时左减右增，大于1时左增右减，等于1时为均匀分布的直线。

应用例子：1）心理学家认为:一个正常人,在整个睡眠时间中,“异相”睡眠所占的比例服从β(12,48)；2） 一条干净的河流中,在给定的地点,溶解在水中的氧气达到饱和的部分,服从β(3,2)；3） 一批商品在销售过程中,相对跌价也服从β—分布

为伽玛分布的特殊形式，最开始是由两个标准正态分布之比而来

其它

柯西分布

不存在 不存在

，则称Y服从t分布，t分布

t分布

(学生氏分布)

主要用于假设检验的均值检验，特别对小样本检验和未知总体方差时候的检验，对于大于120的样本，t检验和正态的Z检验等效

0

非中心t分布

略

其它

其它

，则称Y服从F分布，主要

F分布 用于假设检验中方差齐性检验，比较两个样本的方差是否齐性，以及单/多因素试验中的方差分析

非中心F分布 略

m,n为二自由度


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分布,服从,检验