2024年4月10日发(作者：2017福建中考数学试卷)

学而思高中完整讲义：随机变量及其分布列版块二几类典型的随机分

布4学生版

知识内容

1． 离散型随机变量及其分布列

⑴离散型随机变量

如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量

X

来表示，并且

X

是随着试验的结

果的不同而变化的，我们把这样的变量

X

叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母

X,Y,

表示．

如果随机变量

X

的所有可能的取值都能一一列举出来，则称

X

为离散型随机变量．

⑵离散型随机变量的分布列

将离散型随机变量

X

所有可能的取值

x

i

与该取值对应的概率

p

i

(i1,2,,n)

列表表示：

X

P

x

1

p

1

x

2

p

2

…

…

x

i

p

i

…

…

x

n

p

n

我们称这个表为离散型随机变量

X

的概率分布，或称为离散型随机变量

X

的分布列．

2．几类典型的随机分布

⑴两点分布

如果随机变量

X

的分布列为

X

1

0

P

p

q

其中

0p1

，

q1p

，则称离散型随机变量

X

服从参数为

p

的二点分布．

二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为

1

，不合格记为

0

，已知产品的合格率

为

80%

，随机变量

X

为任意抽取一件产品得到的结果，则

X

的分布列满足二点分布．

X

1

0

P

0.8

0.2

两点分布又称

01

分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分

布又称为伯努利分布．

⑵超几何分布

一般地，设有总数为

N

件的两类物品，其中一类有

M

件，从所有物品中任取

n

件

(n≤N)

，

这

n

件中所含这类物品件数

X

是一个离散型随机变量，它取值为

m

时的概率为

nm

C

m

M

C

NM

(0≤m≤l

，

l

为

n

和

M

中较小的一个

)

．

P(Xm)

C

n

N

我们称离散型随机变量

X

的这种形式的概率分布为超几何分布，也称

X

服从参数为

N

，

M

，

n

的超几何分布．在超几何分布中，只要知道

N

，

M

和

n

，就可以根据公式求出

X

取不同

值时的概率

P(Xm)

，从而列出

X

的分布列．

⑶二项分布

1．独立重复试验

如果每次试验，只考虑有两个可能的结果

A

及

A

，并且事件

A

发生的概率相同．在相同的

条件下，重复地做

n

次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为

n

次独立重复

试验．

n

次独立重复试验中，事件

A

恰好发生

k

次的概率为

k

P

n

(k)C

n

p

k

(1p)

nk

(k0,1,2,,n)

．

2．二项分布

若将事件

A

发生的次数设为

X

，事件

A

不发生的概率为

q1p

，那么在

n

次独立重复试验

knk

中，事件

A

恰好发生

k

次的概率是

P(Xk)C

k

，其中

k0,1,2,

n

pq

的分布列

,n

．于是得到

X

X

P

0

0n

C

0

n

pq

1

1n1

C

1

n

pq

…

…

k

knk

C

k

n

pq

…

…

n

n0

C

n

n

pq

由于表中的第二行恰好是二项展

0n11n1kn0

(qp)

n

C

0

C

n

p

k

q

nk

C

n

n

pqC

n

pq

n

pq

各对应项的值，所以称这样的散型随机变量

X

服从参数为

n

，

p

的二项分布，

记作

X~B(n,p)

．

二项分布的均值与方差：

若离散型随机变量

X

服从参数为

n

和

p

的二项分布，则

E(X)np

，

D(x)npq(q1p)

．

开式

⑷正态分布

1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，

直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量

X

，则这条曲线称为

X

的概率密度曲线．

曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是

1

，而随机变量

X

落在指定的两个数

a，b

之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．

2．正态分布

⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总

体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现

y

象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．

x=μ

服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．

正态变量概率密度曲线的函数表达式为

f(x)

，

2π

xR

，其中

，

是参数，且

0

，





．

式中的参数

和

分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为

e

1

(x

)

2

2

2

、标准差为

的正态分布通常记作

N(

,

)

．

正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．

⑵标准正态分布：我们把数学期望为

0

，标准差为

1

的正态分布叫做标准正态分布．

⑶重要结论：

①正态变量在区间

(

,

)

，

(

2

,

2

)

，

(

3

,

3

)

内，取值的概率分别

是

68.3%

，

95.4%

，

99.7%

．

)

内的取值的概率为

1

，在区间

(

3

，

3

)

之外的取值的概率是②正态变量在

(，

0.3%

，故正态变量的取值几乎都在距

x

三倍标准差之内，这就是正态分布的

3

原则．

x

2

O

x

2

)

，

f(x)

为其概率密度函数，则称

F(x)P(

≤x)

⑷若

~N(

，

2



f(t)dt

为概率分布

x

1

t

2

2

edt

为标准正态分布函数． 函数，特别的，

~N(0，1)

，称

(x)



2π

x

P(

x)

()

．

标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．

分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．

3．离散型随机变量的期望与方差

1．离散型随机变量的数学期望


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分布,试验,曲线,正态分布