2024年4月17日发(作者：河南商丘2020数学试卷)
2019年高考数学真题——概率统计专题整理
1.（2019年全国卷1,文数6题,满分5分）某学校为了解
1000
名新生的身体素
质，将这些学生编号为
1
，
2
，…，
1000
，从这些新生中用系统抽样方法等距抽
取
100
名学生进行体质测验
.
若
46
号学生被抽到，则下面
4
名学生中被抽到的是
A
.8
号学生
B
.200
号学生
C
.616
号学生
D
.815
号学生
【答案】
C
.
1000
10
，各组间被抽到号码的绝对值差应
100
616
46
57
能被10整除，为间隔
d
的倍数，即能被10整除.只有
C
项：故选
C
.
10
2
.（2019年全国卷1,理数6题,满分5分）我国古代典籍《周易》
【解析】依题意可知组距间隔为
d
用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻
组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在
所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A
.
5
16
B
.
11
32
C
.
21
32
1
D
.
11
16
【答案】
A
.
【解析】易知出现阳爻的概率服从二项分布
B
6,
，
2
1
∴每卦6爻中恰好有3个阳爻的概率
P
C
2
3
6
3
5
1
，故选
A
.
1
2
16
3
3.（2019年全国卷2,文数4题,满分5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3
只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标
的概率为
A
.
2
3
B
.
3
5
C
.
2
5
D
.
1
5
【答案】
B
.
【解析】“恰有2只测量过该指标”指的是事件“两只通过指标且另外一只没有
1
C
3
2
C
2
3
通过指标”，∴
P
3
，故选
B
.
C
5
5
4.（2019年全国卷2,文数14、理数13题,满分5分）我国高铁发展迅速，技术
先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有2
0个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车
所有车次的平均正点率的估计值为
【答案】0.98.
【解析】依题意共有
10201040
个车次，
第1页共11页
.
∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
102010
0.97
0.98
0.99
0.98
.
404040
5.（2019年全国卷2,理数5题,满分5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选
手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个
最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特
征是
A
．中位数
B
．平均数
C
．方差
D
．极差
【答案】
A
.
【解析】根据一组数据中中位数的找法可知，极端值变化不改变整组数据的中位
数，故选
A
.
6.（2019年全国卷3,文数3题,满分5分）两位男同学和两位女同学随机排成一列，
则两位女同学相邻的概率是
A
．
1
6
B
．
1
4
C
．
1
3
D
．
1
2
【答案】
D
.
【解析】把两名女同学“捆绑”在一起看成一个特殊的同学有
A
2
2
2
种方法，再
与剩下的两名男同学全排列共有
A
3
3
6
种方法，而两男两女四名同学所有的排列
23
A
2
A
3
1
P
A24
方法有
种，故两位女同学相邻的概率
，故选
D
.
4
A
4
2
4
4
7.（2019年全国卷3,文数4、理数3题,满分5分）《西游记》《三国演义》
《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.
某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读
过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80
位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西
游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A
．0.5
B
．0.6
C
．0.7
D
．0.8
【答案】
C
.
【解析】阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学
生共有60位，而阅读过《红楼梦》的学生共有80位，
由此可知只阅读过红楼梦的学生有20人。
阅读过《西游记》的学生共有10位，
∴阅读过《西游记》的学生为
10+60=70
人，
根据概率统计简单抽样知识可知该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学
第2页共11页
西游记
10
60
红楼梦
20
又∵阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，结合韦恩图可知只
生总数比值的估计值
=
样本中阅读过《西游记》的学生人数与样本容量的比值。
∴比值的估计值为
70
=0.7
，故选
C
.
100
8.（2019年江苏卷5题,满分5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组
数据的方差是
【答案】
5
3
▲.
1
【解析】这组数据的平均值为
x
6
7
8
8
9
10
8
，
6
15
22222
2
6
8
7
8
8
8
2
9
8
10
8
∴方差为
s
36
9.（2019年江苏卷6题,满分5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学
参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是
【答案】
▲.
7
10
【解析】记事件
A
表示“至少有1名女同学”，则
A
表示“两名都是男同学”,
C
3
2
37
PA
1
PA
1
1
∴
.
C
5
2
1010
10.（2019年浙江卷7题,满分4分）设
0
1
，则随机变量
X
的分布列是
则当
在
0,1
内增大时，
A.
D
X
增大
C
.
D
X
先增大后减小
B
．
D
X
减小
D
．
D
X
先减小后增大
【答案】
D
.
【解析】易知当
时，方差最小，∴当
在
0,1
内增大时，
D
X
先减小后
增大。
11.（2019年全国卷1,文数17题,满分12分）某商场为提高服务质量，随机调
查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的
评价，得到下面列联表：
满意
男顾客
女顾客
40
30
不满意
10
20
1
2
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
第3页共11页
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
n
(
ad
bc
)
2
附：
K
．
(
a
b
)(
c
d
)(
a
c
)(
b
d
)
2
P
K
2
k
k
0.050
3.841
0.010
6.635
0.001
10.828
【答案解析】
（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为
40
0.8
，因此男顾
50
客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．
30
0.6
，因此女顾客对该商场服务满女顾客中对该商场服务满意的比率为
50
意的概率的估计值为0.6．
100
(40
20
30
10)
2
（2）
K
4.762
．
50
50
70
30
∵
4.7623.841
，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
12.（2019年全国卷1,理数21题,满分12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙
2
两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一
轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另
一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈
的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更
有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以
乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得
1
分；若施以乙药的白鼠治愈且施以
甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得
1
分；若都治愈或都未治愈则两种药
均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求
X
的分布列；
（
2
）若甲药、乙药在试验开始时都赋予
4
分，
p
i
(
i
0,1,
,8)
表示
“
甲药的
累计得分为
i
时，最终认为甲药比乙药更有效
”
的概率，则
p
0
0
，
p
8
1
，
p
i
ap
i
1
bp
i
cp
i
1
(i1,2,,7)
，其中
aP(X1)
，
bP(X0)
，
cP(X1)
．假设
0.5
，
0.8
．
(i)
证明：
{
p
i
1
p
i
}
(i0,1,2,,7)
为等比数列；
(ii)
求
p
4
，并根据
p
4
的值解释这种试验方案的合理性．
【答案解析】
（1）
X
的所有可能取值为
1,0,1
.
P(X1)(1
)
，P(X0)
(1
)(1
)，P(X1)
(1
)，
第4页共11页
所以
X
的分布列为
（2）（i）由（1）得
a0.4,b0.5,c0.1
.
因此
p
i
=0.4
p
i
1
+0.5
p
i
+0.1
p
i
1
，故
0.1
p
i
1
p
i
0.4
p
i
p
i
1
，即
p
i
1
p
i
4
p
i
p
i
1
.
又因为
p
1
p
0
p
1
0
，所以
p
i
1
p
i
(
i
0,1,2,
,7)
为公比为4，首项为
p
1
的等比数列．
（ii）由（i）可得
p
8
p
8
p
7
p
7
p
6
p
1
p
0
p
0
4
8
1
p
8
p
7
p
7
p
6
p
1
p
0
p
1
.
3
3
由于
p
8
=1
，故
p
1
8
，所以
4
1
4
4
11
p
4
p
4
p
3
p
3
p
2
p
2
p
1
p
1
p
0
p
1
.
3257
由计算结果可以看出，在甲药治愈率为
p
4
表示最终认为甲药更有效的概率，
0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为
p
4
1
0.0039
，此
257
时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.
13.（2019年全国卷2,文数19题,满分12分）某行业主管部门为了解本行业中
小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一
年第一季度产值增长率
y
的频数分布表．
y
的分组
[0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)
企业数
22453147
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长
的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据
用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）附：
748.602
.
【答案解析】
（1）根据产值增长率频数分布表得，
所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为
14
7
0.21
．
100
第5页共11页
2
0.02
．
100
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比
例为21%，产值负增长的企业比例为2%．
1
（2）
y
(
0.10
2
0.10
24
0.30
53
0.50
14
0.70
7)
0.30
，
100
1
5
2
2
s
ny
y
ii
100
i
1
1
22222
=0.0296
，
(
0.40)
2
(
0.20)
24
0
53
0.20
14
0.40
7
100
产值负增长的企业频率为
s0.02960.02740.17
，
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．
14.（2019年全国卷2,理数18题,满分12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得
1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局
比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，
乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，
甲先发球，两人又打了
X
个球该局比赛结束.
（1）求
P
X2
；
（2）求事件“
X4
且甲获胜”的概率.
【答案解析】
（1）
X2
就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲
得分，或者均由乙得分．因此
P
X2
0.50.4
10.5
10.4
0.5
．
（2）
X4
且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4
个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为
0.5
10.4
10.5
0.4
0.50.40.1
．
15.（2019年全国卷3,文数、理数17题,满分12分）为了解甲、乙两种离子在
小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成
A
，
B
两组，每组
100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给
服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留
在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记
C
为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到
第6页共11页
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