2024年3月14日发(作者：九年级费县数学试卷答案)
全国高三高中数学专题试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.已知集合A＝{x|3
3
－x
<6}，B＝{x|lg(x－1)<1}，则A∩B＝________．
2.已知a、b为正实数，函数f(x)＝ax
3
＋bx＋2
x
在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为________．
3.若函数f(x)＝x
3
－ax
2
＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a的取值
范围是________．
4.已知函数y＝f(x)是偶函数，对于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x
1
、x
2
∈[0，3]，且x
1
≠x
2
时，都有
>0，给出下列命题：
①f(3)＝0；
②直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为单调增函数；
④函数y＝f(x)在[－9，9]上有4个零点．
其中正确的命题是________．(填序号)
5.已知函数f(x)＝||x－1|－1|，若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有四个互不相等的实根x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，则x
1
x
2
x
3
x
4
的取值范围是________．
6.关于函数f(x)＝lg(x>0，x∈R)，下列命题正确的是________．(填序号)
①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；
②在区间(－∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数；
③函数y＝f(x)的最小值为lg2；
④在区间(1，＋∞)上，函数y＝f(x)是增函数．
7.已知函数f(x)＝2x
2
＋m的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围是________．
8.在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝
2 ，则满足条件的实数a的所有值为________．
(a∈R，e为自然对数的底数)．若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b成立，则a的取值范围是
(x>0)图象上一动点．若点P、A之间的最短距离为
9.设函数f(x)＝
________．
10.已知函数f(x)＝
＝
若关于x的方程f(x)＝kx(k＞0)有且仅有四个根，其最大根为t，则函数g(t)
t
2
－6t＋7的值域为________．
11.若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2
x
，则函数g(x)的最小值是________．
12.设函数f(x)＝ (a<0)的定义域为D，若所有点(s，f(t))(s、t∈D)构成一个正方形区域，则a的值为
________．
13.对于实数a和b，定义运算“”：ab＝设f(x)＝(2x－1)(x－1)，且关于x的方程为f(x)＝
m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x
1
，x
2
，x
3
，则x
1
、x
2
、x
3
的取值范围是________．
二、解答题
1.已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x
4
－2x
2
.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)求函数f(x)的值域．
2.已知函数f(x)＝ax
2
－|x|＋2a－1(a为实常数)．
(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；
(2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；
(3)设h(x)＝
，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．
3.设函数f(x)＝其中b>0，c∈R.当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)若方程f(x)＝x＋a(a∈R)至少有两个不相同的实数根，求a取值的集合．
4.已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x
2
＋ax－3.
(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．
5.定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函
数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·＋.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；
(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
6.已知函数f(x)＝a
x
＋x
2
－xlna(a>0，a≠1)．
(1)当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(2)若函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t的值；
(3)若存在x
1
、x
2
∈[－1，1]，使得|f(x
1
)－f(x
2
)|≥e－1，试求a的取值范围．
7.已知函数f(x)＝lnx－ax
2
＋(2－a)x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a>0，证明：当0
＜0.
(3)若函数y＝f(x)的图象与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x
0
，证明：
全国高三高中数学专题试卷答案及解析
一、填空题
1.已知集合A＝{x|3
3
－x
<6}，B＝{x|lg(x－1)<1}，则A∩B＝________．
【答案】(2－log
3
2，11)
【解析】由3
3
－x
<6，知3－x 3 6，即x>3－log 3 6， 所以A＝(2－log 3 2，＋∞)． 由lg(x－1)<1，知0 所以B＝(1，11)，所以A∩B＝(2－log 3 2，11)． 2.已知a、b为正实数，函数f(x)＝ax 3 ＋bx＋2 x 在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为________． 【答案】－ 【解析】因为a、b为正实数，所以函数f(x)是单调递增的．所以f(1)＝a＋b＋2＝4，即a＋b＝2.所以f(x)在[－1， 0]上的最小值为f(－1)＝－(a＋b)＋ 3.若函数f(x)＝x 3 －ax 2 ＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a的取值 ＝－. 范围是________． 【答案】[5，7] 【解析】f′(x)＝x 2 －ax＋(a－1)，由题意，f′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞)恒成立，即a≥x＋1在(1，4) 上恒成立且a≤x＋1在(6，＋∞)上恒成立，所以5≤a≤7. 4.已知函数y＝f(x)是偶函数，对于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x 1 、x 2 ∈[0，3]，且x 1 ≠x 2 时，都有 >0，给出下列命题： ①f(3)＝0； ②直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴； ③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为单调增函数； ④函数y＝f(x)在[－9，9]上有4个零点． 其中正确的命题是________．(填序号) 【答案】①②④ 【解析】令x＝－3，得f(－3)＝0，由y＝f(x)是偶函数，所以f(3)＝f(－3)＝0，①正确；因为f(x＋6)＝f(x)，所以 y＝f(x)是周期为6的函数，而偶函数图象关于y轴对称，所以直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，② 正确；由题意知，y＝f(x)在[0，3]上为单调增函数，所以在[－3，0]上为单调减函数，故y＝f(x)在[－9，－6]上为 单调减函数，③错误；由f(3)＝f(－3)＝0，知f(－9)＝f(9)＝0，所以函数y＝f(x)在[－9，9]上有个零点，④正确． 5.已知函数f(x)＝||x－1|－1|，若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有四个互不相等的实根x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，则x 1 x 2 x 3 x 4 的取值范围是________． 【答案】(－3，0) 【解析】f(x)＝||x－1|－1|＝方程f(x)＝m的解就是y＝f(x)的图象与直线y＝m交点的横 －2) 2 －4，则t＝(－2) 2 －4，坐标，由图可知，x 2 ＝－x 1 ，x 3 ＝2＋x 1 ，x 4 ＝2－x 1 ，且－1 1 <0.设t＝x 1 x 2 x 3 x 4 ＝( 易得－3 6.关于函数f(x)＝lg(x>0，x∈R)，下列命题正确的是________．(填序号) ①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称； ②在区间(－∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数； ③函数y＝f(x)的最小值为lg2； ④在区间(1，＋∞)上，函数y＝f(x)是增函数． 【答案】①③④ 【解析】由f(－x)＝lg 错误；由＝|x|＋ ＝lg ≥2，知f(x)＝lg ＝f(x)，知函数f(x)为偶函数，故①正确；由f(－2)＝lg ≥lg2，故③正确；因为函数g(x)＝x＋ ＝f，知② 在(1，＋∞)上为增函数，所 以y＝f(x)在(1，＋∞)上也是增函数，故④正确．综上所述，①③④均正确． 7.已知函数f(x)＝2x 2 ＋m的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】由于f(x)与g(x)都是偶函数，因此只需考虑当x>0时，函数f(x)与g(x)的图象有两个交点即可．当x>0时， g(x)＝lnx，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x 2 －lnx＋m，则h′(x)＝4x－ 极小值为 以m<－ 8.在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝ 2 ，则满足条件的实数a的所有值为________． ，x>0，则 ＝x 2 ＋－2a＋2a 2 ＝－2a＋2a 2 －2. (x>0)图象上一动点．若点P、A之间的最短距离为 ，由h′(x)＝0，得x＝.易知当x＝ <0，即 时，h(x)有 ＋ln2＋m，要使函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)内有两个交点，则h －ln2 ＋ln2＋m<0，所 【答案】－1， 【解析】设P PA 2 ＝(x－a) 2 ＋ 令t＝x＋，则由x>0，得t≥2， 所以PA 2 ＝t 2 －2at＋2a 2 －2＝(t－a) 2 ＋a 2 －2. 由PA取得最小值，得 或 解得a＝－1或a＝ 9.设函数f(x)＝ . (a∈R，e为自然对数的底数)．若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b成立，则a的取值范围是 ________． 【答案】[1，e] 【解析】若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b成立， 则A(b，f(b))，A′(f(b)，b)都在y＝f(x)的图象上． 又f(x)＝在[0，1]上单调递增， 所以(x A ′－x A )(y A ′－y A )≥0， 即(f(b)－b)(b－f(b))≥0，所以(f(b)－b) 2 ≤0， 所以f(b)＝b，从而f(x)＝x在[0，1]上有解， 即＝x在[0，1]上有解， 所以a＝e x ＋x－x 2 ，x∈[0，1]， 令φ(x)＝e x ＋x－x 2 ，x∈[0，1]， 则φ′(x)＝e x －2x＋1≥0， 所以φ(x)在[0，1]上单调递增． 又φ(0)＝1，φ(1)＝e， 所以φ(x)∈[1，e]，即a∈[1，e]． 10.已知函数f(x)＝ ＝t 2 －6t＋7的值域为________． 若关于x的方程f(x)＝kx(k＞0)有且仅有四个根，其最大根为t，则函数g(t) 【答案】 【解析】在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间[0，2]，[2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根t一定在区 间(3，4)内，g(t)＝t 2 －6t＋7是二次函数，对称轴方程为4＞t＝＞3，g(t)的最小值为g 2 <，而k 2 ＝ ＝－，直线 y＝kx(k＞0)与区间[2，4]上半圆相交，与区间[4，6]上半圆相离，故 由得(1＋k 2 )x 2 －6x＋8＝0，取k 2 ＝，得 时，直线与半圆相切， t 2 －6t＋7＜－x 2 －6x＋7＝－1，t 1 11.若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2 x ，则函数g(x)的最小值是________． 【答案】1 － 【解析】由f(x)＋g(x)＝2 x ，得f(－x)＋g(－x)＝2 x ， 由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴－f(x)＋g(x)＝2 x ，∴g(x)＝ － (2 x ＋2 x )，∴g(x)≥1. － 12.设函数f(x)＝ ________． 【答案】－4 【解析】|x 1 －x 2 |＝f max (x)， (a<0)的定义域为D，若所有点(s，f(t))(s、t∈D)构成一个正方形区域，则a的值为 ＝，|a|＝2，∴a＝－4 13.对于实数a和b，定义运算“”：ab＝设f(x)＝(2x－1)(x－1)，且关于x的方程为f(x)＝ m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1 ，x 2 ，x 3 ，则x 1 、x 2 、x 3 的取值范围是________． 【答案】 作出函数f(x)的图象，由图可知，当0 .令 【解析】由新定义得f(x)＝ 恰有三个互不相等的实数根x 1 、x 2 、x 3 ，不妨设x 1 2 3 ，易知x 2 >0，且x 2 ＋x 3 ＝2×＝1，∴x 2 x 3 < 解得x＝ ∴ 1 <0，∴ 或x＝ 1 x 2 x 3 <0. (舍去)， 二、解答题 1.已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4 －2x 2 . (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)求函数f(x)的值域． 【答案】（1）(－1，1)（2）f(x)是偶函数（3）(－∞，0] 【解析】(1)由得－1 (2)由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x) 4 －2(－x) 2 ＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4 －2x 2 ＝f(x)， 所以函数f(x)是偶函数． (3)f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4 －2x 2 ＝lg(1－x 2 )＋x 4 －2x 2 ， 设t＝1－x 2 ，由x∈(－1，1)，得t∈(0，1]． 所以y＝lg(1－x 2 )＋x 4 －2x 2 ＝lgt＋(t 2 －1)，t∈(0，1]， 设0 1 2 ≤1，则lgt 1 2 ，<， 所以lgt 1 ＋(－1) 2 ＋(－1)， 所以函数y＝lgt＋(t 2 －1)在t∈(0，1]上为增函数， 所以函数f(x)的值域为(－∞，0]． 2.已知函数f(x)＝ax 2 －|x|＋2a－1(a为实常数)． (1)若a＝1，作函数f(x)的图象； (2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式； (3)设h(x)＝，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）g(a)＝（3） 【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝x 2 －|x|＋1＝作图如下． (2)当x∈[1，2]时，f(x)＝ax 2 －x＋2a－1. 若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3. 若a≠0，则f(x)＝a＋2a－－1，f(x)图象的对称轴是直线x＝. 当a<0时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3. 当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a－2.
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