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第68讲 事件的关系与概率计算秘诀

考纲要求:

1.事件与概率

(1)了解随机事件发生的不肯定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的

区别

.

(2)

了解两个互斥事件的概率加法公式

.

基础知识回顾:

一、频率和概率

1．事件的分类

2．频率和概率

(1)在相同的条件S下重复n次实验，观察某一事件A是不是出现，称n次实验中事件A出现的次数n

A

为事

n

A

件A出现的频数，称事件A出现的比例f

n

(A)＝为事件A出现的频率．

n

(2)对于给定的随机事件A，若是随实在验次数的增加，事件A发生的频率f

n

(A)稳定在某个常数上，把这

个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．

二、事件的关系与运算

三、概率的几个大体性质

1．概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

2．必然事件的概率为1.

3．不可能事件的概率为0.

4．概率的加法公式

若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)．

5．对立事件的概率

若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．

应用举例:

类型一

事件的概念及判断

例1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）

A. 至少有一个红球与都是红球

B. 至少有一个红球与都是白球

C. 恰有一个红球与恰有二个红球

D. 至少有一个红球与至少有一个白球

例2．在一袋内别离有红、白、黑球3,2,1个，从中任取2个，则互斥不对立的两个事件是（ ）

A. 至少有一个白球；都是白球 B. 至少有一个白球；红、黑球各一个

C. 至少有一个白球；至少有一个红球 D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球

例3. 口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次掏出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥

而非对立的事件是以下事件“①2张卡片都不是红色；②2张卡片恰有一张红色；③2张卡片至少有一张红

色；④2张卡片恰有两张绿色”中的哪几个？（ ）

A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④

点评：事件间关系的判断方式

对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也

可类比集合进行理解，具体应历时，可把所有实验结果写出来，看所求事件包括哪几个实验结果，从而判

定所给事件的关系．

类型二

随机事件的概率与频率

例4. 若在一样条件下进行n次重复实验取得某个事件A发生的频率f(n),则随着n的逐渐增大,有 ( )

A. f(n)与某个常数相等

B. f(n)与某个常数的差逐渐减小

C. f(n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小

D. f(n)在某个常数的周围摆动并趋于稳定

例5. 甲、乙两人做游戏,下列游戏不公平的是( )

A. 抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则甲获胜,向上的点数为偶数则乙获胜

B. 同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则甲获胜,两枚都正面向上则乙获胜

C. 从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则甲获胜,扑克牌是黑色的则乙获胜

D. 甲、乙两人各写一个数字1或2,若是两人写的数字相同甲获胜,不然乙获胜

点评：概率和频率的关系

概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽

象，当实验次数愈来愈多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地看成随机事件的概率．

类型三

互斥、对立事件的概率

例6.若A，B为互斥事件，P(A)=0.4，P(A∪B)=0.7，则P(B)=____.

例7. 在大小相同的5个球中，只有红色和白色两种球，若从中任取2个，满是白球的概率为0.3，求所掏

出的2个球中至少有1个红球的概率.

例8.【2021江苏扬州模拟】某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机搜集了在

该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)肯定x，y的值，并估量顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一名顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)

点评：求复杂的互斥事件的概率的一般方式

(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率求和，运用互斥事件的概率求和公式计算．

(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维，用正难则反思想

求互斥、对立事件的概率，特别是“至少”“最多”型题目，用间接法就显得较简便．

方式、规律归纳:

1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f

n

(A)随实在验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以

用频率f

n

(A)来估量概率P(A)．

2．若某一事件包括的大体事件较多，而它的对立事件包括的大体事件较少，则可用“正难则反”思想求解．

3．从集合的角度理解互斥事件和对立事件

(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．

(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

4．概率加法公式的推行

当一个事件包括多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推行，即

P(A

1

∪A

2

∪…∪A

n

)＝P(A

1

)＋P(A

2

)＋…＋P(A

n

)．

5．正确熟悉互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不

必然是对立事件．

6．需准确理解题意，特别留意“最多……”“至少……”“很多于……”等语句的含义．

7．正确判定事件间的关系，长于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式.

实战演练:

1.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（ ）

A. “至少1名男生”与“至少有1名是女生” B. “至少1名男生”与“满是女生”

C. “至少1名男生”与“满是男生” D. “恰好有1名男生”与“恰好2名女生”

2．设