2024年3月14日发(作者：高三文科常州数学试卷)
【备战2021年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】
第50讲 平面内两条直线位置关系的常考题型
考纲要求:
①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握肯定直线位置的几何要素
．
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式
．
③能按照两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直
．
④掌握肯定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次
函数的关系
．
⑤能用解方程组的方式求两相交直线的交点坐标
．
⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离
．
基础知识回顾:
1．两条直线的位置关系
(1)平行：对于两条不重合的直线l
1
，l
2
，其斜率别离为k
1
，k
2
，有l
1
∥l
2
⇔ k
1
＝k
2
，特别地，当直线l
1
，
l
2
的斜率都不存在时，l
1
与l
2
的关系为l
1
∥l
2
．
(2)垂直：若是两条直线l
1
，l
2
的斜率都存在，且别离为k
1
，k
2
，则有l
1
⊥l
2
⇔ k
1
k
2
＝－1，特别地，若直线
l
1
：x＝a，直线l
2
：y＝b，则l
1
与l
2
的关系为l
1
⊥l
2
．
2．两条直线的交点坐标
A
1
x＋B
1
y＋C
1
＝0，
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组
若方程组有惟一解，则两条直线相交，此
Ax＋By＋C＝0.
22
2
解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行．
3．距离公式
(1)点到直线的距离：点P
0
(x
0
，y
0
)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝
|
Ax
0
＋
By
0
＋
C
|
A
2
＋
B
2
．
(2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l
1
：Ax＋By＋C
1
＝0与l
2
：Ax＋By＋C
2
＝0(C
1
≠C
2
)间的距离
d＝
|
C
1
－
C
2
|
A
2
＋
B
2
．
4．过两直线交点的直线系方程
若已知直线l
1
：A
1
x＋B
1
y＋C
1
＝0与l
2
：A
2
x＋B
2
y＋C
2
＝0相交，则方程A
1
x＋B
1
y＋C
1
＋λ(A
2
x＋B
2
y＋C
2
)＝0(其
中λ∈R，这条直线可以是l
1
，但不能是l
2
)表示过l
1
和l
2
交点的直线系方程．
应用举例:
类型一 两条直线平行、重合或相交
【例1】【2021届四川省成都市第七中学高三上半期】若直线
2xmy2m40
与直线
mx2ym20
平行，则
m
（ ）
A.
2
B. 2 C.
2
D. 0
【例2】【2021届广东省广州市高三4月综合测试（二）】已知三条直线
2x3y10
，
4x3y50
，
mxy10
不能组成三角形，则实数
m
的取值集合为（ ）
A.
42
42
424
422
,
B.
,
C.
,,
D.
,,
33
33
333
333
A
1
B
1
C
1
A
2
B
2
C
2
＋
C
1
＝0与
A
2
x
＋
B
2
y
＋
C
2
＝0平行，这是一个很实用的结论，但要注意分母不能为零
．
类型二 两条直线垂直
点评：由直线的一般式直接判断两条直线是不是平行时，可直接应用结论：若＝≠，则直线
A
1
x
＋
B
1
y
【例1】【2021届云南省师范大学附属中学高三月考卷（二）】已知直线l的倾斜角为
π，直线l
1
通过P(−2,
√
3)，
3
2
Q(m,0)两点，且直线l与l
1
垂直，则实数m的值为（ ）
A. -2 B. -3 C. -4 D. -5
【例2】 “m＝3”是“直线l
1
：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l
2
：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( )
A．充分没必要要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也没必要要条件
点评：判定两直线垂直的方式：(1)判定两直线的斜率是不是存在，若存在，可先化成斜截式，若
k
1
·
k
2
＝
－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直
．
(2)直接用以
下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论
．
设直线
l
1
：
A
1
x
＋
B
1
y
＋
C
1
＝0，
l
2
：
A
2
x
＋
B
2
y
＋
C
2
＝0，
l
1
⊥
l
2
⇔
A
1
A
2
＋
B
1
B
2
＝0.(3)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在
的特殊情况
．
同时还要注意
x
，
y
的系数不能同时为零这一隐含条件
．
类型三 对称问题
【例1】与直线
2xy30
关于定点
M
1,2
对称的直线方程是（ ）
A.
2xy10
B.
2xy50
C.
2xy50
D.
2xy10
【例2】已知三角形的一个极点A(4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程别离为l
1
：x－y－1＝0和l
2
：
x－1＝0，则BC边所在直线的方程为____________
．
点评：
(1)关于中心对称问题的处置方式：
x
＝2
a
－
x
1
，
①若点
M
(
x
1
，
y
1
)及
N
(
x
，
y
)关于
P
(
a
，
b
)对称，则由中点坐标公式得
y
＝2
b
－
y
1
.
②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方式是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关
于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式
取得所求直线方程，固然，斜率必需存在
．
(2)关于轴对称问题的处置方式：
①点关于直线的对称
．
若两点
P
1
(
x
1
，
y
1
)与
P
2
(
x
2
，
y
2
)关于直线
l
：
Ax
＋
By
＋
C
＝0对称，则线段
P
1
P
2
的中点
在
l
上，且连接
P
1
P
2
的直线垂直于
l
，由方程组
x
＋
x
＋
B
y
＋
y
＋
C
＝0，
A
2
2
可取得点
P
关于
l
对称的点
P
的坐标(
x
，
y
)(其中
B
≠0，
x
≠
x
)
．
y
－
y
A
－
＝－1，
x
－
x
·
B
1212
122212
2
2
1
1
②直线关于直线的对称
．
此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线
与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行
．
类型四 距离问题
【例1】【2021届湖北省浠水县实验高级中学高三测试】若三条直线
y2x,xy3,mxny50
相交
于同一点，则点
m,n
到原点的距离的最小值为（）
A.
5
B.
6
C.
23
D.
25
【例2】【2021届南京市、盐城市二模】在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
1
:kxy20
与直线
l
2
:xky20
相交于点
P
，则当实数
k
转变时，点
P
到直线
xy40
的距离的最大值为______.
点评：距离的求法：
(1)点到直线的距离
．
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必需为一般式
．
(2)两平行直线间的距离
．
①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
|
C
1
－
C
2
|
②利用两平行线间的距离公式
d
＝
22
.
A
＋
B
类型五 直线系及其应用
例1．求证：动直线(m
2
＋2m＋3)x＋(1＋m－m
2
)y＋3m
2
＋1＝0(其中m∈R)恒过定点，并求出定点坐标．
例2．已知直线l：(a＋b)x＋(a－b)y＋2＝0，其中a，b知足3a－b＋2＝0.求证：直线l恒过一定点．
点评：此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给m两个特殊值得两条直线，那么这两条直线的交
点就是那个定点，但m只是取两个特殊值，是不是m∈R时都成立，则要进行代入查验；证法二是将动直线
方程按m的降幂排列，由于∀m∈R恒成立，所以得关于x，y的方程组，解此方程组便得定点坐标．直线系
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