2024年3月14日发(作者：高三咸阳月考数学试卷)

高三数学参考答案及评分标准

一、选择题

题号

1

答案

B

二、填空题

13．13 14．48 15．

三、解答题

17．解：（Ⅰ）因为

z3cos

2isin

,

所以

|z|(3cos

)

2

(2sin

)

2

45cos

2

.

……3分

2

A

3

A

4

B

5

C

6

C

7

A

8

D

9

B

10

D

11

D

12

D

1

16．①、②、③

2

因为

3

,所以0cos

2

1,

所以

245cos

2

3,即2|z|3,

2

所以复数z的模的取值范围是[2，3].

（Ⅱ）由

z3cos

2isin

,得tg(argz)

……6分

2

tg

,

3

32

……8分

……10分

211

而已知

argz2

arctg

1

,

所以

tg

,所以tg

.

3

3

2cos

2

所以

2

1

2sin(

)

4

cos

12

.

sin

cos

tg

13

……12分

18．（Ⅰ）连结A

1

B，设A

1

B与AB

1

相交于点O，则O为A

1

B的中点.

连结DO，因为D为A

1

C

1

中点，所以DO为△A

1

BC

1

的中位线，

所以DO∥BC

1

.

又DO

平面AB

1

D，BC

1

平面AB

1

D

所以BC

1

∥平面AB

1

D. ……4分

（Ⅱ）由题意知B

1

D是正△A

1

B

1

C

1

的中线，

所以A

1

C

1

⊥B

1

D.

在正三棱柱ABC—A

1

B

1

C

1

中，AA

1

⊥平面A

1

B

1

C

1

所以AD⊥B

1

D，

所以∠ADA

1

是二面角A

1

—B

1

D—A的平面角……6分

AA

1

在Rt△ADA

1

中，

tgADA3.

1

A

1

D

所以∠ADA

1

=60°，即二面角A

1

—B

1

D—A等于60°.

第 1 页 共 4 页

……8分

（Ⅱ）因为O为A

1

B中点，所以点B到平面AB

1

D的距离等于点A

1

到平面AB

1

D的距

离.由（Ⅱ）可知B

1

D⊥平面A

1

ACC

1

，

所以平面AB

1

D⊥平面A

1

ACC

1

，且平面AB

1

D∩平面A

1

ACC

1

=AD.

过点A

1

作A

1

H⊥AD，垂足为H，则A

1

H⊥平面AB

1

D.

所以线段A

1

H的长度就是点A

1

到平面AB

1

D的距离. ……11分

在Rt△A

1

AD中，

A

1

H

A

1

DA

1

A

133

.

AD22

3

.

2

……12分 所以点B到平面AB

1

D的距离等于

或设点B到平面AB

1

D的距离为h，因为

V

BAB

1

D

V

DABB

1

,

所以

1

(

1

ADB

1

D)h

1

(

1

ABBB

1

)(

3

A

1

D),

32322

h

3

.

2

……12分

……2分 19．解：（Ⅰ）因为f(x)=2

x

—1，所以f

-1

(x)=log

2

(x+1)(x>—1).

因为f

-1

(x)≤g(x),即log

2

(x+1)≤log

4

(3x+1),

x10

所以

2

(x1)3x1.

解之得0≤x≤1, ∴D=[0，1].

……4分

……6分

H

（Ⅱ）

(x)g(x)

1

1

1

f(x)log

4

(3x1)log

2

(x1)

22

13x112

log

2

log

2

(3).

2x12x1

2121

2,所以0log

2

(3),

x12x12

……9分

由0x1,得13

所以

H(x)g(x)

1

1

1

f(x)(其中xD,的值域为[0,]

22

……12分

20．解（Ⅰ）设未赠礼时的销售量为m件.

则当礼品价值为n元时，销售m(1+10%)

n

.

利润y

n

=(100—80—n)·m·(1+10%)

n

.

=（20—n）m×1.1

n

（0

（Ⅱ）令y

n+1

—y

n

≥0，即（19—n）m×1.1

n+1

—（20—n）m×1.1

n

≥0,解之得n≤9，

所以y

1

2

3

<…

9

=y

10

, ……7分

第 2 页 共 4 页

令y

n+1

—y

n+2

≥0，即（19—n）m×1.1

n+1

—（18—n）m×1.1

n+2

≥0，

解之得n≥8.

所以y

9

=y

10

>y

11

>y

12

>…>y

19

, ……10分

所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润 ……12分

n(2ana)

21．解（Ⅰ）

当t1时,a

n

a,b

n

1na,c

n

2

……2分

;

2

当

t1时,a

n

at

n1

a(1t

n

)aat

n

,b

n

11,

1t1t1t

aat(1t

n

)

c

n

2(1)n

1t1t1t

n1

at(1ta)at

2

n

22

1t

(1t)(1t)

……4分

（Ⅱ）

c

n1

c

n

b

n1

aat

n1

a

11(1t

n1

).

1t1t1t

n1

……5分

当

t1时,1t0,1t0,而已知a0,所以

a

(1t

n1

)0,

1t

……6分 所以c

n+1

—c

n

>0

同理当00,1―t

n+1

>0,又a>0,

所以

1

(1t

n1

)0

1t

所以c

n1

c

n

0

……7分

……8分 综上所述c

n+1

>c

n

.

n1

(1ta)n

atat

（Ⅲ）若

c

n

2

成等比数列，



22

1t

(1t)(1t)

at

20,

2

(1t)

则令

（1）

1ta

0.

1t

（2）

由（2）得a=t－1,将

at1代入(1),得2

……10分

t

0

1t

t2,a1,此时c

n

2

n1

42

n1

.

所以存在实数对（a，t）为（1，2），使{c

n

}成为以4为首项，2为公比的等比

数列. ……12分

22

22．解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为

x

y

1(ab0).

22

ab

由

e

c2

及a

2

b

2

c

2

,得a

2

3b

2

,

a3

……1分 故椭圆E的方程为x

2

+3y

2

=3b

2

,

第 3 页 共 4 页

设A（x

1

,y

1

）,B(x

2

,y

2

).由于点C（－1，0）分有向线段

AB

的比为2，

所以

x

1

2x

2

3

1,

y2y

即

x

1

12(x

2

1),

（1）

12

y2y

2

.

（2）

3

0.

1

由

x

2

3y

2

3b

2

yk(x1).

消去y并化简得

(3k

2

1)x

2

6k

2

x3k

2

3b

2

0.

由直线l与椭圆E相交于A(x

1

,y

1

),B(x

2

,y

2

)两点,

36k

4

4(3k

2

1)(3k

2

3b

2

)0,

（3）

得

x

1

x

2



6k

2

3k

2

1

,

（4）

x

3k

2

3b

2

1

x

2

3k

2

1

.

（5）

而

S

1

OAB

2

|y

13

1

y

2

|

2

|2y

2

y

2

|

2

|y

2

|

3

2

|k(x1)|

3

2

2

|k||x

2

1|,

（6）

由（1）、（4）得

x

2

2

1

3k

2

1

,代入(6)

得

S

3|k|

OAB

3k

2

1

(k0).

（Ⅱ）因为

S

|k|3

OAB

3

3k

2

1



3

2

3|k|

1

23

3

2

.

|k|

23|k|

1

|k|

当且仅当

3|k|

1

|

,即k

3

3

时,S

OAB

取得最大值.

|k

此时x

1

+x

2

=—1.

又因为

x

1

2x

2

3

1,所以x

1

1,x

2

2,

将

x1,x

2

1

2

2及k

1

3

代入(5)得3b

2

5.

所以所求椭圆E的方程为x

2

+3y

2

=5.

第 4 页 共 4 页

……3分

5分

……8分

……10分

……12分

……14分

……


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