2024年4月18日发(作者：提前招生高中数学试卷答案)
（新课标）2009年高考理科数学试题
一、选择题
（1）已知集合
A1,3,5,7,9
,B
0,3,6,9,12
,则
AIC
N
B
（ ）
(A)
1,5,7
(B)
3,5,7
(C)
1,3,9
(D)
1,2,3
(2) 复数
32i32i
（ ）
23i23i
（A）0 （B）2 （C）-2i (D)2
（3）对变量x, y 有观测数据理力争（
x
1
，
y
1
）（i=1,2,„，10），得散点图1；对变量u ，v 有观
测数据（
u
1
，
v
1
）（i=1,2,„，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。
（A）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
（C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
x
2
y
2
（4）双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为（ ）
4
12
（A）
23
（B）2 （C）
3
（D）1
（5）有四个关于三角函数的命题：
p
1
：
x
R,
sin
2
p
3
:
x
0,
,
x1
2
x
+
cos
=
p
2
:
x、y
R, sin(x-y)=sinx-siny
222
1cos2x
=sinx
p
4
: sinx=cosy
x+y=
2
2
其中假命题的是（ ）
（A）
p
1
，
p
4
（B）
p
2
，
p
4
（3）
p
1
，
p
3
（4）
p
2
，
p
4
2xy4
（6）设x,y满足
xy1,则zxy
（ ）
x2y2
（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值
（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值
1
（7）等比数列
a
n
的前n项和为
s
n
，且4
a
1
，2
a
2
，
a
3
成等差数列。若
a
1
=1，则
s
4
=（ ）
（A）7 （B）8 （3）15 （4）16
（8） 如图，正方体
ABCDA
线段
B
1
D
1
上有两个动点E，F，且
EF
1
B
1
C
1
D
1
的棱线长为1，
则下列结论中错误的是（ ）
（A）
ACBE
（B）
EF//平面ABCD
（C）三棱锥
ABEF
的体积为定值 （D）异面直线
AE,BF
所成的角为定值
（9）已知O，N，P在
ABC
所在平面内，且
OAOBOC,NANBNC0
，且
2
，
2
PAPBPBPCPC
，则点
PA
O，N，P依次是
ABC
的（ ）
（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心
（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心
（10）如果执行右边的程序框图，输入
x2,h0.5
，那么输出的各个数的和等于（ ）
（A）3 （B） 3.5 （C） 4 （D）4.5
（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c
m
2
）为（ ）
（A）48+12
2
（B）48+24
2
（C）36+12
2
（D）36+24
2
x
（12）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，设f（x）=min{
2
, x+2,10-x} (x
0), 则f
（x）的最大值为
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
二、填空题
（13）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。
若AB的中点为（2，2），则直线
的方程为_____________.
2
（14）已知函数y=sin（
x+
）（
>0, -
<
）的图像如图所示，则
=________________
（15）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安
排方案共有________________种（用数字作答）。
（16）等差数列{
a
n
}前n项和为
S
n
。已知
a
m1
+
a
m1
-
a
2
m
=0，
S
2m1
=38,则m=_______
三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。
（17）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一
个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：
①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的
步骤。
（18）某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人
参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共
抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。
（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；
（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.
w.w.w.k.s.
表1：
生产能力分组
100,110
人数
表2：
生产能力分组
人数
4
110,120
120,130
130,140
140,150
8
x
5 3
110,120
6
120,130
y
130,140
36
140,150
18
（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的
差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，
同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
w.w.w.k.s.
w.w.w.k.s.
3
图1 A类工人生产能力的频率分布直方图 图2 B类工人生产能力的频率分布直方图
（19）如图，四棱锥
S-ABCD
的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的
2
倍，P为侧棱SD
上的点。
S
（Ⅰ）求证：
AC
⊥
SD
；
（Ⅱ）若
SD
⊥
平面PAC
，求二面角
P-AC-D
的大小
P
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面
PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。
A
O
B
C
（20）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距
离分别是7和1.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
w.w.w.k.s.
D
（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，
程，并说明轨迹是什么曲线。
OP
OM
=λ，求点M的轨迹方
w.w.w.k.s.
4
（21）已知函数
f(x)(x
3
3x
2
axb)e
x
，
（1）如
ab3
，求
f(x)
的单调区间；
（2）若
f(x)
在
(,
),(2,
)
单调增加，在
(
,2),(
,)
单调减少，证明
（22）A 选修4-1：几何证明选讲，如图，已知
ABC
的两条角平分线
AD
和
CE
相交于H，
＜6.
w.w.w.k.s.
B60
0
，F在
AC
上，且
AEAF
。
（1）证明：B,D,H,E四点共圆
（2）证明：
CE
平分
DEF
。
w.w.w.k.s.
(22)B 已知曲线C
1
：
x8cos
,
x4cost,
（t为参数）， C
2
：
（
为参数）。
y3sin
,
y3sint,
（1）化C
1
，C
2
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C
1
上的点P对应的参数为
t
为参数）距离的最小值。
22、C选修4-5：不等式选讲，如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，
设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.
（1）将y表示成x的函数；
（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？
w.w.w.k.s.
x32t,
，Q为C
2
上的动点，求
PQ
中点
M
到直线
C
3
:
（t
2
y2t
w.w.w.k.s.
5
（新课标）2009年高考理科数学试题解析
第I卷
一， 选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目
要求的。
（1） 已知集合
A1,3,5,7,9
,B
0,3,6,9,12
,则
AIC
N
B
(A)
1,5,7
(B)
3,5,7
(C)
1,3,9
(D)
1,2,3
解析：易有
AC
N
B
1,5,7
，选A
(2) 复数
32i32i
23i23i
（A）0 （B）2 （C）-2i (D)2
解析：
32i32i
32i
23i
32i
23i
26i
2i
,选D
23i23i
131313
（3）对变量x, y 有观测数据理力争（
x
1
，
y
1
）（i=1,2,„，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测
数据（
u
1
，
v
1
）（i=1,2,„，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。
（A）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
（C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
解析：由这两个散点图可以判断,变量x 与y 负相关，u 与v 正相关,选C
x
2
y
2
（4）双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为
4
12
（A）
23
（B）2 （C）
3
（D）1
x
2
y
2
解析：双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线
y3x
的距离为
d
4
12
（5）有四个关于三角函数的命题：
340
2
23
,选A
p
1
：
x
R,
sin
2
x1
2
x
+
cos
=
p
2
:
x、y
R, sin(x-y)=sinx-siny
222
6
p
3
:
x
0,
,
其中假命题的是
1cos2x
=sinx
p
4
: sinx=cosy
x+y=
2
2
（A）
p
1
，
p
4
（B）
p
2
，
p
4
（3）
p
1
，
p
3
（4）
p
2
，
p
4
解析：
p
1
：
x
R,
sin
2
xx1
+
cos
2
=是假命题；
p
2
是真命题，如x=y=0时成立；
p
3
是真命题，
222
x
0,
,
sinx0，
1cos2x
sin
2
xsinxsinx
=sinx；
p
4
是假命题，
2
如x=
2
,y=2
时，sinx=cosy,但x+y
2
。选A.
2xy4
（6）设x,y满足
xy1,则zxy
x2y2
（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值
（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值
解析：画出可行域可知，当
zxy
过点（2，0）时，
z
min
2
，但无最大值。选B.
（7）等比数列
a
n
的前n项和为
s
n
，且4
a
1
，2
a
2
，
a
3
成等差数列。若
a
1
=1，则
s
4
=
（A）7 （B）8 （3）15 （4）16
解析：
4
a
1
，2
a
2
，
a
3
成等差数列，
4a
1
a
3
4a
2
,即4a
1
a
1
q
2
4a
1
q,q
2
4q40,q2，S
4
15
,选C.
（8） 如图，正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的棱线长为1，线段
B
1
D
1
上
有两个动点E，F，且
EF
（A）
ACBE
（B）
EF//平面ABCD
（C）三棱锥
ABEF
的体积为定值
（D）异面直线
AE,BF
所成的角为定值
解析：A正确，易证
AC平面D
1
DBB
1
，从而ACBE;
B显然正确，
2
，则下列结论中错误的是
2
EF//BD,EF//平面ABCD易证
；C正确，可用等积法求得；D错误。选D.
（9）已知O，N，P在
ABC
所在平面内，且
OAOBOC,NANBNC0
，且
PAPBPBPCPCPA
，则点O，N，P依次是
ABC
的
7
（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心
（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
由NANBNC0知，O为ABC的重心
; 解析：
由OAOBOC知,O为ABC的外心；
PAPBPBPC
，
PAPCPB0
，
CAPB0,CAPB,
同理，APBC,P为ABC的垂心，选C.
（10）如果执行右边的程序框图，输入
x2,h0.5
，那么输出的各个数
的合等于
（A）3 （B） 3.5 （C） 4 （D）4.5
解析：选B.
（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c
m
）为
（A）48+12
2
（B）48+24
2
（C）36+12
2
（D）36+24
2
解析：选A.
（12）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值
设f（x）=min{
2
, x+2,10-x} (x
0),则f（x）的最大值为
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
解析：选C
第II卷
二、填空题；本大题共4小题，每小题5分。
（13）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物
线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线
的方程为_____________.
2
y
1
4x
1
A
x
1
,y
1
,B
x
2
,y
2
,则有x
1
x
2
，
2
y
2
4x
2
yy
2
4
2
解析：抛物线的方程为
y
2
4x
，
两式相减得，y
1
2
y
2
4
x
1
x
2
，
1
1
x
1
x
2
y
1
y
2
x
2
直线l的方程为y-2=x-2,即y=x
答案：y=x
（14）已知函数y=sin（
x+
）（
>0, -
<
）的图像如图所示，则
=________________
解析：由图可知，
T
5
4
4
,
,把
2
,1
代入y=sin
x
有：
25
5
9
8
1=sin
,
10
5
答案：
9
10
（15）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安
8
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