2024年3月18日发(作者：慈利三模数学试卷及答案)

不等式的正确使用方法

应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定

义域限制范围之内。

例9、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+

错解 :(a+

1

2

1

)+(b+)

2

的最小值。

ab

1

2

111211

1

)+(b+)

2

=a

2

+b

2

+

2

+

2

+4≥2ab++4≥4

ab

+4=8∴(a+

)

2

+(b+)

2

的

ababab

ab

ab

最小值是8

【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式a

2

+b

2

≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=

第二次等号成立的条件ab=

1

,

2

1

，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。

ab

1111112

解析：原式= a

2

+b

2

+

2

+

2

+4=( a

2

+b

2

)+(

2

+

2

)+4=[(a+b)

2

-2ab]+ [(+)

2

-]+4

abab

abab

1ab

2

11111

=(1-2ab)(1+

22

)+4由ab≤()= 得：1-2ab≥1-=,且

22

≥16，1+

22

≥17

2422

ababab

12511125

∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)∴(a+)

2

+(b+)

2

的最小值是。

222ab2

【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、

三相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。

【练9】甲、乙两地相距s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ,已知汽车每小时

的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比

例系数为b;固定部分为a元。

（1） 把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

答案为:（1）

y

s

a

a

bv

2

a

0vc

（2）使全程运输成本最小，当

≤c时，行驶速度v=；

v

b

b

1

当

a

＞c时，行驶速度v=c。

b

2


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