高中三角函数练习题及答案

2024年4月7日发(作者：2022初一邢台数学试卷分析)

高中三角函数练习题及答案

一、填空题

1

．设函数

f(x)

是定义在实数集

R

上的偶函数，且

f



x



f



2x



，当

x[0,1]

时，



15



f(x)x

3

，则函数

g(x)|cos



x|f(x)

在



,



上所有零点之和为

___________.



22



2

．已知△

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

．角

B

为钝角．设△

ABC

的面积为

S

，

222

若

4bSabca

，则

sinA+sinC

的最大值是

____________

．



3

．如图，点

C

为某沿海城市的高速公路出入口，直线

BD

为海岸线，

BAC

5



，

12

BDAB

，

BC

是以

A

为圆心，半径为

1km

的圆弧型小路．该市拟修建一条从

C

通往海岸的

C

的一观光专线

CPPQ

（新建道路

PQ

，对道路

CP

进行翻新），其中

P

为

BC

上异于

B，

点，

PQ

与

AB

平行，设

PAB





0















，新建道路

PQ

的单位成本是翻新道路

CP

的单

12



位成本的

2

倍．要使观光专线

CPPQ

的修建总成本最低，则



的值为

____________

．

1

4

．如图，在

ABC

中，

cosBAC

，

AC2

，

D

是边

BC

上的点，且

BD2DC

，

3

ADDC

，则

AB

等于

______.

5

．已知球

O

的表面积为

16



，点

A,B,C,D

均在球

O

的表面上，且



ACB

则四面体

ABCD

体积的最大值为

___________.



7



5





,

6

．已知函数

f(x)sin(



x



)(



0,



R)

在区间



上单调，且满足

126





4

,AB6

，



7



f





12



3







f



.

有下列结论：



4







0

；





2



①

f





3



5





②

若

f



1

，则函数

f



x



的最小正周期为



；

12



③



的取值范围为



0,4



；

④

函数

f



x



在区间



0,2





上最多有

6

个零点

.

其中所有正确结论的编号为

________.

7

．给出下列命题：

①

若函数

f(x)

的定义域为



0,2



，则函数

f(2x)

的定义域为



0,4



；

②

函数

f(x)tanx

在定义域内单调递增；

③

若定义在

R

上的函数

f(x)

满足

f(x1)f(x)

，则

f(x)

是以

2

为周期的函数；



log

2

x,0x4



④

设常数

aR

，函数

f(x)



10

若方程

f(x)a

有三个不相等的实数根

x

1

，

,x4



x1



x

2

，

x

3

，且

x

1

x

2

x

3

，则

(x

1

x

2

1)

x

3

的值域为

[64,)

．

其中正确命题的序号为

_____

．

2



4



3







x



,x



0,3



,



92



8

．已知函数

yf



x









若存在实数

a

、

b

、

c

、

d

满足





sinx,x



3,15







6

f



a



f



b



f



c



f



d



（其中

abcd

），则



ab







cd



的取值范围是

______.

9

．已知四棱锥

PABCD

的顶点均在球

O

的球面上，底面

ABCD

是正方形，

AB23

，

APB120

，当

ADAP

时，球

O

的表面积为

______.

10

．已知向量

a

与

b

的夹角为



，

sin







27

，

|ab|4

，向量

ca,cb

的夹角为，

2

7

|ca|23

，则

ac

的最大值是

___________.

二、单选题

π





π





11

．已知函数

f(x)sin





x



(



0)

在



,π



上恰有

3

个零点，则



的取值范围是

3





3





（

）



811



14



A

．



,







4,





33



3





1114



17



C

．



,







5,





33



3





11



1417



B

．



,4







,





3



33





14



1720



D

．



,5







,





3



33



411



，

则（

）

a

n1

a

n

a

n

1

12

．已知无穷项实数列



a

n



满足：

a

1

t

，

且

A

．存在

t1

，

使得

a

2011

a

1

C

．若

a

221

a

1

，

则

a

2

a

1











B

．存在

t0

，

使得

a

2021

a

1

D

．至少有

2021

个不同的

t

，

使得

a

2021

a

1

13

．已知函数

f(x)sin





x



(



0)

在区间

[0,]

上有且仅有

4

条对称轴，给出下列四个

4

结论：

①f(x)

在区间

(0,



)

上有且仅有

3

个不同的零点；

②

f(x)

的最小正周期可能是



1317







；

2

③



的取值范围是



，



；

44



④

f(x)

在区间



0,



上单调递增．



15







其中所有正确结论的序号是（

）

A

．

①④ B

．

②③ C

．

②④ D

．

②③④

1

，

P

3

14

．如图所示，在直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，

AA

1

1

，

ABBC3

，

cosABC

是

A

1

B

上的一动点，则

APPC

1

的最小值为（

）

A

．

5

B

．

7

C

．

13

D

．

3

2

x

15

．如图，设

F

1

，

F

2

是双曲线

2

y

2

1



a0



的左、右焦点，过点

F

2

作渐近线的平行线

a

5

交另外一条渐近线于点

A

，若

△AF

1

F

2

的面积为，离心率满足

1e2

，则双曲线的方程

4

为（

）

x

2

A

．

y

2

1

5

x

2

B

．

y

2

1

4

x

2

x

2

2

C

．

y1

D

．

y

2

1

32

16

．已知函数

f(x)sinxsin(



x)

，现给出如下结论：

①

f(x)

是奇函数；

②

f(x)

是周期

函数；

③f(x)

在区间

(0,



)

上有三个零点；

④f(x)

的最大值为

2

.

其中所有正确结论的编号

为（

）

A

．

①③ B

．

②③ C

．

②④ D

．

①④

17

．已知三棱锥

ABCD

中，

ABBCBDCDAD4

，二面角

ABDC

的余弦值

1

为，点

E

在棱

AB

上，且

BE3AE

，过

E

作三棱锥

ABCD

外接球的截面，则所作截面

3

面积的最小值为（

）

A

．

10



3

B

．

3



C

．



3

D

．

3

4

18

．在三棱锥

SABC

中，侧棱

SA

，

SB

，

SC

两两垂直，且

SASBSC2

.

设

SAx

，

该三棱锥的表面积为函数

yf



x



，以下判断正确的是（

）

A

．

f



x



为常数

C

．

f



x



有极大值

B

．

f



x



有极小值

D

．

f



x



是单调函数

19

．已知函数

f(x)3sin(



x



)(



0,|



|



)

，

f(4)f(2)6

，且

f(x)

在

[2,4]

上单调

.

设

函数

g(x)f(x)1

，且

g(x)

的定义域为

[5,8]

，则

g(x)

的所有零点之和等于（

）

A

．

0

B

．

4

C

．

12

D

．

16

20

．在

ABC

中，

AB2

，

D,E

分别是边

AB

，

AC

的中点，

CD

与

BE

交于点

O

，若

OC3OB

，则

ABC

面积的最大值为（

）

A

．

3

B

．

33

C

．

63

D

．

93

三、解答题

21

．在

ABC

中，内角

A,B,C

所对的边分别为

a,b,c

，已知





3





3bsin



A



acos



B

2



2



（

1

）求

A

；



2



0

，且

sinA6sinBsinC

.



（

2

）若

bc



a(



R)

，求



的值

.

22

．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量

y

关于投产持续时间

t

（单位：小时）的关系

yf(t)

均近似地满足函数

f(t)Asin(



t



)b(A0,



0,0







)

.

（

1

）根据图象，求函数

f(t)

的解析式；

（

2

）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过

9

，现采用错峰用电的方式，让企业乙比

企业甲推迟

m(m0)

小时投产，求

m

的最小值

.

23

．已知函数

f



x



sin2xcos



3

cos2xsin



3

.







（

1

）若对任意

x



,



，都有



63







f



x



m

成立，求实数

m

的取值范围；

4







3



1

（

2

）设函数

g



x



2f



x





，求

g



x



在区间







,3





内的所有零点之和

.

6



2



2



24

．已知函数

f(x)sin

2

x2mcosx1

x[0,]

2



1



若

f



x



的最小值为

- 3

，求

m

的值；



2



当

m2

时，若对任意

x

1

,x

2

[0,

值范围

.

9







25

．已知向量

a(sinx,1),b(sinx,cosx)

，

设函数

f(x)ab,x



0,



．

8



2





2

]

都有

f



x

1



f



x

2



2a

1

恒成立，求实数

a

的取

4

（Ⅰ）求

f



x



的值域

（Ⅱ）设函数

f



x



的图像向左平移



个单位长度后得到函数

h(x)

的图像，若不等式

2

f(x)h



x



sin2xm0

有解，求实数

m

的取值范围．













26

．将函数

g



x



4sinxcos



x



的图象向左平移





0







个单位长度后得到

f



x



2



6







的图象

.

（

1

）若

f



x



为偶函数，求



；



7





（

2

）若

f



x



在





,



上是单调函数，求



的取值范围

.

6



27

．在

ABC

中，内角

A,B,C

所对的边分别是

a,b,c

，已知

tanC

（Ⅰ）求证：

ABC

为等腰三角形；

sinB

．

1cosB

a

2

b

2

（Ⅱ）若

ABC

是钝角三角形，且面积为，求的值．

4ac

28

．已知向量

a



mcos



xmsin



x,sin



x



，

b



cos



xsin



x,2ncos



x



，设函数

f



x



ab

n









xR



的图象关于点



12

,1



对称，且







1,2



2



（

I

）若

m1

，求函数

f



x



的最小值；







（

II

）若

f



x



f



对一切实数恒成立，求

yf



x



的单调递增区间．



4



29

．已知函数

f(x)2cos

2

x23sinxcosx

.

（Ⅰ）求

f(x)

的单调递增区间；







（Ⅱ）若

f(x)

在区间



,m



上的值域为



0,3



，求

m

的取值范围

.



6





30

．函数

f(x)Asin(



x)1

（

A0,



0

）的最大值为

3

，

其图象相邻两条对称轴之

6

间的距离为



，

2

（

1

）求函数

f(x)

的解析式；

π



（

2

）设



(0,)

，则

f()2

，求



的值

22

【参考答案】

一、填空题

1

．

7

2

．

3

．

6

4

．

3

3(21)

2



9

8

5

．

6

．

①②④

7

．

③④

8

．



135,216



9

．

28



10

．

25

二、单选题

11

．

C

12

．

D

13

．

B

14

．

B

15

．

B

16

．

A

17

．

B

18

．

A

19

．

C

20

．

C

三、解答题

21

．（

1

）

A

【解析】

【分析】

（

1

）根据诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式，结合已知等式，化简

tanA3

，结合

A(0,



)

，可得

A

的值；



3

；（

2

）





6

.

2

（

2

）由已知根据余弦定理可得



2

a

2

a

2

3bc

，利用正弦定理可得

a

2

6bc，

联立即可解得

λ的值．

【详解】





3





（

1

）

3bsin



A



acos



B

2



2



3sinBcosAsinAsinB0





0

3bcosAasinB0

，



B(0,



)sinB0

，

tanA3,A(0,



)A



3

；

（

2

）

sin

2

A6sinBsinCa

2

6ac

，

a

2

b

2

c

2

2bccosBb

2

c

2

bc(bc)

2

3bc

，而

bc



a(



R)

，

a

2

(



a)

2

3bc

，而

a

2

6ac

，所以有



2



36







22



0





6

.

2

【点睛】

本题考查了诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了数学运算

能力

.







22

．（

1

）

f(t)sin



t



4

；（

2

）

4

2



6

【解析】

【分析】

（

1

）由

T12

题答案；

2





Ab5

，得



，由



，得

A

，

b

，代入

(0,5)

，求得



，从而即可得到本





bA3











（

2

）由题，得

f(tm)f(t)cos



(tm)



cos



t



89

恒成立，等价于



6



6













cos



(tm)



cos



t



1

恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转



6



6



化，即可得到本题答案

.

【详解】

（

1

）解：由图知

T12

2





，









6



b4



Ab5

又



，可得



bA3

A1













f(t)sin



t





4

，代入

(0,5)

，得



2k





，

2



6



又

0







，









2







所求为

f(t)sin



t



4

2



6

（

2

）设乙投产持续时间为

t

小时，则甲的投产持续时间为

(tm)

小时，由诱导公式，企业

乙用电负荷量随持续时间

t

变化的关系式为：











f(t)sin



t



4cost4

同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：

2



6



6







f(tm)cos



(tm)



4



6



两企业用电负荷量之和











f(tm)f(t)cos



(tm)



cos



t



8

，

t0



6



6













依题意，有

f(tm)f(t)cos



(tm)



cos



t



89

恒成立



6



6



即

cos



(tm)



cos









6











t



1

恒成立

6

























展开有



cos



m



1



costsin



m



sin



t



1

恒成立

6



6



6







6































cosm1costsinmsintAcos



t









6





6







6



6



6







2









cosm1

sinm















，



其中，

A



cos



m



1



sin

2



，

m

6

6





sin







6



cos









6





A

A

















A



cos



m



1



sin

2



m



1



6







6





2

1







整理得：

cos



m





2



6



2







4

解得



2k







m







2k



3



6



3

即

12k4m128

取

k0

得：

4m8

m

的最小值为

4.

【点睛】

本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学