2020年湖南省长沙市中考数学试卷和答案解析

2023年12月4日发(作者：数学试卷题竟是全英文)

2020年湖南省长沙市中考数学试卷

和答案解析

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）（﹣2）3的值等于（ ）

A．﹣6 B．6 C．8 D．﹣8

解析：根据有理数的乘方的运算法则即可得到结果．

参考答案：解：（﹣2）3＝﹣8，

故选：D．

点拨：此题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的运算法则是解本题的关键．

2．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

解析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解即可．

参考答案：解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；

第1页（共32页）

C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：B．

点拨：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，注意掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．（3分）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中数字632400000000用科学记数法表示为（ ）

A．6.324×1011

C．632.4×109

B．6.324×1010

D．0.6324×1012

解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

参考答案：解：632 400 000 000＝6.324×1011，

故选：A．

点拨：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定第2页（共32页）

a的值以及n的值．

4．（3分）下列运算正确的是（ ）

A．+＝ B．x8÷x2＝x6 C．×＝ D．（a5）2＝a7

解析：根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的除法，底数不变指数相减；二次根式的乘法计算；幂的乘方，底数不变，指数相乘，利用排除法求解．

参考答案：解：A、本选项不符合题意．

B、原式＝x8﹣2＝x6，计算正确，故本选项符合题意．

C、原式＝＝，计算错误，故本选项不符合题意．

与不是同类项，不能合并，计算错误，故D、原式＝a5×2＝a10，计算错误，故本选项不符合题意．

故选：B．

点拨：本题主要考查了二次根式的混合运算，幂的乘方与合并同类项以及同底数幂的除法，属于基础计算题，熟记相关计算法则即可解答．

5．（3分）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）

A．v＝

B．v＝106t C．v＝t2 D．v＝106t2

第3页（共32页） 解析：按照运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，列出等式，然后变形得出v关于t 的函数，观察选项可得答案．

参考答案：解：∵运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，

∴106＝vt，

∴v＝，

故选：A．

点拨：本题考查了反比例函数的应用，理清题中的数量关系是得出函数关系式的关键．

6．（3分）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（ ）

A．42米 B．14米 C．21米 D．42米

解析：在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．

参考答案：解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°＝42（米）

故选：A．

点拨：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）

第4页（共32页）

A．C．

B．D．

解析：根据解不等式组的方法可以求得该不等组的解集，从而可以将该不等式组的解集在数轴上表示出来，本题得以解决．

参考答案：解：由不等式组，得﹣2≤x＜2，

故该不等式组的解集在数轴表示为：

故选：D．

点拨：本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．

8．（3分）一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是（ ）

A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球

B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球

C．第一次摸出的球是红球的概率是

D．两次摸出的球都是红球的概率是

解析：根据概率公式分别对每一项进行分析即可得出答案．

参考答案：解：A、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项错误；

B、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选第5页（共32页）

项正确；

C、∵不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，∴第一次摸出的球是红球的概率是，故本选项正确；

D、共用9种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次摸出的球都是红球的概率是，故本选项正确；

故选：A．

点拨：此题考查了概率的求法，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

9．（3分）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π（Day）”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：

①圆周率是一个有理数；

②圆周率是一个无理数；

③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；

④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．

第6页（共32页）

其中表述正确的序号是（ ）

A．②③ B．①③ C．①④ D．②④

解析：根据实数的分类和π的特点进行解答即可得出答案．

参考答案：解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，

所以表述正确的序号是②③；

故选：A．

点拨：此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“π”的意义是解题的关键．

10．（3分）如图：一块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线FD、GH上，斜边AB平分∠CAD，交直线GH于点E，则∠ECB的大小为（ ）

A．60° B．45° C．30° D．25°

解析：依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠ACE的度数，进而得出∠ECB的度数．

参考答案：解：∵AB平分∠CAD，

∴∠CAD＝2∠BAC＝120°，

又∵DF∥HG，

∴∠ACE＝180°﹣∠DAC＝180°﹣120°＝60°，

第7页（共32页）

又∵∠ACB＝90°，

∴∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，

故选：C．

点拨：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．

11．（3分）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（ ）

A．C．＝＝

B．D．＝＝

解析：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

参考答案：解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，

依题意，得：故选：B．

点拨：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

第8页（共32页）

＝． 12．（3分）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：p＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（ ）

A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟

解析：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p＝at2+bt+c中，可得函数关系式为：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．

参考答案：解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p＝at2+bt+c中，

，

解得，

第9页（共32页）

所以函数关系式为：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，

由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：

t＝﹣＝﹣＝3.75，

则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．

故选：C．

点拨：本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

13．（3分）长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表：

次数 7次及以上

人数

8 12 31 24 15 6

6 5 4 3 2

1次及以下

4

这次调查中的众数和中位数分别是 5 ， 5 ．

解析：根据中位数和众数的概念求解即可．

参考答案：解：这次调查中的众数是5，

这次调查中的中位数是故答案为：5；5．

点拨：本题考查中位数和众数的概念；在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．

第10页（共32页）

， 14．（3分）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：

第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；

第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；

第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．

请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为 7 ．

解析：本题是整式加减法的综合运用，设每人有牌x张，解答时依题意列出算式，求出答案．

参考答案：解：设每人有牌x张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后，

则B同学有（x+2+3）张牌，

A同学有（x﹣2）张牌，

那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3﹣（x﹣2）＝x+5﹣x+2＝7．

故答案为：7．

点拨：本题考查了列代数式以及整式的加减，解决此题的关键根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系．

15．（3分）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为 3π ．

第11页（共32页）

解析：根据圆锥的侧面积公式：S侧＝的侧面展开图的面积．

2πr•l＝πrl．即可得圆锥参考答案：解：∵圆锥的侧面展开图是扇形，

∴S侧＝πrl＝3×1π＝3π，

∴该圆锥的侧面展开图的面积为3π．

故答案为：3π．

点拨：本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面展开图的扇形面积公式．

16．（3分）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．

（1）+＝ 1 ．

＝ ． （2）若PN2＝PM•MN，则

解析：（1）证明△PEN∽△QFN，得得②，再①×②得①，证明△NPQ∽△PMQ，，再变形比例式便可求得结果；

（2）证明△NPQ∽△NMP，得PN2＝NQ•MN，结合已知条件得PM＝NQ，再根据三角函数得解一元二次方程得答案．

参考答案：解：（1）∵MN为⊙O的直径，

第12页（共32页）

，进而得MQ与NQ的方程，再 ∴∠MPN＝90°，

∵PQ⊥MN，

∴∠PQN＝∠MPN＝90°，

∵NE平分∠PNM，

∴∠MNE＝∠PNE，

∴△PEN∽△QFN，

∴，即①，

∵∠PNQ+∠NPQ＝∠PNQ+∠PMQ＝90°，

∴∠NPQ＝∠PMQ，

∵∠PQN＝∠PQM＝90°，

∴△NPQ∽△PMQ，

∴②，

， ∴①×②得∵QF＝PQ﹣PF，

∴∴+＝1﹣＝1，

，

故答案为：1；

（2）∵∠PNQ＝∠MNP，∠NQP＝∠NPM，

∴△NPQ∽△NMP，

∴，

∴PN2＝QN•MN，

∵PN2＝PM•MN，

第13页（共32页）

∴PM＝QN，

∴，

， ∵cos∠M＝∴∴，

，

∴NQ2＝MQ2+MQ•NQ，即设，则x2+x﹣1＝0，

，或x＝﹣，

．

，

解得，x＝∴＝＜0（舍去），

故答案为：点拨：本题主要考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，关键是灵活地变换比例式．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）计算：|﹣3|﹣（﹣1）0+cos45°+（）﹣1．

解析：首先化简绝对值，求零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，再按顺序进行加减运算．

参考答案：解：原式＝3﹣1＝2+1+4

第14页（共32页）

+4 ＝7．

点拨：本题主要考查了化简绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，熟练掌握实数的运算法则是解答此题的关键．

18．（6分）先化简再求值：•﹣，其中x＝4．

解析：根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．

参考答案：解：＝＝＝，

＝3．

•

﹣

当x＝4时，原式＝点拨：本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：

已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分线．

作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．

（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧第15页（共32页）

在∠AOB的内部相交于点C．

（3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．

请你根据提供的材料完成下面问题．

（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是 ① ．（填序号）

①SSS②SAS③AAS④ASA

（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．

解析：（1）直接利用角平分线的作法得出基本依据；

（2）直接利用全等三角形的判定与与性质得出答案．

参考答案：解：（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是①SSS．

故答案为：①

（2）由基本作图方法可得：OM＝ON，OC＝OC，MC＝NC，

则在△OMC和△ONC中，

，

∴△OMC≌△ONC（SSS），

∴∠AOC＝∠BOC，

即OC为∠AOB的平分线．

第16页（共32页）

点拨：此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．

20．（8分）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：

（1）这次调查活动共抽取 200 人；

（2）m＝ 86 ，n＝ 27 ；

（3）请将条形统计图补充完整；

（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．

解析：（1）从统计图中可知，“1次及以下”的频数为20，占调查人数的10%，可求出调查人数；

（2）“3次”的占调查人数的43%，可求出“3次”的频数，确定第17页（共32页）

m的值，进而求出“4次以上”的频率，确定n值，

（3）求出“2次”的频数，即可补全条形统计图；

（4）“4次以上”占27%，因此估计3000人的27%是“4次以上”的人数．

参考答案：解：（1）20÷10%＝200（人），

故答案为：200；

（2）200×43%＝86（人），54÷200＝27%，即，m＝86，n＝27，

故答案为：86，27；

（3）200×20%＝40（人），补全条形统计图如图所示：

（4）3000×27%＝810（人），

答：该校3000名学生中一周劳动4次及以上的有810人．

点拨：本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的前提．

21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．

（1）求证：DC为⊙O的切线．

（2）若AD＝3，DC＝，求⊙O的半径．

第18页（共32页）

解析：（1）如图，连接OC，根据已知条件可以证明∠OCA＝∠DAC，得AD∥OC，由AD⊥DC，得OC⊥DC，进而可得DC为⊙O的切线；

（2）过点O作OE⊥AC于点E，根据Rt△ADC中，AD＝3，DC＝，可得∠DAC＝30°，再根据垂径定理可得AE的长，进而可得⊙O的半径．

参考答案：解：（1）如图，连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC＝∠OAC，

∴∠OCA＝∠DAC，

∴AD∥OC，

∵AD⊥DC，

∴OC⊥DC，

第19页（共32页）

又OC是⊙O的半径，

∴DC为⊙O的切线；

（2）过点O作OE⊥AC于点E，

在Rt△ADC中，AD＝3，DC＝∴tan∠DAC＝＝，

，

∴∠DAC＝30°，

∴AC＝2DC＝2∵OE⊥AC，

根据垂径定理，得

AE＝EC＝AC＝，

，

∵∠EAO＝∠DAC＝30°，

∴OA＝＝2，

∴⊙O的半径为2．

点拨：本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．

22．（9分）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：

A型货车的辆数（单位：辆）

B型货车的辆数（单位：辆）

第一批

1

3

第二批

2

5

第20页（共32页） 累计运输物资的吨数（单位：吨）

28 50

备注：第一批、第二批每辆货车均满载

（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？

（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？

解析：（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，根据前两批具体运输情况数据表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据要求一次性运送62.4吨生活物资，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论．

参考答案：解：（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，

依题意，得：解得：．

，

答：A种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运6吨生活物资．

（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，

依题意，得：10×3+6m≥62.4，

解得：m≥5.4，

第21页（共32页）

又∵m为正整数，

∴m的最小值为6．

答：至少还需联系6辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．

点拨：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

23．（9分）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．

（1）求证：△ABF∽△FCE；

（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长；

（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．

解析：（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．

（2）设EC＝x，证明△ABF∽△FCE，可得问题．

（3）首先证明tanα+tanβ＝+＝+＝＝，设AB＝，由此即可解决＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，解直角三角形求出a，b之间的关系即可解决问题．

第22页（共32页）

参考答案：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，

由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，

∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，

∴∠AFB＝∠FEC，

∴△ABF∽△FCE．

（2）设EC＝x，

由翻折可知，AD＝AF＝4，

∴BF＝＝＝2，

∴CF＝BC﹣BF＝2，

∵△ABF∽△FCE，

∴∴∴x＝∴EC＝

（3）∵△ABF∽△FCE，

∴＝，

+＝+＝＝，

＝，

＝，

，

．

∴tanα+tanβ＝设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，

∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，

第23页（共32页）

∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，

∴BF＝，CF＝＝，

∵AD2+DE2＝AE2，

∴b2+x2＝（2a﹣x）2，

∴a2﹣ax＝b2，

∵△ABF∽△FCE，

∴∴∴a2﹣ax＝∴b2＝•＝，

＝•，

，

，

整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，

∴（4a2﹣3b2）2＝0，

∴＝，

＝． ∴tanα+tanβ＝

点拨：本题属于相似三角形综合题，考查了矩形的性质翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

第24页（共32页）

24．（10分）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．

①y＝2x（ √ ）；

②y＝（m≠0）（ √ ）；

③y＝3x﹣1（ × ）．

（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．

（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．

解析：（1）根据“H函数”的定义判断即可．

（2）先根据题意求出m，n的取值范围，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解．

（3）设“H“点为（p，q）和（﹣p，﹣q），代入y＝ax2+2bx+3c得到ap2+3c＝0，2bp＝q，得到a，c异号，再根据a+b+c＝0，代入（2c+b﹣a）（2x+b+3a）＜0，求出的取值，设函数与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），t＝，利用根与系数的关系得到|x1﹣x2|＝

＝2，再利用二次函数的性质即可求第25页（共32页） 解．

参考答案：解：（1）①y＝2x是“H函数”．②y＝（m≠0）是“H函数”．③y＝3x﹣1不是“H函数”．

故答案为：√，√，×．

（2）∵A，B是“H点”，

∴A，B关于原点对称，

∴m＝4，n＝﹣1，

∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），

代入y＝ax2+bx+c（a≠0）

得∴，

，

∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，

∴﹣∴﹣＞2，

＞2，

∴﹣1＜a＜0，

∵a+c＝0，

∴0＜c＜1，

综上所述，﹣1＜a＜0，b＝4，0＜c＜1．

（3）∵y＝ax2+2bx+3c是“H函数”，

∴设H（p，q）和（﹣p，﹣q），

代入得到

，

第26页（共32页） 解得ap2+3c＝0，2bp＝q，

∵p2＞0，

∴a，c异号，

∴ac＜0，

∵a+b+c＝0，

∴b＝﹣a﹣c，

∵（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，

∴（2c﹣a﹣c﹣a）（2c﹣a﹣c+3a）＜0，

∴（c﹣2a）（c+2a）＜0，

∴c2＜4a2，

∴＜4，

∴﹣2＜＜2，

设t＝，则﹣2＜t＜0，

设函数与x轴交于（x1，0），（x2，0），

∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的两根，

∴|x1﹣x2|＝＝＝＝＝2＝2

，

第27页（共32页） ∵﹣2＜t＜0，

∴2＜|x1﹣x2|＜2．

点拨：本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一元二次方程的根与系数的关系等知识，“H函数”，“H点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

25．（10分）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．

（1）求∠AOB的度数；

（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；

（3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22＝21时，求弦AC的长度．

解析：（1）如图1中，过点O作OH⊥AB于H．利用等腰三角形的性质求出∠AOH即可．

（2）连接OC，证明O，D，C，E四点共圆，OC的中点即为△ODE外接圆的圆心，再利用弧长公式计算即可．

（3）如图3中，连接OC交AB于J，过点O作OH⊥AB于H，第28页（共32页）

过点C作CK⊥AB于K．证明△CDE∽△CAB，推出2＝（）＝，推出S△ABC＝4S2，因为S△ADO＝S△ODC，S△OBE＝S△OEC，推出）＝2S2+2，S四边形ODCE＝S四边形OACB，可得S1+S2＝（4S2+4推出S1＝S2+2推出S2＝，因为S12﹣S22＝21，可得S22+4S2+12﹣S22＝21，，利用三角形的面积公式求出CK，解直角三角形求出AK即可解决问题．

参考答案：解：（1）如图1中，过点O作OH⊥AB于H．

∵OA＝OB＝4，OH⊥AB，

∴AH＝HB＝AB＝2∴sin∠AOH＝＝，∠AOH＝∠BOH，

，

∴∠AOH＝60°，

∴∠AOB＝2∠AOH＝120°．

（2）如图2中，连接OC，取OC的中点P，连接DP，

∵OA＝OC＝OB，AD＝DC，CE＝EB，

第29页（共32页）

∴OD⊥AC，OE⊥CB，

∴∠ODC＝∠OEC＝90°，

∴∠ODC+∠OEC＝180°，

∴O，D，C，E四点共圆，

∴OC是直径，

∴OC的中点P是△OED的外接圆的圆心，

∴OP＝OC＝2，

∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上运动，

∵∠AOB＝120°，

∴点P的运动路径的长＝

（3）当点C靠近A点时，

如图3中，当AC＜BC时，连接OC交AB于J，过点O作OH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K．

＝．

∵AD＝CD，CE＝EB，

∴DE∥AB，AB＝2DE，

∴△CDE∽△CAB，

∴＝（）2＝，

第30页（共32页）

∴S△ABC＝4S2，

∵S△ADO＝S△ODC，S△OBE＝S△OEC，

∴S四边形ODCE＝S四边形OACB，

∴S1+S2＝（4S2+4∴S1＝S2+2，

）＝2S2+2，

∵S12﹣S22＝21，

∴S22+4∴S2＝S2+12﹣S22＝21，

，

＝×AB×CK， ∴S△ABC＝3∴CK＝，

∵OH⊥AB，CK⊥AB，

∴OH∥CK，

∴△CKJ∽△OHJ，

∴∴＝，

＝＝，

，OJ＝×4＝＝＝，

，

＝，JH＝＝∴CJ＝×4＝∴JK＝∴KH＝，

﹣，

＝＝﹣．

∴AK＝AH﹣KH＝2∴AC＝＝第31页（共32页）

当AC＞BC时，同法可得AC＝+，

＝±．

+． 同理，当点C靠近B点时，可知AC＝综上所述，满足条件的AC的值为点拨：本题属于圆综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

第32页（共32页）