人教版九年级下册数学课本知识点归纳

2023年12月12日发(作者：人教版五三全优卷小升初数学试卷)

人教版九年级下壁学 课本知识点

-CAL-FENG 020YEAR-YICAILJINGBIAN 人教版九年级下册数学课本知识点总结

第二十六章反比例函数

一、 反比例函数的概念

k

y = —

1.

1

w (5)可以写成＞ =女-以部)的形式，注意自变量

x的指数为T,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数左工。 这一限制条件；

k

y =—

2. x (^#0)也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求 出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式；

k

y =—

3.

反比例函数 工的自变量腭0,故函数图像与x轴、y轴无 交点.

二、 反比例函数的图像画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别 位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反 比例函数中自变量函数中自变量XWO,函数值y = O,所以它的图像 与X轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但 永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；(2)描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：

2

① 列表时选取的数值宜对称选取；

② 列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③ 连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光

滑的曲线连接，切忌画成折线；

④ 画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标 轴相交。

三、反比例函数及其图像的性质

1.

函数解析式： W以。0）

2.

自变量的取值范围：^0

3.

图像：

（1）

图像的形状：双曲线，旧越大，图像的弯曲度越小，曲线越 平直。叫越小，图像的弯曲度越大。

（2）

图像的位置和性质：

当时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内,y随x

的增大而减小；

当*履时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内’y随x

的增大而增大。

（3）

对称性：图像关于原点对称，即若（a, b）在双曲线的一支 上，则（-七-力）在双曲线的另一支。图像关于直线＞ =±汗对称， 即若（a,

b）在双曲线的一支上，贝【J

（孔忠）和（-如-少在双 曲线的另一支上。.

3

4 . k的几何意义

k

y =—

如图1,设点P (a, b)是双曲线 工上任意一点，作PA^x

轴于A点，PB±y轴于B点，贝IJ矩形PBOA的面积是Ikl

(三角形

PAO和三角形PBO的面积都是l/2lkl)。

如图2,由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在上，作QC±PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为

2lkl。

5 .说明：

(1)双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性

时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。

4

双曲线

⑵直线尸申与双曲线尸；的关系：

当稣灼《0时，两图像没有交点；当稣灼＞0时’两图像必有 两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.

四、 实际问题与反比例函数

1.

求函数解析式的方法：

（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式。

2.

注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究 上.

五、 充分利用数形结合的思想解决问题

第二十七章相似三角形

一、图形的相似

1.

图形的相似：如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么 这两个图形相似。（相似的符号：S）

性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

2.

判定：如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那 么这两个多边形相似。

3.

相似比：相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1时， 相似的两个图形全等。

二、相似三角形

5

1.

性质：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相 交，所构成的三角形与原三角形相似。

2.

判定.①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个 三角形相似。②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相 应的夹角相等，那么这两个三角形相似。③如果一个三角形的两 个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似。

（①三边对应成比例②两个三角形的两个角对应相等；③两边对应成比例， 且夹角相等；④相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平 分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。）

3.

相似三角形应用

视点：眼睛的位置；仰角：视线与水平线的夹角；盲区：看不到 的区域。

4.

相似三角形的周长与而积：①相似三角形周长的比等于相似 比。②相似多边形周长的比等于相似比。③相似三角形而积的比 等于相似比的平方。④相似多边形面积的比等于相似比的平方。

三、位似

1.

位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的 连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图 形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

2.

性质：在平而直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中 心，相似比为k,那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。

注意

6

1、 位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形， 必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；

2、 两个位似图形的位似中心只有一个；

3、 两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心 的一侧；

4、 位似比就是相似比.利用位似图形的定义可判断两个图形是否 位似；

5、 位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心 的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似 可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一 点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。

6、 根据一个位似中心可以作两个关于己知图形一定位似比的位似 图形，这两个图形分布在位似中心的两侧，并且关于位似中心对 称。

第二十八章锐角三角函数

一、锐角三角函数

1.

正弦：在At△颐中，锐角ZA的对边a与斜边的比叫做NA的正

弦，记作sinA,即sinA二匕A的对边/斜边=a/c；

7

2.

余弦：在任△刀此中，锐角NA的邻边b与斜边的比叫做NA的余

弦，记作cosA, B|JcosA=ZA的邻边/斜边二b/c；

3.

正切：在此△刀此中，锐角NA的对边与邻边的比叫做NA的正切,

记作tanA,即tanA=ZA的对边/NA的邻边=a/bo

①tanA是一个完整的符号，它表示NA的正切，记号里习惯省去角的

符号“ ；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中

NA的对边与邻边的比;③tanA不表示“tan”乘以“A”

；④tanA的

值越大，梯子越陡，NA越大；NA越大，梯子越陡，tanA的值越 大。

4、余切：定义：在RtAABC中，锐角ZA的邻边与对边的比叫做NA

的余切，记作cotA,即cotA二NA的邻边/ZA的对边=b/a；

5、 一个锐角的正弦、余弦、正切、 正余切分别等于它的余角的余弦、

弦、余切、正切。（通常我们称 正弦、余弦互为余函数。同样，也 称正切、余切互为余函数，可以概 括为：一个锐角的三角函数等于它 的余角的余函数）用等式表达：

若/A为锐角，则①sinA = cos （90

6、 记住特殊角的三角函数值表0° ,

30° , 45° , 60° , 90° o

7、当角度在0°〜90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大 （或减小）而增大（或减小）；余弦值、余切值随着角度的增大（或减小） 而减小（或增大）。OWsinaWl, OWcosaWl。

8

同角的三角函数间的关系：tan a • cot a =1, tana =sina /cos a ,

cot a =cos a /sin a , sin2 a +cos2 a =1

二、解直角三角形

1.

解直角三角形：在直角三角形中，由己知元素求未知元素的过

程。

2.

在解直角三角形的过程中用到的关系：（在中，ZC为直角,

ZA> ZB. NC所对的边分别为a、b、c,）

（1）

（2）

（3）

三边之间的关系：a：+b2=c：；（勾股定理）

两锐角的关系：ZA+ZB=90° ；

边与角之间的关系：

sinA =a/c； （a= c sinA）

cosA =b/c； （b= c cosA）

tanA=a/bo

sinA= cosB cosA =sinB

sin\" a +cos2 a =1

sinA= cos （90 \' -A）

第二十九章投影与视图

9

一、 投影

1.

投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等） 上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的 平而叫做投影面。

2.

平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影。（光源特别远）

3.

中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心 投影

4.

正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。物体正投 影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。

5.

当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的 形状、大小完全相同。当物体的某个面顶斜于投影而时，这个面的 正投影变小。当物体的某个面垂直于投影面时，这个面的正投影成 为一条直线。

二、 三视图

1.

三视图：是观测者从三个不同位置（正面、水平面、侧面）观察同 一个空间几何体而画出的图形。三视图就是主视图、俯视图、左视 图的总称。另外还有如剖而图、半剖面图等做为辅助，基本能完整 的表达物体的结构。

2.

主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图。

3.

俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图。

4.

左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图。

5.

三个视图的位置关系：①主视图在上、俯视图在下、左视图在 右；

②主视、俯视表示物体的长，主视、左视表示物体的高，左视、俯 视表示物体的宽。③主视、俯视长对正，主视、左视高平齐，左 视、俯视宽相等。

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6.

画法：看得见的部分的轮廓线画成实线，因被其它部分遮档而看 不见的部分的轮廓线画成虚线。

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