八年级数学知识点:极差方差与标准差知识点

2024年3月13日发(作者：2023三加考试数学试卷)

八年级数学知识点：极差方差与标准差知识点

人生的道路很长，但关键的却往往只有几步，而初中就是这关键

几步中的第一步，下面小编为大家准备了极差方差与标准差知识点，

欢迎阅读与选择!

一、本节知识导学

本节以自主探索为主，并初步体验：对图的观察和分析是科学研

究的重要方法。通过例题发现极差(最大值-最小值)的作用：用来表示

数据高低起伏的变化大小;同时也希望同学们通过深入思考发现极差的

不足之处：极差只能反应一组数据中两个极端值之间的差异情况，对

其他数据的波动情况不敏感。因此有必要重新找一个对整组数据的波

动情况更敏感的指标,构造方差前请同学们注意以下几个方面：1.为什

么要用“每次成绩”和“平均成绩”相减。2.为什么要“平方”。

3.为什么“求平均数”比“求和”更好。

同时请同学们意识到：比较两组数据的方差有一个前提条件是，

两组数据要一样多。对于方差的学习，重点在于方差公式的导出和对

于方差概念的理解，而不是数字的计算，应充分利用计算器和计算机

去完成繁杂的计算。

对于方差与标准差之间除了计算公式不一样，数量单位也不一样

但通过求算术平方根运算又可以将他们联系在一起。

二、例题

1.不通过计算，比较图中(1)(2)两组数据的平均值和标准差

分析：平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反映一组数

据与其平均值的离散程度。本例不通过计算，从折线图来估算标准差，

应先估算平均值的大小。

解：从图(1)(2)中可以看出，两组数据的平均值相等。(图(1)中数

据与图(2)中前

10个数据相等,且图(2)中后几个数据不影响平均值)。

图(1)的标准差比图(2)的标准差大。(因为图(1)中各数据与其平均

值离散程度大，图(2)中前10个数据与其平均值的离散程度与图(1)相

同，而后几个数据与其平均值的离散程度小。因此整体上说图(2)所有

数据与其平均值的离散程度小于图(1)。)

2.求下列数据的方差(小数点后保留两位)：5，7，9，9，10，11，

13，14。

分析：要求方差，必须先求平均数。

解：

=(5+7+9+9+10+11+13+14)=9.75

方差s2

==7.69

[(5-9.75)2+(7-9.75)2+……+(14-9.75)2]

3.求下列一组数据的极差、方差和标准差(小数点后保留两位)：50，

55，96，98,65，100，70，90，85，100

分析：由于标准差是方差的变形所以一般情况下先求方差

解：极差为100-50=50

平均数为=(50+55+96+98+65+100+70+90+85+100)=80.9

方差为：s2

==334.69标准差为：

s=

[(50-80.9)2+(55-80.9)2+……+(100-80.9)2]

=18.29

4.在某次数学竞赛中，*、乙两班的成绩如下

已经算出两班的平均数都是80分，请你根据已有的统计知识分析

两个班的成绩。

分析：这是一道开放型试题，题目中没有给出进行分析的标准，

所以我们可以从已经掌握的

统计知识：平均数、众数、中位数、方差、标准差、极差等方面

进行分析。

解：(1)用众数进行分析：*班成绩的众数是90，乙班成绩的众数

是70。所以用众数比较，*班的成绩好于乙班。

(2)用方差进行分析：s2*=172;s2乙=256。所以s2*

考虑成绩的稳定*：*班好于乙班。

(3)用中位数进行分析：两个班的中位数都是80分，*班在中位数

以上(包括80分)的学生共33人;乙班在中位数以上(包括80分)的学生

共26人。所以*班成绩好于乙班。

(4)*班学生高于90分(包括90分)的学生共20人，乙班学生高于

90分(包括90分)的学生共24人;从满分成绩来看，*班比乙班少6人。

从“优等生”角度看乙班成绩好于*班。