[考研类试卷]考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编28

2024年1月23日发(作者：2023安徽高考数学试卷推荐)

[考研类试卷]考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编28

一、选择题

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 下列反常积分收敛的是( )

2 反常积分①∫－∞01／x2e1／xdx与②∫0+∞1／x2e1／xdx的敛散性为( )

（A）①发散，②收敛。

（B）①收敛，②发散。

（C）①收敛，②收敛。

（D）①发散，②发散。

3 设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则∫0xf(t)dt是( )

（A）连续的奇函数。

（B）连续的偶函数。

（C）在x=0间断的奇函数。

（D）在x=0间断的偶函数。

答案见麦多课文库

4 设函数y=f(x)在区间[－1，3]上的图形如右图所示，则函数F(x)=∫0xf(t)dt的图形为( )

5 设函数f(x)=

（A）x=π是F(x)的跳跃间断点。

（B）x=π是F(x)的可去间断点。

（C）F(x)在x=π处连续不可导。

（D）F(x)在x=π处可导。

6 如图，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分F(x)=∫0xf(t)dt，则( )

[xf\'(x)dx等于( )

（A）曲边梯形ABOD面积。

答案见麦多课文库

（B）梯形ABOD面积。

（C）曲边三角形ACD面积。

（D）三角形ACD面积。

二、填空题

7 ∫－∞1

8 ∫0+∞dx=_______。

dx=_______。

9 曲线y=－x3+x2+2x与x轴所围成的图形的面积A=_______。

10 位于曲线y=xe－x(0≤x＜+∞)下方，x轴上方的无界图形的面积是_______。

11 设曲线的极坐标方程为ρ=eaθ(a＞0)，则该曲线上相应于θ从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为_______。

12 当0≤θ≤π时，对数螺旋r=eθ的弧长为_______。

13 曲线y=∫0xtanxdx(0≤x≤π／4)的弧长s=_______。

14 设封闭曲线L的极坐标方程为r=cos3θ(－π／6≤θ≤π／6)，则L所围平面图形的面积是_______。

三、解答题

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15 设有曲线

，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积。

答案见麦多课文库

16 设曲线y=ax2(a＞0，x≥0)与y=1－x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形。问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?

17 设ρ=ρ(x)是抛物线y=上任一点M(x，y)(x≥1)处的曲率半径，s=s(x)是该抛物线上介于点A(1，1)与M之间的弧长，计算3ρd2ρ／ds2－(dρ／ds)2的值。(在直角坐标系下曲率公式为K=

17 曲线y=F(t)。

18 求S(t)／V(t)的值；

19 计算极限

19 已知曲线L的方程

20 讨论L的凹凸性；

21 过点(－1，0)引L的切线，求切点(x0，y0)，并写出切线的方程；

22 求此切线与L(对应于x≤x0的部分)及x轴所围成的平面图形的面积。

22 设D是位于曲线y=a－x／2a(a＞1，0≤x＜+∞)下方、x轴上方的无界区域。

23 求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)；

24 当a为何值时，V(a)最小?并求此最小值。

(t≥0)。

S(t)／F(t)

与直线x=0，x=t(t＞0)及y=0围成一曲边梯形。该曲边梯形绕X)

轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为答案见麦多课文库

25 一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为3／2b时(如图)，计算油的质量。(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg／m3)

26 过点(0，1)作曲线L：y=lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成。求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

27 设D是由曲线y=x1／3，直线x=a(a＞0)及x轴所围成的平面图形。Vx，Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积。若Vy=10Vx，求a的值。

答案见麦多课文库