2024年1月23日发(作者：广西统考高中数学试卷)

考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编3

(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 已知函数y＝y(x)在任意点x处的增量，其中α是△x(Ax→0)的高阶无穷小，且y(0)＝π，则y(1)等于

A．．

B．2π．

C．π．

D．．

正确答案：A

解析：[分析] 由题设可知函数y＝y(x)在点x处可微，根据微分与导数的关系，可得，解此可分离变量方程． [详解] 根据微分的定义，可知函数y＝y(x)在点x处可微，且由微分与导数的关系，得，此为可分离变量方程，分离变量得业，两边积分得lny＝arctanx＋lnC，即y＝Cearctanx，代入y(0)＝π，得C＝π，于是 y＝πearctanx，，故应选(A)． [评注] 由，根据导数定义得 ． 另外，从本题可知，由函数在任意点x处的微分或导数的定义，可构造微分方程．这样可将微分或导数的定义与微分方程结合起来构造综合题型． 知识模块：微分方程

2． 已知是微分方程的解，则的表达式为

A．

B．

C．

D．

正确答案：A

解析：[分析] 将代入微分方程，再令ψ的中间变量为u，求出ψ(u)的表达式，进而可求出．[详解] 将代入微分方程，得令lnx＝u，有。故应选(A)． [评注] 本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性．但问题本身并不复杂，只要仔细计算就可以找到正确选项． 知识模块：微分方程

3． 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’＋p(x)y＝q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1＋μy2是该方程的解，λy1－μy2是对应的齐次方程的解，则

A．

B．

C．

D．


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