如何正确添加数学辅助线

2024年4月12日发(作者：韶关去年中考数学试卷及答案)

如何正确添加数学辅助线

一、添辅助线有二种情况：

1.添加定义的指南：

如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中

点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2.按基本图形添加辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是

具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补

图”!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：

1平行线是一个基本图形：

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线

2等腰三角形是一个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分

线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

3等腰三角形中的重要线段是一个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂

线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

4直角三角形斜边中线的基本图形

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直

角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

5三角形中线的基本图形

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中

位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系

且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线

基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的

端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

6全等三角形：

全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或

两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将

三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一

直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端

点添平行线

7类似三角形：

相似三角形有平行线型带平行线的相似三角形，相交线型，旋转型;当出现相比线段

重叠在一直线上时中点可看成比为1可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端

点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。

8特殊直角三角形

当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角

三角形三边比为1：1：√2;30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明

9半圆上的圆周角

出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角;出现90度的圆周角则添它所对弦---直径;

平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成

一样。

二、 基本图形辅助线的绘制方法

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：对于三角形的中线问题，中线通常是两倍的。对于中点问题，通常使用三角

形的中线。通过这种方法，待证明的结论得到了恰当的传递，问题很容易解决。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的

条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是，当两条线段相等时，我们经常画辅助线来形成全等三角形，或者使

用一些关于平分线段的定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法

或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，

而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中公共辅助线的添加方法

平行四边形包括矩形、正方形、菱形的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，

所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全

等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下

列几种，举例简解如下：

1.连接对角线或平移对角线：

2过顶点作对边的垂线构造直角三角形

3.将对角线交点与一侧中点连接，或通过对角线交点在一侧画一条平行线，以构成线

段的平行线或中线

4连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

5.在顶点上画一条垂直的对角线，形成一条平行或三角形的线段