3最值系列之瓜豆原理

2024年3月21日发(作者：浙江初中数学试卷初二上册)

公众号：有一点数学

最值系列之瓜豆原理

在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出

关于动点的最值．

本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但

最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动

轨迹并求出最值，为常规思路．

一、轨迹之圆篇

引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

A

Q

P

O

【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径

MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．

P

Q

A

O

M

【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，

由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，

由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．

Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．

根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；

根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．

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引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

Q

A

P

O

点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．

考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P

考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．

M

Q

P

A

O

引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨

迹是？

Q

P

AO

【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．

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