2024年3月21日发(作者：一模数学试卷初中厦门)
瓜豆原理
作者介绍：朱昌伟，中学教师，9年教龄。毕业于北京师范大学，双学士学位。
江苏省“优秀青年教师”，现任深圳市耐思培优总校区理科教研组长，主编的《初
中几何模型与解题通法》已出版，本文即为其中一讲：瓜豆原理。
原理概述
俗语云“种瓜得瓜，种豆得豆”，数学上有“种线得线，种圆得圆”：平面内，动点Q随着
动
点P的运动而运动，我们把点P叫做主动点，点Q叫做从动点；当这两个动点与某个定点连
线的夹角一定，且与该定点距离之比一定时（简记为“定角、定比”），易判断两个动点与
定
点构成的三角形形状一定，大小可能变，此时两个动点的轨迹形状相同,瓜豆问题的本质是
旋转、相似（包含全等）变换，往往与共点旋转（手拉手）模型相结合，考查类型有：
（1）确定动点轨迹；（2）求运动路程；（3）求线段最值、面积最值等.
基本模型
一、种直线得直线（主动点与从动点的轨迹都是直线或直线上一部分）
1.
图1图2
如图1，已知l为定直线，O为直线外一定点，P为直线l上一动点，连接OP，若Q为直线
OP上一点（一般在线段OP上），且Q点到O点的距离与P点到O点的距离之比为定值k
（k＞0且k≠1），即
OQ
OP
k
，此时我们可认为Q、P两点与定点O连线的夹角一定（夹角
为
0°），符合瓜豆原理“定角、定比”的条件，因而Q点的运动轨迹也是直线；如图2，另
取
一组对应的点P’、Q’,则
OQ
OP
OQ
OP
k
，因而△OQ’Q∽△OP’P，相似比为k，可知从动
点
Q在平行于l的直线m上运动.易判断点O到直线m和l的距离之比也等于k.
2.
1
如图1，已知l为定直线，O为直线外一定点，P为直线l上一动点，将射线OP绕着点O按
确定的方向（如顺时针）旋转一个确定的角度α（0＜α＜180°），得到射线OM，在射线
OM上取一点Q，使
OQ
OP
k
（k为大于0的定值），此时符合瓜豆原理“定角、定比”的条件，
因而Q点的运动轨迹也是直线；如图2，另取一组对应的点P’、Q’,则Q点的运动轨迹即
为直线QQ’，∵∠POQ=∠P’OQ’=α，∴∠POP’=∠QOQ’，又∵
OP
OQOQ
OP
k
，
∴△OPP’∽△OQQ’.特别的，当k=1时，△OPP’≌△OQQ’.k≠1时，△OQQ’可看做由
△OPP’绕着O点旋转并放缩（0＜k＜1时缩小，k＞1时放大）而来.直线QQ’可看做由直
线l绕着点O顺时针旋转α角而来，0＜α＜90°时，两直线的夹角即为α.
典型例题1-1
如图，在平面直角坐标系中，A（4,0），B为y轴正半轴上
一动点，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则线段
OC的最小值为_________.
【分析】B为主动点，C为从动点；
方法一：与从动点有关的线段最值，优先转化为与主动点有关
的线段最值，将线段OA绕着点A顺时针旋转60°，得到线
段O’A，构造全等三角形可实现线段的转化；
方法二：两动点与定点A连线的夹角为定值（60°），到点A
的距离之比为定值1（即CA:BA=1），符合瓜豆原理“定角、定比”的特征，主动点B的
轨迹为射线，则从动点C的轨迹也为射线，确定其轨迹后，依据“垂线段最短”求OC得
最小值.
【解答】方法一：如图1，将线段OA绕着点A顺时针旋转60°，得到线段O’A；连接O’B，
易证△AO’B≌△AOC，则OC=O’B，即求O’B的最小值；由于O’为定点，点B在y轴
正半轴上运动，如图2，由垂线段最短，知O’B⊥y轴时，O’B最小，连接OO’，则
△AOO’为等边三角形，作O’H⊥OA于H，此时O’B=OH=
1
OA=2，即OC的最小值为2.
2
图1图2
2
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